2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程课件（打包7套）新人教A版选修1-1.zip

第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程课标要求 素养达成1.了解 椭圆标 准方程的推 导 .2.理解 椭圆 的定 义 及 椭圆 的 标 准方程 .3.掌握用定 义 法和待定系数法求 椭圆 的 标 准方程 .通 过对椭圆 定 义 及 标 准方程的学 习 ,渗透数形 结合的思想 ,让 学生体会运动变 化、 对 立 统 一的思想 ,提高 对 各种知 识 的综 合运用能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题 1:在平面直角坐标系中 ,若 A(-4,0),B(4,0),当 |PA|+|PB|=10,|PA|+|PB|=8,|PA|+|PB|=6时 ,点 P的轨迹分别是什么图形 ?答案 :当 |PA|+|PB|=10时 ,点 P的轨迹是以 A(-4,0) ,B(4,0)为焦点的椭圆 ;当|PA|+|PB|=8时 ,点 P的轨迹是线段 AB;当 |PA|+|PB|=6时 ,点 P的轨迹不存在 .梳理 我们把平面内与两个定点 F1,F2的距离的 等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点之间的距离叫做椭圆的 .椭圆的定义和焦点焦距问题 2:在标准方程中怎样确定焦点的位置 ?答案 :标准方程中根据 x2,y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上 ,x2对应的分母大 ,焦点就在 x轴上 ,y2对应的分母大 ,焦点就在 y轴上 .梳理 a2-b2知识点二 椭圆的标准方程题型一 求椭圆的标准方程课堂探究 素养提升【 例 1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程 :(1)两个焦点坐标分别是 (0,5),(0,-5),椭圆上一点 P到两焦点的距离之和为 26;方法技巧 求椭圆标准方程的方法(1)定义法 :根据椭圆定义 ,确定 a2,b2的值 ,结合焦点位置写出椭圆方程 .(2)待定系数法 :先判断焦点位置 ,设出标准方程形式 ,最后由条件确定待定系数即可 .即 “ 先定位 ,后定量 ” .当所求椭圆的焦点位置不能确定时 ,应按焦点在 x轴上和焦点在 y轴上进行分类讨论 ,但要注意 ab0这一条件 .(3)当已知椭圆经过两点 ,求椭圆的标准方程时 ,把椭圆的方程设成 mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n) 的形式有两个优点 :① 列出的方程组中分母不含字母 ;② 不用讨论焦点所在的位置 ,从而简化求解过程 .即时训练 1:求适合下列条件的标准方程 :(1)经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点 ;(2)(2018· 玉溪高二月考 )“mn0” 是方程 mx2+ny2=1表示焦点在 y轴上的椭圆的 ( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件题型二 与椭圆有关的轨迹问题【例 2】 已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A内一定点 B(3,0),圆 P过 B且与圆 A内切,求圆心 P的轨迹方程 .方法技巧 求解与椭圆有关的轨迹问题的方法(1)定义法 :利用平面几何知识将题目条件转化为点到两定点的距离之和为定值 .由椭圆的定义求解 a,b,c.注意所求轨迹是否是整个曲线 ,若不完整 ,则应对其中变量 x或 y进行限制 .(2)相关点法 (代入法 ):当所求动点随另一个动点 (在已知曲线上 )的变化而变化时 ,设所求动点为 (x,y),另一动点为 (x0,y0),用 x,y表示 x0,y0;再将(x0,y0)代入已知方程 ,化简即得所求轨迹方程 .(3)直接法 :题设条件有明显等量关系或易推出等量关系 ,则可直接将等量关系坐标化 ,求出轨迹方程 .即时训练 2:(2018· 宁波高二月考 )一动圆过定点 A(2,0),且与定圆 x2+4x+y2-32=0内切 ,求动圆圆心 M的轨迹方程 .