2018年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程导学课件（打包9套）（新版）新人教版.zip

21.1 一元二次方程 核心目 标………………21课 前 预习 ………………3 课 堂 导 学 ………………45课 后巩固………………能力培 优………………核心目 标理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，正确 认识 二次 项 系数、一次 项 系数及常数 项 ．课 前 预习2 － 53x2－ 5x＋ 3＝ 0 (1)(5)1．下列方程：(1)2x2－ 4＝ 0; (2)x2－ 4＝ (x＋ 2)2；(3)x＋ 2y－ 5＝ 0; (4)x2＋ ＝ 1; (5)x2－ 2x＝ 3.其中，一元二次方程有 (填序号)_______________．2．将方程 (x－ 2)2－ 1＝ x化成一般形式是_____________________．3．一元二次方程 2x2＝ 5x－ 3的二次 项 系数是__________，一次 项 系数是 __________，常数项 是 __________．课 堂 导 学知 识 点 1：一元二次方程的概念【例 1】判断下列方程哪些是一元二次方程：(1)x2－ 2x－ 5＝ 0；(2)x(2x＋ 1)＝ 2(x2－ 1)；(3)x2＋ 3x＝ 0；(4) ＋ 2x－ 4＝ 0.【解析】判断是否是一元二次方程，要先化 简 ，再看是否符合一元二次方程的定 义 ．【答案】 (1)和 (3)是一元二次方程， (2)和 (4)不是一元二次方程．【点拔】判断一个方程是否是一元二次方程 应 抓住三个条件： (1)整式方程； (2)一个未知数； (3)未知数的最高次数是 2.课 堂 导 学CD2．已知 kx2＋ 2x－ 5＝ 0是关于 x的一元二次方程，那么 k的取 值应该 是 ( )A． k＞ 0 B． k＜ 0 C． k＝ 0 D． k≠0对 点 训练 一1．下列方程，是一元二次方程的是 ( )A． 2x＋ 1＝ 0 B． y2＋ x＝ 1C． x2＋ 1＝ 0 D． ＋ x2＝ 1课 堂 导 学3．方程 (m－ 2)x|m|＋ 3x＋ 1＝ 0是关于 x的一元二次方程， 则 ( )A． m＝ ±2 B． m＝ 2C． m＝－ 2 D． m≠±2C课 堂 导 学知 识 点 2：一元二次方程的一般形式【例 2】写出一元二次方程 (2x＋ 1)(x－ 4)＝ 2中的二次项 系数、一次 项 系数和常数 项 ．【解析】把一元二次方程化 为 一般形式得 2x2－ 7x－ 6＝ 0，可得 结 果．【答案】 2x2－ 7x－ 6＝ 0，二次 项 系数是 2，一次 项系数是－ 7，常数 项 是－ 6.【点 评 】要确定二次 项 系数，一次 项 系数和常数 项，必 须 先把一元二次方程化成一般形式．课 堂 导 学对 点 训练 二4．方程 3x2＝ 5x＋ 2化 为 一般形式 为__________________________．5．一元二次方程 x2－ 3x＝ 4的一次 项 系数是______________，常数 项 是________________．6．方程 (x－ 2)(2x＋ 1)＝ x2＋ 2化 为 一般形式 为_____________________________．3x2－ 5x－ 2＝ 0 x2－ 3x－ 4＝ 0－ 3 － 3 课 堂 导 学知 识 点 3：一元二次方程的解【例 3】已知 实 数 m是关于 x的方程 x2－ 3x＋ 2＝ 0的一根， 则 代数式 2m2－ 6m＋ 2值为 ________．【解析】把 m代入方程得 m2－ 3m＋ 2＝ 0，所以 m2－3m＝－ 2，所以 2m2－ 6m＋ 2＝ 2(m2－ 3m)＋ 2＝ 2×(－ 2)＋ 2＝－ 2.【答案】－ 2【点拔】利用根的定 义 解 题 是本 题 的关 键 所在．课 堂 导 学－ 2对 点 训练 三7．已知 x＝ 2是一元二次方程 x2＋ mx＋ 2＝ 0的一个解， 则 m的 值 是 ( )A．－ 3 B． 3C． 0 D． 0或 38． x＝ 2关于 x的一元二次方程 ax2－ 3bx－ 5＝ 0的一个根， 则 4a－ 6b的 值 是 ( )A． 4 B． 5C． 8 D． 10AB课 堂 导 学9．若 a(a≠0)是关于 x的方程 x2＋ bx－ 2a＝ 0的根， 则a＋ b的 值为 ( )A． 1 B． 2C．－ 1 D．－ 2B课 堂 导 学课 后巩固10．下列方程是一元二次方程的是 ( )A． x2－ 1＝ y B． (x＋ 2)(x＋ 1)＝ x2C． 6x2＝ 5 D． x2＝ 11．关于 x的方程 (m＋ 1)x2＋ 2mx－ 3＝ 0是一元二次方程， 则 m的取 值 是 ( )A． m≠0 B． m≠－ 1 C． m＞ 0 D． m＞－ 1CB课 后巩固12．将一元二次方程 5x2－ 1＝ 4x化成一般形式后，二次 项 系数和一次 项 系数分 别为 ( )A． 5，－ 1 B． 5， 4 C． 5，－ 4 D． 5x2，－ 4x13．将一元二次方程－ 3x2－ 2＝－ 4x化成一般形式为 ( )A． 3x2－ 4x＋ 2＝ 0 B． 3x2－ 4x－ 2＝ 0C． 3x2＋ 4x＋ 2＝ 0 D． 3x2＋ 4x－ 2＝ 0CA课 后巩固14．把一元二次方程 (x＋ 2)(x－ 3)＝ 4化成一般形式，得 ( )A． x2＋ x－ 10＝ 0 B． x2－ x－ 6＝ 4C． x2－ x－ 10＝ 0 D． x2－ x－ 6＝ 015．关于 x的一元二次方程 x2＋ a2－ 1＝ 0的一个根是 0， 则 a的 值为 ______________．C1或－ 1课 后巩固16．已知 m是方程 x2－ x－ 2＝ 0的一个根， 则 代数式m2－ m＋ 3的 值 是 __________．17．已知 x＝ 1是方程 x2＋ px＋ 1＝ 0的一个 实 数根，则 p的 值 是 __________．18．方程 (x＋ 2)(x－ 2)＝ 3x的一次 项 系数是 _______．52－ 3课 后巩固19．已知 x ＝ 1是一元二次方程 x2＋ mx＋ n＝ 0的一个根， 则 m2＋ 2mn＋ n2的 值为 __________. 20．用 10米 长 的 铝 材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6平方米．若 设 它的一条 边长为 x米， 则 根据 题 意可列出方程 为 ________________．1x(5－ x)＝ 6课 后巩固21．已知关于 x的方程 (k2－ 1)x2＋ (k－ 1)x－ 2＝ 0(1)当 k取何 值时 ，此方程 为 一元一次方程？由 题 意，得k2－ 1＝ 0且 k－ 1≠0得 k＝－ 1．(2)当 k为 何 值时 ，此方程 为 一元二次方程？由 题 意，得 k2－ 1≠0，得 k≠±1．能力培 优22． 规 定： 2！＝ 2×1； 3！＝ 3×2×1； 4！＝4×3×2×1， … ， n！＝ n×(n－ 1)×(n－2)×…×2×1 ，即称 n！ 为 n的 阶 乘．(1)计 算： ＝ __________；9900∵ ＝ 8×7＝ 56， ∴ 方程 为 x2＋ kx－ 56＝ 0，把 x＝ 7代入方程，得 49＋ 7k－ 56＝ 0，得 k＝ 1．(2)当 x＝ 7是一元二次方程 x2＋ kx－ ＝ 0的一个根，求 k的 值 ．感 谢 聆听21.2.1 配方法（一）核心目 标………………21课 前 预习 ………………3 课 堂 导 学 ………………45课 后巩固………………能力培 优………………核心目 标理解一元二次方程 “降次 ”—— 转 化的数学思想，会用直接开平方法解一元二次方程．课 前 预习1． x2－ 6x＋ _______________＝ (x－____________)2；2． 36的平方根是 __________________________．3．若 3x2＝ 27， 则 x＝__________________________．4．