题型三 椭圆定义的应用摇身一变 1:若将本例中 “∠ F1PF2=90°” 变为 “∠ F1PF2=60°”, 求△ F1PF2的面积 .方法技巧 在解焦点三角形 (椭圆上一点 P和椭圆两个焦点 F1,F2为顶点的三角形 )的有关问题时 ,一般利用两个关系式 :(1)由椭圆的定义可得 |PF1|,|PF2|的关系式 ;(2)利用正、余弦定理或勾股定理可得 |PF1|,|PF2|的关系式 ,然后求解得|PF1|,|PF2|,有时也根据需要 ,把 |PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF 2|等看成一个整体来处理 .(2)求 △ PF1F2的面积 .答案 :(1)A解析 :(2)如图所示 ,|MF2|=2|ON|=2,所以 |MF1|=2a-|MF2|=8-2=6.答案 :(2)6题型四 易错辨析 —— 忽略焦点位置致误错解 :选 A纠错 :仅 考虑焦点在 x轴上的情况 ,没有考虑焦点在 y轴上的情况 .正解 :2c=2,c=1,故有 m-4=1或 4-m=1,所以 m=5或 m=3.故选 C.学霸经验分享区用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断 :根据条件判断椭圆的焦点是在 x轴上 ,还是在 y轴上 ,还是两个坐标轴都有可能 ;(3)找关系 :根据已知条件 ,建立关于 a,b,c或 m,n的方程组 ;(4)得方程 :解方程组 ,将解代入所设方程 ,即为所求 .注意 :用待定系数法求椭圆的方程时 ,要 “ 先定型 ,再定量 ” ,不能确定焦点的位置时 ,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n).2.1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质课标要求 素养达成1.理解 椭圆 的范 围 、 对 称性、 顶 点、 长轴长 及短 轴长 ;2.掌握 椭圆 的离心率及a,b,c的几何意 义 ;3.会用 椭圆 的 简单 几何性质 解 题 .通 过对椭圆 几何性 质的学 习 ,渗透数形 结 合的思想 ,培养学生的分析、 归纳 、推理等能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题 1:怎样利用椭圆的标准方程讨论椭圆的对称性 ?答案 :在椭圆标准方程中 ,以 -y代替 y,方程不变 ,说明椭圆关于 x轴对称 ;以 -x代替 x,方程不变 ,说明椭圆关于 y轴对称 ;以 -x代替 x,以 -y代替 y,方程不变 ,说明椭圆关于原点对称 .问题 2:怎样求椭圆的顶点 ?答案 :在标准方程中分别令 x=0和 y=0可以求得椭圆的四个顶点坐标 .问题 3:椭圆的几何性质中 ,哪些性质与坐标系的选择无关 (椭圆的固有性质 )?答案 :椭圆的长短半轴、焦距、离心率与坐标系的选择无关 ,是椭圆固有的几何性质 .椭圆的简单几何性质梳理-a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a坐标轴 (0,0)(-a,0) (a,0)(0,-b) (0,b)(0,-a) (0,a)(-b,0) (b,0)2a 2b2c(0,1)a2-b2名师点津 :(1)椭圆的离心率与椭圆扁圆程度的关系① 当 e接近 1时 ,椭圆越扁 ;② 当 e接近 0时 ,椭圆接近圆 ;③ 当 e=0时 ,c=0,a=b,椭圆的标准方程成为 x2+y2=a2,图形就是圆了 .题型一 椭圆的简单几何性质课堂探究 素养提升【 例 1】 求椭圆 4x2+9y2=36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标及离心率 .方法技巧 求已知椭圆方程讨论其几何性质时 ,应先将方程化为标准形式 ,写出 a,b,求出 c,进而讨论其几何性质 .同时注意焦点位置及某些概念的区别 ,如长轴长为 2a,焦距为 2c等 .(2)写出椭圆 C2的方程 ,并研究其性质 .② 对称性 :关于 x轴、 y轴、原点对称 ;③ 顶点 :长轴端点 (0,10),(0,-10),短轴端点 (-8,0),(8,0);【 备用例 1】 求椭圆 m2x2+4m2y2=1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 .