方程 (x－ 3)2＝ 4的根是________________________．9 3±6±3x1＝ 5， x2＝ 1课 堂 导 学知 识 点 1：形如 x2＝ p(p≥0)型方程的解法【例 1】用直接开平方法解下列方程：(1)x2－ 49＝ 0；(2)9x2－ 25＝ 0.【解析】把方程整理 变 形 为 x2＝ p(p≥0)的形式，再 对方程的两 边 直接开平方．课 堂 导 学【答案】解： (1)移 项 ，得 x2＝ 49.直接开平方，得 x＝ ±7.∴ x1＝ 7， x2＝－ 7.(2)原方程可化 为 x2＝ .直接开平方，得 x＝ ± ，∴ x1＝ ， x2＝ - .【点拔】直接开平方法的理 论 依据是平方根的定 义 ， 它是一元二次方程的最基 础 的解法．课 堂 导 学对 点 训练 一1．一元二次方程 x2＝ 9的解是 ___________________．2．一元二次方程 x2－ 4＝ 0的解是_______________________________________________________．3．用直接开平方法解方程： (1)x2－ 16＝ 0; (2)16x2－ 25＝ 0.x1＝ 4， x2＝－ 4x1＝ 3， x2＝－ 3x1＝ 2 ， x2＝－ 2课 堂 导 学知 识 点 2：形如 (mx＋ n)2＝ p(p≥0)型方程的解法【例 2】用直接开平方法解方程： 2(x－ 2)2－ 8＝ 0.【解析】先将方程化 为 (x－ 2)2＝ 4，再用直接开平方 法把方程化成两个一元一次方程求解．【答案】解：原方程可化 为 (x－ 2)2＝ 4.直接开平方，得 x－ 2＝ ±2.∴ x－ 2＝ 2或 x－ 2＝－ 2.∴ x1＝ 4， x2＝ 0.【点拔】解方程的关 键 是把方程化 为 “左平方，右常数 ”，再把系数化成 1.课 堂 导 学对 点 训练 二4．方程 (x－ 1)2＝ 4的解 为_______________________．5．方程 (x＋ 2)2－ 9＝ 0的解 为____________________．x1＝ 3， x2＝－ 1 x1＝ 1， x2＝－ 5x1＝ 6， x2＝－ 2 6．用直接开平方法解方程：(1)(x＋ 3)2－ 25＝ 0; (2) (x－ 2)2－ 8＝ 0 x1＝ 2， x2＝－ 8课 后巩固7．方程 x2－ 8＝ 0的解 为 ( )A． 2 B． 4 C． ±2 D． ±48．方程 (x－ 3)2＝ 16的根是 ( )A． x1＝ x2＝ 3 B． x1＝－ 1， x2＝ 7C． x1＝ 1， x2＝－ 7 D． x1＝－ 1， x2＝－ 7DB课 后巩固9．在 实 数范 围 内定 义 一种新运算 “⊕”，其 规则为 a⊕b＝ a2－ b2，根据 这 个 规则 ，方程 (x＋ 2)⊕3＝ 0的解为 ( )A． x1＝－ 5， x2＝－ 1 B． x1＝ 5， x2＝ 1C． x1＝ 5， x2＝－ 1 D． x1＝－ 5， x2＝ 110．若 2x2＋ 3与 2x2－ 4互 为 相反数， 则 x＝_________.11．若关于 x的方程 (x＋ 1)2＝ 1－ k没有 实 数根， 则 k的取 值 范 围 是 __________．Dk＞ 1课 后巩固12．用直接开平方法解方程：(1)2x2－ 50＝ 0 ; (2)4(x－ 1)2－ 36＝ 0；(3)2(3x－ 1)2－ ＝； (4)x2－ 6x＋ 9＝ 16.(1)x1＝ 5， x2＝－ 5 (2)x1＝ 4， x2＝－ 2(4)x1＝ 7， x2＝－ 1能力培 优13．我 们 把形如 x2＝ a(其中 a是常数且 a≥0)这样 的方程叫做 x的完全平方方程．如 x2＝ 9， (3x－ 2)2＝ 25， 2＝ 4… 都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路： 我 们 可以利用 “乘方运算 ”把二次方程转 化 为 一次方程 进 行求解．如：解完全平方方程 x2＝ 9的思路是：由 (＋ 3)2＝ 9， (－ 3)2＝ 9可得 x1＝ 3， x2＝－ 3.能力培 优解决 问题 ：(1)解方程： (3x－ 2)2＝ 25.解 题 思路：我 们 只要把 3x－ 2看成一个整体就可以利用乘方运算 进 一步求解方程了．解：根据乘方运算，得 3x－ 2＝ 5 或 3x－ 2＝______.分 别 解 这 两个一元一次方程，得 x1＝ ， x2＝－ 1.－ 5能力培 优(2)解方程 2＝ 4.感 谢 聆听21.2.1 配方法（二）核心目 标………………21课 前 预习 ………………3 课 堂 导 学 ………………45课 后巩固………………能力培 优………………核心目 标会利用配方法熟 练 、灵活地解数字系数的一元二次方程．课 前 预习1． 应 用公式 a2±2ab＋ b2＝ (a±b)2填空：(1)x2＋ 6x＋ ________＝ (x＋ ________)2；(2)x2－ 5x＋ ________＝ (x－ ________)2.2．方程 (x＋ 3)2＝ 5的解 为___________________________________________．3．方程 x2＋ 6x＋ 9＝ 5的解 为___________________________________________．9 3x1＝－ 3＋ ， x2＝－ 3－ x1＝－ 3＋ ， x2＝－ 3－ 课 堂 导 学知 识 点 1：二次 项 系数 为 1的一元二次方程【例 1】用配方法解方程： x2－ 4x＋ 2＝ 0.【解析】将方程 经过 移 项 、配方后 变为 形如 (x＋ m)2＝ p(p≥0)的形式，再用直接开平方法求解 .【答案】解：移 项 ，得 x2－ 4x＝－ 2.配方，得 x2－ 4x＋ 22＝－ 2＋ 22.(x－ 2)2＝ 2.∴ x－ 2＝ ±= ∴ x1＝ 2＋ ， x2＝ 2－ .【点拔】方程左右两 边 加上一次 项 系数一半的平方是配方的关 键 ．课 堂 导 学对 点 训练 一1．把下列方程化成 (x＋ m)2＝ k的形式：(1)x2＋ 8x＝9______________________________；(2)x2－ 2x＝ 0：____________________________．2．用配方法解方程： (1)x2＋ 4x＝ 5; (2)x2－ 6x＋ 6＝ 0.(1)x1＝ 1x2＝－ 5(x＋ 4)2＝ 25(x－ 1)2＝ 1(2)x1＝ 3＋x2＝ 3－ 课 堂 导 学知 识 点 2：二次 项 系数不 为 1的一元二次方程【例 2】用配方法解方程： 4x2－ 6x－ 4＝ 0.【解析】把常数 项 － 4移 项 后，然后化二次 项系数 为 1，再配方．课 堂 导 学【答案】解：移 项 ，得 4x2－ 6x＝ 4.二次 项 系数化 为 1，得 x2－ x＝ 1.配方，得 x2－ x＋ ＝ 1＋ .即 ∴ x－ ＝ ± . ∴ x1＝ 2， x2＝－ .【点拔】配方法的一般步 骤 ： ① 移 项 ； ② 化二次 项系数 为 1； ③ 配方； ④ 两 边 开平方； ⑤ 写出方程的解．课 堂 导 学对 点 训练 二3．用配方法解方程：(1)3x2－ 12x－ 15＝ 0；(1)x1＝ 5， x2＝－ 1 (2)2x2－ 4x－ 6＝ 0.(2)x1＝ 3， x2＝－ 1课 后巩固4．用配方法解一元二次方程 x2＋ 4x－ 5＝ 0，此方程可 变 形 为 ( )A． (x＋ 2)2＝ 9 B． (x－ 2)2＝ 9C． (x＋ 2)2＝ 1 D． (x－ 2)2＝ 15．用配方法解方程 2x2－ x－ 1＝ 0， 变 形 结 果正确的是 ( )A． B．C． D． AD课 后巩固D7．用配方法解方程 x2－ x－ 1＝ 0时 ， 应 将其 变 形为 ________________．课 后巩固8．已知 x2＋ 6x＝－ 1可以配成 (x＋ p)2＝ q的形式， 则q＝ __________．9．把 x2＋ 6x＋ 5＝ 0化成 (x＋ m)2＝ k的形式， 则 m＝__________．83课 后巩固10．解方程：(1)(x＋ 3)2＝ 2x＋ 5； (2)3x2－ 1＝ 6x(用配方法 ).