题型二 利用椭圆的几何性质求标准方程【 例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程 :(1)长轴长是 10,离心率是 ;(2)在 x轴上的一个焦点 ,与短轴两个端点的连线互相垂直 ,且焦距为 6.方法技巧 根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时 ,应根据题意求出a,b的值 ,然后确定焦点所在的坐标轴 ,若焦点位置不确定需分类讨论 .题型三 椭圆的离心率方法技巧(2)在椭圆中涉及三角形问题时 ,要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理、全等三角形、相似三角形以及平面向量等知识 .题型四 易错辨析 —— 不会处理椭圆的离心率问题纠错 :求离心率时不会建立 a,b,c之间的关系 .学霸经验分享区(1)求椭圆离心率的方法① 直接求出 a,c的值 ,利用离心率公式直接求解 .② 列出含有 a,b,c的齐次方程 (或不等式 ),借助于 b2=a2-c2消去 b,转化为含有e的方程 (或不等式 )求解 .③ 特殊值 ,令 a=1,求出 c的值 ,e=c.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时 ,要结合图形进行分析 ,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时 ,要理清它们之间的关系 .第二课时 直线与椭圆的位置关系课标要求 素养达成1.理解直 线 与 椭圆 的位置关系 ;2.掌握直 线 与 椭圆 的位置关系的判断方法 ;3.会用代数方法解决 椭圆 的弦 长问题 、中点弦问题 .通 过对椭圆简单 几何性 质 的学 习 ,渗透函数与方程思想、 设 而不求、整体代入的思想 ,提高学生分析 问题 和解决 问题 的 综 合能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题 1:点与椭圆有哪几种位置关系 ?答案 :点与椭圆有三种位置关系 :点在椭圆上 ,点在椭圆内 ,点在椭圆外 .点与椭圆的位置关系知识点二 直线与椭圆的位置关系问题 2:怎样利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 ?答案 :将直线方程与椭圆方程联立后消去 y(或 x)得到一个关于 x(或 y)的一元二次方程 ,借助该方程的判别式讨论直线与椭圆的位置关系 .Δ 的取 值 解的个数 公共点的个数 位置关系Δ0 2 2 。Δ=0 1 1 。Δ0;(2) 直线与椭圆相切 ⇔Δ=0;(3) 直线与椭圆相离 ⇔Δ0,整理得 m225,所以 -5m5,即 m的取值范围为 (-5,5).【备用例 1】 已知中心在原点的椭圆 C的两个焦点和椭圆 C1:4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点 ,且椭圆 C经过点 A(2,-3).(1)求椭圆 C的方程 ;题型二 直线与椭圆的相交弦问题(2)当 P点恰好为线段 AB的中点时 ,求 l的方程 .方法技巧 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程组 ,利用根与系数的关系或中点坐标公式解决 .涉及弦的中点 ,还可使用点差法 :设出弦的两端点坐标 ,代入椭圆方程 ,两式相减即得弦的中点与斜率的关系 .(2)设直线 y=x+2交椭圆 C于 A,B两点 ,求线段 AB的中点坐标 .(2)求 △ ABF2的周长与面积 .题型三 与椭圆有关的定值、定点问题(2)设 P为第三象限内一点且在椭圆 C上 ,直线 PA与 y轴交于点 M,直线 PB与 x轴交于点 N,求证 :四边形 ABNM的面积为定值 .方法技巧 椭圆中定值、定点问题的求解方法椭圆中的定值、定点问题往往与椭圆中的 “ 常数 ” 有关 ,如椭圆的长、短轴等 .定值问题的求解与证明类似 ,在求定值之前 ,已经知道定值的结果 (题中未告知 ,可用特殊值探路求之 ),解答这类题要大胆设参 ,运算推理 ,到最后参数必清 ,定值显现 .2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程课标要求 素养达成1.