(1)x1＝ x2＝－ 211．用配方法解方程：(1)x2－ 2x－ 8＝ 0； (2)5x2－ 20x－ 15＝ 0.(1)x1＝ 4， x2＝－ 2 能力培 优12． 阅读 下列材料：配方法是初中数学中 经 常用到的一个重要方法，学好配方法 对 我 们 学 习 数学有很大的帮助，所谓 配方就是将某一个多 项 式 变 形 为 一个完全平方式， 变 形一定要是恒等的 . 例如：x2＋ 4x＋ 5＝ x2＋ 4x＋ 4＋ 1＝ (x＋ 2)2＋ 1，∵ (x＋ 2)2≥0， ∴ (x＋ 2)2＋ 1≥1，∴ x2＋ 4x＋ 5的最小 值为 1.能力培 优试 利用 “配方法 ”解决下列 问题 ：(1)填空： x2－ 4x＋ 5＝ (x－ ______)2＋ ______；(2)求代数式 x2－ 8x＋ 5的最小 值 ．x2－ 8x＋ 5＝ x2－ 8x＋ 16－ 11＝ (x－ 4)2－ 11，∵ (x－ 4)2≥0，∴ (x－ 4)2－ 11≥－ 11，则 x2－ 8x＋ 5的最小 值为 － 11．2 1感 谢 聆听21.2.2 公式法核心目 标………………21课 前 预习 ………………3 课 堂 导 学 ………………45课 后巩固………………能力培 优………………核心目 标掌握求根公式的推 导过程，能熟 练 地运用求根公式解一元二次方程．课 前 预习1．一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)的求根公式是____________________．2．已知一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)．(1)当 b2－ 4ac＞ 0时 ，方程有 ______________实 数根；(2)当 b2－ 4ac＝ 0时 ，方程有 ______________实 数根；(3)当 b2－ 4ac＜ 0时 ，方程 __________实 数根．两个不相等 两个相等没有课 堂 导 学知 识 点 1：用公式法解一元二次方程【例 1】用公式法解方程： 4x2－ 5x＋ 1＝ 0.【解析】确定 a、 b、 c值 ，再 计 算 b2－ 4ac的 值 ，然后代入求根公式求解．【答案】解： ∵ a＝ 4， b＝－ 5， c＝ 1.∴ b2－ 4ac＝ (－ 5)2－ 4×4×1＝ 9＞ 0.课 堂 导 学【点拔】用公式法解一元二次方程的一般步 骤 ： ① 把一元二次方程化 为 一般形式； ② 确定 a、 b、 c的 值 ； ③ 计 算 b2－ 4ac的 值 ； ④ 当 b2－4ac≥0时 ，把 a、 b和 b2－ 4ac代入求根公式求解．课 堂 导 学对 点 训练 一1．用公式法解方程(1)x2＋ 2x－ 3＝ 0； (2)2x2－ 3x＋ 1＝ 0.(1)x1＝ 1， x2＝－ 3 (2)x1＝ 1， x2＝课 堂 导 学知 识 点 2：一元二次方程根的判 别 式【例 2】若一元二次方程 x2－ 2x＋ k＝ 0有两个不相等的 实 数根， 则 k的取 值 范 围 是 ( ) A． k＞ 1 B． k＜ 1C． k＜ 1且 k≠0 D． k≥1 【解析】方程有两个不相等的 实 数根， 则 △ ＞ 0，从而建立关于 k的不等式求解．B课 堂 导 学【答案】 B.【点拔】 对 于一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)，若方程有两个不相等的 实 数根， 则 △ ＞ 0；若有两个相等的 实 数根， 则 △ ＝ 0；当没有 实数根， 则 △ ＜ 0.课 堂 导 学对 点 训练 二2．一元二次方程 x2＋ 2x－ 3＝ 0根的情况是 ( )A．有两个不相等的 实 数根B．有两个相等的 实 数根C．没有 实 数根 D．无法确定3．若一元二次方程 x2－ 6x＋ m＝ 0有两个相等的 实 数 根， 则 m的 值为 __________．4．已知关于 x的方程 x2－ 4x＋ m＝ 0没有 实 数根，那么 m的取 值 范 围 是 __________．A9m＞ 4课 后巩固5．用公式法解一元二次方程 3x2－ 2x＋ 3＝ 0时 ，首先要确定 a、 b、 c的 值 ，下列叙述正确的是 ( )A． a＝ 3， b＝ 2， c＝ 3 B． a＝－ 3， b＝ 2， c＝ 3 C． a＝ 3， b＝ 2， c＝－ 3 D． a＝ 3， b＝－ 2， c＝ 36．用公式法解－ x2＋ 3x＝ 1时 ，先求出 a、 b、 c的 值， 则 a、 b、 c依次 为 ( )A．－ 1， 3，－ 1 B． 1，－ 3，－ 1C．－ 1，－ 3，－ 1 D．－ 1， 3， 1DA课 后巩固CD7．用公式法解方程 4y2＝ 12y＋ 3，得到 ( )A． B．C． D． 8．以 x＝ 为 根的一元二次方程可能是 ()A． x2＋ bx＋ c＝ 0 B． x2＋ bx－ c＝ 0C． x2－ bx＋ c＝ 0 D． x2－ bx－ c＝ 0课 后巩固9．一元二次方程 (x－ 2018)2＋ 2017＝ 0的根的情况是( )A．有两个相等的 实 数根 B．有两个不相等的 实 数根C．只有一个 实 数根 D．无 实 数根D课 后巩固10．方程 x2－ 6x＋ 10＝ 0的根的情况是 ( )A．两个 实 根和 为 6 B．两个 实 根之 积为 10C．没有 实 数根 D．有两个相等的 实 数根11．关于 x的一元二次方程 x2＋ bx＋ 1＝ 0中，有两个相等的 实 数根， 则 b的 值 是 __________．C±2课 后巩固12．若一元二次方程 x2－ x＋ k＝ 0有两个不相等的 实数根， 则 k的取 值 范 围 是 __________．13．用公式法解方程：(1)x2＋ 6x＋ 5＝ 0； (2)3x2＋ 2x－ 1＝ 0.(1)x1＝－ 1， x2＝－ 5 (2)x1＝ ， x2＝－ 1课 后巩固14．已知关于 x的方程 x2－ 2(k－ 1)x＋ k2＝ 0有两个不相等 实 数根(1)求 k的取 值 范 围 ；解：(1)∵ 关于 x的方程 x2－ 2(k－ 1)x＋ k2＝ 0有两个不相等 实 数根，∴ △ ＝ [－ 2(k－ 1)]2－ 4k2＝－ 8k＋ 4＞ 0，∴ k＜ ．课 后巩固(2)若方程其中一个根 为 － 2，求方程的另一个根 .(2)解：把 x＝－ 2代入方程 x2－ 2(k－ 1)x＋ k2＝ 0，得 (－ 2)2－ 2(k－ 1)×(－ 2)＋ 42＝ 0，即 k2＋ 4k＝0，解得 k＝ 0或 k＝－ 4，当 k＝ 0时 ，原方程 为 x2＋ 2x＝ 0，解得 x1＝ 0，x2＝－ 2；当 k＝－ 4时 ，原方程 为 x2＋ 10x＋ 16＝ 0，解得 x1＝－ 2， x2＝－ 8，所以另一个根是 0或－ 8．能力培 优15．已知关于 x的一元二次方程 (a＋ c)x2＋ 2bx＋ (a－c)＝ 0，其中 a、 b、 c分 别为 △ ABC三 边 的 长 ．(1)如果 x＝－ 1是方程的根， 试 判断 △ ABC的形状，并 说 明理由；(1)△ ABC是等腰三角形，理由：由 题 意，得 (a＋ c)×(－ 1)2－ 2b＋ (a－ c)＝ 0，得 a＝ b，∴△ ABC是等腰三角形．能力培 优15．已知关于 x的一元二次方程 (a＋ c)x2＋ 2bx＋ (a－c)＝ 0，其中 a、 b、 c分 别为 △ ABC三 边 的 长 ．(2)如果方程有两个相等的 实 数根， 试 判断 △ ABC的形状，并 说 明理由；(2)△ ABC是直角三角形，由 题 意，得 (2b)2－ 4(a＋ c)(a－ c)＝ 0，得 a2＝ b2＋ c2，能力培 优15．已知关于 x的一元二次方程 (a＋ c)x2＋ 2bx＋ (a－c)＝ 0，其中 a、 b、 c分 别为 △ ABC三 边 的 长 ．(3)如果 △ ABC是等 边 三角形， 试 求 这 个一元二次方程的根．(3)当 △ ABC是等 边 三角形，则 原方程可化 为 2ax2＋ 2ax＝ 0， ∴ x2＋ x＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝－ 1．感 谢 聆听21.2.3 因式分解法核心目 标………………21课 前 预习 ………………3 课 堂 导 学 ………………45课 后巩固………………能力培 优………………核心目 标理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程．课 前 预习1．因式分解：(1)x2＋ 2x＝________________________________；(2)x(x－ 3)＋ x－ 3＝_________________________.2． 试 写出下列方程的解：(1)x(x＋ 2)＝ 0的解 为_______________________；(2)(x－ 3)(x＋ 1)＝ 0的解 为___________________．x(x＋ 2) x1＝ 0， x2＝－ 2(x－ 3)(x＋ 1)x1＝ 3， x2＝－ 1课 堂 导 学知 识 点 1：因式分解法解一元二次方程【例 1】用因式分解法解方程：(1)3x(x－ 2)＝ 2(2－ x)；(2)4x2－ 9＝ 0.【解析】方程 (1)先移 项 ，使方程右 边为 0，再提取公因式 (x－ 2)；方程 (2)直接用平方差公式分解为 (2x＋ 3)(2x－ 3)＝ 0.课 堂 导 学【答案】解： (1)原方程可 变 形 为3x(x－ 2)＋ 2(x－ 2)＝ 0.∴ (x－ 2)(3x＋ 2)＝ 0，∴ x－ 2＝ 0或 3x＋ 2＝ 0.∴ x1＝ 2， x2＝－ .(2)因式分解，得 (2x＋ 3)(2x－ 3)＝ 0.∴ 2x＋ 3＝ 0或 2x－ 3＝ 0.∴ x1＝－ ， x2＝ .233232【点拔】因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这 种方法 简 便易用，是解一元二次方程最常用的方法．课 堂 导 学对 点 训练 一1．用因式分解法解方程：(1)x(x－ 2)＝ 6－ 3x； (2)(x－ 3)2－ 16＝ 0.x1＝－ 3， x2＝ 2 x1＝－ 1， x2＝ 7课 堂 导 学知 识 点 2：利用二次三 项 式 x2＋ (p＋ q)x＋ pq可因式分解 为 (x＋ p)(x＋ q)来解一元二次方程【例 2】用因式分解法解方程： x2－ 5x＋ 6＝ 0.【解析】此方程左 边 可分解 为 (x－ 2)(x－ 3)．【答案】解：因式分解，得 (x－ 2)(x－ 3)＝ 0.∴ x－ 2＝ 0或 x－ 3＝ 0.∴ x1＝ 2， x2＝ 3.【点拔】用因式分解法解一元二次方程的关 键 有两个：一是要将方程右 边 化 为 0；二是熟 练 掌握多 项 式因式分解的方法．课 堂 导 学对 点 训练 二2．用因式分解法解方程：(1)x2－ 3x－ 4＝ 0; (2)x2－ 7x＋ 12＝ 0.x1＝ 4， x2＝－ 1 x1＝ 3， x2＝ 4课 后巩固3．方程 x(x－ 2)＝ 3x的解 为 ( ) A． x＝ 5 B． x1＝ 0， x2＝ 5C． x1＝ 2， x2＝ 0 D． x1＝ 0， x2＝－ 54．方程 x2＋ x＝ 0的根 为 ( )A． x＝－ 1 B． x＝ 0 C． x1＝ 0， x2＝－ 1 D． x1＝ 0， x2＝ 15．方程 x2＝ 4x的解是 ( )A． x＝ 4 B． x1＝ 0， x2＝ 4 C． x＝ 0 D． x1＝ 2， x2＝－ 2BCB课 后巩固6．一元二次方程 x2＝ 3x的根是___________________．7．方程 x(x－ 3)＝ x－ 3的根是____________________．8．方程 x2－ 9x＋ 18＝ 0的两个根是等腰三角形的底和腰， 则这 个等腰三角形的周 长为 ____________．x1＝ 0， x2＝ 3x1＝ 1， x2＝ 315课 后巩固(3)x2－ 2x－ 1＝ 0；9．