了解双曲 线 的定 义 及其焦距的概念 ;2.了解双曲 线 的几何 图形、 标 准方程 .通 过对 双曲 线 及其 标准方程的学 习 ,渗透数形 结 合与 类 比的思想 ,提高学生分析 问题 和解决 问题 的 综 合能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题 1:在平面直角坐标系中 ,若 A(-5,0),B(5,0),当 ||PA|-|PB||=6,||PA|-|PB||=10,||PA|-|PB||=12时 ,点 P的轨迹分别是什么图形 ?答案 :当 ||PA|-|PB||=6时 ,点 P的轨迹是以 A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线 ;当 ||PA|-|PB||=10时 ,点 P的轨迹是两条射线 ;当 ||PA|-|PB||=12时 ,点 P的轨迹不存在 .梳理 平面内与两个定点 F1,F2的距离 等于常数 (小于|F1F2|且大于零 )的点的轨迹叫做双曲线 .这两个定点叫双曲线的 ,两焦点间的距离叫 .集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c为常数且 a0,c0.双曲线的定义差的绝对值焦点焦距知识点二 双曲线的标准方程问题 2:怎样利用双曲线的标准方程确定焦点的位置 ?答案 :如果 x2项的系数是正的 ,那么焦点在 x轴上 ;如果 y2项的系数是正的 ,那么焦点在 y轴上 .问题 3:双曲线标准方程中 a,b,c之间的关系如何 ?答案 :双曲线标准方程中 a,b,c的关系是 c2=a2+b2,不同于椭圆方程中 c2=a2-b2.名师点津 :(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点 (动点 )具备的几何条件,即 “ 到两定点 (焦点 )的距离之差的绝对值为一常数 ,且该常数必须小于两定点的距离 ” .若定义中的 “ 绝对值 ” 去掉 ,点的轨迹是双曲线的一支 .同时注意定义的转化应用 .(2)求双曲线方程时一是注意标准形式判断 ;二是注意 a,b,c的关系易错易混 .题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程课堂探究 素养提升【 例 1】 如图 ,圆 E:(x+2)2+y2=4,点 F(2,0),动圆 P过点 F,且与圆 E内切于点 M,求动圆 P的圆心 P的轨迹方程 .方法技巧 利用定义法求双曲线的标准方程的步骤(1)找出两个定点 (即双曲线的两个焦点 ).(2)根据条件确定动点到两个定点的距离的差 (或差的绝对值 )等于常数 .(3)确定 c和 a的值 ,再由 c2=a2+b2求出 b2.(4)写出双曲线 (或双曲线一支 )的标准方程 .即时训练 1:动圆 C与定圆 C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切 ,求动圆圆心 C的轨迹方程 .【备用例 1】 (2017· 绵阳高二期末 )已知两个定圆 O1和 O2,它们的半径分别是 2和 4,且 |O1O2|=8,若动圆 M与圆 O1内切 ,又与 O2外切 ,则动圆圆心 M的轨迹方程是 ( )(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线一支 (D)抛物线解析 :设动圆圆心为 M,半径为 R,由题意 |MO1|=R-2,|MO2|=R+4,所以 |MO2|-|MO1|=6(常数 )且 68=|O1O2|,故 M点的轨迹为以 O1,O2为焦点的双曲线的一支 .故选 C.题型二 求双曲线的标准方程方法技巧 (1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似 ,也是 “ 先定型 ,后定量 ”, 利用待定系数法求解 .(2)当焦点位置不确定时 ,应按焦点在 x轴上和焦点在 y轴上进行分类讨论 .(3)当已知双曲线经过两点 ,求双曲线的标准方程时 ,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn0)的形式求解 .题型三 双曲线定义的应用方法技巧 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据 .在应用时 ,一是注意条件 ||PF1|-|PF2||=2a(02a|F1F2|)的使用 ,二是注意与三角形知识相结合 ,经常利用正、余弦定理 ,同时要注意整体思想的应用 .即时训练 3:若双曲线 x2-4y2=4的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2的直线交右支于 A,B两点 ,若 |AB|=5,则 △ AF1B的周长为 . 解析 :由双曲线定义可知 |AF1|=2a+|AF2|=4+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|=4+|BF2|,所以 |AF1|+|BF1|=8+|AF2|+|BF2|=8+|AB|=13.△AF 1B的周长为 |AF1|+|BF1|+|AB|=18.答案 :18答案 :48题型四 易错辨析 —— 双曲线定义理解不清致误错解 :A(或 B)纠错 :双曲线定义理解不清 ,没有考虑到点 P可能在左右两支上 ,仅仅考虑其中一种情况导致丢解 .正解 :双曲线的左右焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知 ,||PF1|-|PF2||=2a=8,而 |PF2|=15,解得 |PF1|=7或 23.故选 D.学霸经验分享区求双曲线标准方程的方法(1)如果已知双曲线的中心在原点 ,且确定了焦点在 x轴上或是 y轴上 ,设出相应形式的标准方程 ,然后根据条件确定关于 a,b,c的方程组 ,解出 a2,b2,从而写出双曲线的标准方程 (求得的方程可能是一个 ,也有可能是两个 ,注意合理取舍 ,但不要漏解 ).(2)当焦点位置不确定时 ,有两种方法来解决 :一种是分类讨论 ,注意考虑要全面 ;另一种是如果已知中心在原点 ,但不能确定焦点的具体位置 ,可以设双曲线的一般方程 mx2+ny2=1(mn0).2.2.2 双曲线的简单几何性质课标要求 素养达成1.了解双曲 线 的 简单几何性 质 ,如范 围 、 对称性、 顶 点、 渐 近 线和离心率等 ;2.能用曲 线 的 简单 几何性 质 解决一些 简单问题 .通 过对 双曲 线 及其 标准方程的学 习 ,渗透数形 结 合与 类 比的思想 ,提高学生的分析 问题 和解决 问题 的能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一答案 :可以得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质 .问题 2:双曲线的离心率对双曲线的 “ 张口 ” 有何影响 ?答案 :离心率越大 ,双曲线的 “ 张口 ” 就越大 ;反之 ,离心率越小 ,双曲线的 “张口 ” 就越小 .问题 3:如何根据双曲线的标准方程求渐近线方程 ?答案 :把标准方程中等号右边的 1换为 0,解方程即可得到渐近线方程 .双曲线的几何性质梳理 双曲线的几何性质坐标轴 原点A1(-a,0),A2(a,0)a2+b2x∈ R,y≤-a 或 y≥a知识点二 等轴双曲线问题 4:等轴双曲线的两条渐近线是否垂直 ?离心率为多少 ?梳理 等轴双曲线 x2-y2=a2的渐近线方程为 y=±x.名师点津 :(1)焦点到渐近线的距离为 b.(4)过双曲线焦点 F1的弦 AB与双曲线交在同支上 ,则 AB与另一个焦点 F构成的 △ ABF2的周长为 4a+2|AB|.题型一 双曲线的几何性质课堂探究 素养提升【 例 1】 求双曲线 9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 .方法技巧 已知双曲线方程求其几何性质时 ,若不是标准方程先化成标准方程 ,确定方程中 a,b的对应值 ,利用 c2=a2+b2得到 c,然后确定双曲线的焦点位置 ,从而求出双曲线的几何性质 .题型二 求双曲线的标准方程方法技巧 (1)由双曲线的几何性质求标准方程 ,常用待定系数法求解 .若焦点位置不确定 ,应分焦点在 x轴 ,在 y轴两种情况讨论 .③ 渐近线为 y=kx的双曲线方程可设为 k2x2-y2=λ(λ≠0);④ 渐近线为 ax±by=0 的双曲线方程可设为 a2x2-b2y2=λ(λ≠0).题型三 直线与双曲线的位置关系即时训练 3:已知双曲线 3x2-y2=3,直线 l过右焦点 F2,且倾斜角为 45°, 与双曲线交于 A,B两点 ,试问 A,B两点是否位于双曲线的同一支上 ?并求弦 AB的长 .(2)设曲线 C的左、右顶点分别是 A1,A2,P为曲线 C上任意一点 ,PA1,PA2分别与直线l:x=1交于 M,N,求 |MN|的最小值 .题型四 易错辨析 —— 忽视隐含条件致误学霸经验分享区与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略(1)求双曲线的离心率 (或范围 ).依据题设条件 ,将问题转化为关于 a,c的等式 (或不等式 ),解方程 (或不等式 )即可求得 .(2)求双曲线的渐近线方程 .依据题设条件 ,求双曲线中 a,b的值或 a与 b的比值 ,进而得出双曲线的渐近线方程 .(3)求双曲线方程 .依据题设条件 ,求出 a,b的值或依据双曲线的定义 ,求双曲线的方程 .2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程课标要求 素养达成1.掌握抛物 线 的定 义 及焦点、准 线 的概念 ;2.会求 简单 的抛物 线 的方程 .通 过对 抛物 线 及其 标 准方程的学 习 ,进 一步理解求曲 线 的方法 —— 坐 标法 ,提高学生 观 察、 类 比、分析和 计 算的能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题 1:抛物线定义中的定点与定直线有怎样的位置关系 ?答案 :定点不在定直线上 .梳理 平面内与一个定点 F和一条定直线 l(F∉l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线 .定点 F叫做抛物线的焦点 ,定直线 l叫做抛物线的 .抛物线的定义相等准线知识点二问题 2:抛物线标准方程中 p有什么意义 ?答案 :抛物线标准方程中 p表示焦点到准线的距离 .问题 3:抛物线标准方程有几种类型 ?答案 :抛物线的焦点可以位于 x轴、 y轴的正、负半轴 ,有四种情况 ,故抛物线标准方程有四种类型 .问题 4:如何根据抛物线标准方程确定抛物线的焦点位置和开口方向 ?答案 :抛物线的焦点位于标准方程中一次变量对应的坐标轴上 ,当一次变量的系数为正时 ,焦点位于相应坐标轴的正半轴上 ,此时抛物线开口朝向相应坐标轴的正方向 ,反之 ,当一次变量的系数为负时 ,焦点位于相应坐标轴的负半轴上 ,此时抛物线开口朝向相应坐标轴的负方向 .抛物线标准方程的几种形式梳理 y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)名师点津 :(1)由抛物线定义 ,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互 转化 .题型一 定义法求抛物线的方程课堂探究 素养提升【例 1】 若动圆 M与圆 C:(x-2)2+y2=1外切 ,又与直线 x+1=0相切 ,求动圆圆心的轨迹方程 .名师导引 :根据动圆与定圆及定直线相切的几何条件 ,列出动圆圆心满足的等量关系式求解 .方法技巧 涉及平面内到定点距离与定直线 (点不在直线上 )距离相等的点的轨迹可直接用抛物线定义求方程 . 即时训练 1:若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小 1,则点 M的轨迹方程是 . 解析 :依题意可知 M点到点 F的距离等于 M点到直线 x=-4的距离 ,因此其轨迹是抛物线 ,且 p=8,顶点在原点 ,焦点在 x轴正半轴上 ,所以其方程为 y2=16x.答案 :y2=16x题型二 待定系数法求抛物线的标准方程【 例 2】 根据下列条件求抛物线的标准方程 .(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144的左顶点 ;(2)抛物线的焦点 F在 x轴上 ,直线 y=-3与抛物线交于点 A,|AF|=5.方法技巧 (1)求抛物线的标准方程首先应根据焦点位置判断标准方程的形式 ,若焦点位置不易确定时 ,可作出草图帮助分析 .(2)若涉及抛物线焦点在 x轴上时 ,可统一设为 y2=ax(a≠0), 可避免分类讨论 .即时训练 2:求适合下列条件的抛物线的标准方程 :(1)过抛物线 y2=2mx的焦点 F作 x轴的垂线交抛物线于 A,B两点 ,且 |AB|=6;题型三 抛物线定义的应用【 例 3】 若抛物线 y2=2x的焦点是 F,点 P是抛物线上的动点 ,又有点 A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点 P的坐标为 . 答案 :(2,2)方法技巧 与抛物线有关的最值问题 ,一般情况下都与抛物线的定义有关 .由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 ,因此此类问题也有一定的难度 .“ 看到准线想焦点 ,看到焦点想准线 ” ,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 .题型四 抛物线的实际应用【 例 4】 某抛物线形拱桥跨度是 20米 ,拱桥高度是 4米 ,在建桥时 ,每 4米需用一根支柱支撑 ,求其中最长支柱的长 .题型五 易错辨析 —— 对抛物线标准方程认识不清致误错解 :选 A纠错 :焦点的位置判断错误 .学霸经验分享区(1)抛物线定义的实质可归结为 “ 一动三定 ” :一个动点 M,一个定点 F(抛物线的焦点 ),一条定直线 l(抛物线的准线 ),一个定值 1(抛物线的离心率).(2)认真区分四种形式的标准方程① 区分 y=ax2与 y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程 .② 求标准方程要先确定形式 ,必要时要进行分类讨论 ,标准方程有时可设为 y2=mx或 x2=my(m≠0).2.3.2 抛物线的简单几何性质课标要求 素养达成1.了解抛物 线 的范 围 、 对称性、 顶 点、焦点、准 线等几何性 质 ,并能 应 用性质 解决一些 简单 的抛物 线问题 .2.理解直 线 与抛物 线 的位置关系 .通 过对 抛物 线 的 简单 几何性 质 的学 习 ,提高学生观 察、 类 比、分析和 计算等能力 .新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题 1:类比椭圆、双曲线的几何性质 ,你认为可以讨论抛物线哪些几何性质?答案 :可以讨论抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质 .问题 2:与椭圆、双曲线相比较 ,抛物线的几何性质有哪些不同 ?答案 :抛物线只有一条对称轴、一个顶点 ,它没有对称中心 ,抛物线的离心率是常数 1.抛物线的几何性质梳理 标 准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意 义 :焦点 F到准 线 l的距离图 形顶 点 O .对 称轴 . .焦点 F . F . F . F .(0,0) y=0 x=0 离心率 e= .准 线方程 . . . .范 围 x≥0,y∈ R x≤0,y∈ R y≥0,x∈ R y≤0,x∈ R开口方向 向右 向左 向上 向下焦半径(其中P(x0,y0))|PF|= .|PF|= .|PF|= .|PF|= .1 知识点二梳理 已知 AB是抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦 ,且 A(x1,y1),B(x2,y2),点 F是抛物线的焦点 (如图 ),则有 :抛物线的焦点弦梳理 设直线方程为 y=kx+b,抛物线方程为 y2=2px(p0),两方程联立并消去 y得 k2x2+2(kb-p)x+b2=0.(1)当 k=0时 ,直线与抛物线的对称轴平行 (b=0时重合 ),直线与抛物线有一个交点 ;(2)当 k≠0 时 ,若 Δ0, 直线与抛物线有两个不同的交点 ;若 Δ=0, 直线与抛物线相切 ,有一个公共点 ;若 Δ0)上 ,求这个三角形的边长 .方法技巧 若等腰三角形的顶点是抛物线的顶点 ,另外两个顶点在抛物线上 ,则这两个顶点关于抛物线的对称轴对称 .即时训练 1:等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB, 则 △ABO 的面积是 ( )(A)8p2 (B)4p2 (C)2p2 (D)p2题型二 直线与抛物线的位置关系【 例 2】 已知直线 l:y=k(x+1)与抛物线 C:y2=4x.问 :k为何值时 ,直线 l与抛物线 C有两个交点、一个交点、无交点 ?方法技巧 探究直线和抛物线的位置关系时 ,由于消元后所得的方程中含参数 ,因此要注意分二次项系数为 0和不为 0两种情况讨论 ,然后再对判别式Δ 进行讨论 .题型三 抛物线的焦点弦【 例 3】 (2018· 包头高二检测 )已知抛物线 C:y2=4x,F是抛物线 C的焦点 ,过点 F的直线l与 C相交于 A,B两点 ,O为坐标原点 .(1)如果 l的斜率为 1,求以 AB为直径的圆的方程 ;(2)设 |FA|=2|BF|,求直线 l的方程 .方法技巧 有关直线与抛物线的弦长问题 ,要注意直线是否过抛物线的焦点 ,若过抛物线的焦点 ,可直接使用公式 |AB|=x1+x2+p(焦点在 x轴正半轴 ),若不过焦点 ,则必须用弦长公式 .即时训练 2:(2018· 河北高二质检 )如图所示 ,O为坐标原点 ,过点 P(2,0),且斜率为 k的直线 l交抛物线 y2=2x于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点 .(1)求 x1x2与 y1y2的值 ;(2)求证 :OM⊥ON.题型四 抛物线中的定点、定值问题【 例 4】 (2018· 长春高二检测 )已知动圆过定点 A(4,0),且在 y轴上截得弦 MN的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C的方程 ;(2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x轴的直线 l与轨迹 C交于不同的两点 P,Q,若 x轴是∠PBQ 的角平分线 ,证明直线 l过定点 .方法技巧 (1)圆锥曲线中定点问题的两种解法① 引进参数法 :引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 ,再研究变化的量与参数何时没有关系 ,找到定点 .② 特殊到一般法 :根据动点或动线的特殊情况探索出定点 ,再证明该定点与变量无关 .(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略① 求代数式为定值 .依题意设条件 ,得出与代数式参数有关的等式 ,代入代数式、化简即可得出定值 .② 求点到直线的距离为定值 .利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 ,再利用题设条件化简、变形求得 .③ 求某线段长度为定值 .利用长度公式求得解析式 ,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 .【 备用例 2】 设抛物线 C:y2=4x,F为 C的焦点 ,过 F的直线 l与 C相交于 A,B两点 .(1)设 l的斜率为 1,求 |AB|的大小 ;题型五 易错辨析 —— 对直线与抛物线的公共点认识不清致误错解 :选 A纠错 :只考虑斜率存在的情况 ,忽视斜率不存在及直线平行于抛物线对称轴时的两种情形 .正解 :易知过点 (0,1),斜率不存在的直线为 x=0,满足与抛物线 y2=4x只有一个公共点 .当斜率存在时 ,设直线方程为 y=kx+1,再与 y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当 k=0时 ,方程是一次方程 ,有一个解 ,满足一个交点 ;当k≠0 时 ,由 Δ=0 可得 k值有一个 ,即有一个公共点 ,所以满足题意的直线有 3条 .故选 C.【 例 5】 过点 (0,1)且与抛物线 y2=4x只有一个公共点的直线有 ( )(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)0条学霸经验分享区直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求线段长度和线段之积 (和 )的最值 .可依据直线与抛物线相交 ,依据弦长公式 ,求出弦长或弦长关于某个量的函数 ,然后利用基本不等式或利用函数的知识 ,求函数的最值 ;也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离 .(2)求直线方程 .先寻找确定直线的两个条件 ,若缺少一个可设出此量 ,利用题设条件寻找关于该量的方程 ,解方程即可 .(3)求定值 .可借助于已知条件 ,将直线与抛物线联立 ,寻找待定式子的表达式 ,化简即可得到 .