用合适的方法解下列方程：(1) (x－ 2)2＝ 3； (2)(x－ 1)2＝ 2x(1－ x)；13(1)x1＝ 5， x2＝－ 1 (2)x1＝ 1， x2＝ 13(3)x1＝ 1 ＋ 2 ， x2＝ 1－ 2 课 后巩固(4)x2－ 7x－ 18＝ 0；因式分解，得 (x－ 9)(x＋ 2)＝ 0于是得 x－ 9＝ 0或 x＋ 2＝ 0，解得 x1＝ 9， x＝－ 2；(5)2(x－ 3)2＝ x2－ 9.方程整理，得 2(x－ 3)2－ (x＋ 3)(x－ 3)＝ 0因式分解，得 (x－ 3)[2(x－ 3)－ (x＋ 3)]＝ 0于是，得 x－ 3＝ 0或 x－ 9＝ 0，解得 x1＝ 3， x2＝ 9．能力培 优10． 阅读 例 题 ，模 拟 例 题 解方程．例：解方程 x2＋ |x－ 1|－ 1＝ 0.解： (1)当 x－ 1≥0即 x≥1时 ，原方程可化 为 ：x2＋ (x－ 1)－ 1＝ 0即 x2＋ x－ 2＝ 0，解得 x1＝ 1， x2＝－ 2(x2不合 题 意，舍去 )；(2)当 x－ 1＜ 0即 x＜ 1时 ，原方程可化 为 ：x2－ (x－ 1)－ 1＝ 0即 x2－ x＝ 0，解得 x3＝ 0， x4＝ 1(x4不合 题 意，舍去 )．能力培 优综 合 (1)、 (2)可知原方程的根是 x1＝ 1， x2＝ 0.请 仿照以上例 题 解方程： x2＋ |x＋ 3|－ 9＝ 0.当 x＋ 3≥0即 x≥－ 3时 ，原方程可化 为 x2＋ x＋ 3－ 9＝ 0，即 x2＋ x－ 6＝ 0，解得 x1＝ 2， x2＝－ 3．当 x＋ 3＜ 0即 x＜－ 3时 ，原方程可化 为 x2－ (x＋ 3)－ 9＝ 0，即 x2－ x－ 12＝ 0，解得 x1＝－ 3， x2＝ 4(都不合条件，舍去 )所以方程的解 为 x1＝ 2， x2＝－ 3．感 谢 聆听核心目 标………………21课 前 预习 ………………3 课 堂 导 学 ………………45课 后巩固………………能力培 优………………21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系核心目 标本小 节为选 学内容，了解一元二次方程的两根之和及两根之 积 与系数的关系．课 前 预习1．完成下列表格 (x1、 x2是方程的两根 ): 方程 x1 x2 x1＋ x2 x1·x2x2－ 5x＋ 6＝ 0 2x2－ 3x＋ 1＝ 0 5x2－ 7x＋ 2＝ 0 2． 结 合上 题 ，写出一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 (a≠0)两根 x1、 x2与系数的关系是： x1＋ x2＝ __________， x1·x2＝__________．- baca2 3 5 41 3 1 2 2 212 2 2 5 5 51课 堂 导 学A知 识 点 1：一元二次方程根与系数的关系【例 1】已知一元二次方程 x2－ 3x－ 1＝ 0的两个根分别 是 x1、 x2， 则 x12x2＋ x1x22的 值为 ( )A．－ 3 B． 3 C．－ 6 D． 6【解析】由根与系数的关系有 x1＋ x2＝ 3， x1x2＝－ 1，而 x12x2＋ x1x22 ＝ x1x2(x1＋ x2)． 则 x12 x2＋x1x22 ＝ x1x2(x1＋ x2)＝－ 1×3＝－ 3. 【答案】 A【点拔】运用根与系数的关系解 题 ，要注意两根和的符号与原方程中一次 项 系数的符号的关系．课 堂 导 学对 点 训练 一1．若 x1， x2是一元二次方程 x2－ 3x＋ 2＝ 0的两根，则 x1＋ x2＝ __________， x1x2＝ __________．2．若关于 x的一元二次方程 x2＋ x－ 3＝ 0的两根 为 x1， x2， 则 2x1＋ 2x2＋ x1x2＝ __________．-2-53 23．若一元二次方程 x2＋ 4x＋ 2＝ 0的两根是 x1、 x2，则 ＝ __________．课 堂 导 学知 识 点 2：一元二次方程根与系数的关系和根的判 别式的 综 合 应 用【例 2】关于 x的一元二次方程 x2＋ 2x＋ k＋ 1＝ 0的 实数解是 x1和 x2.(1)求 k的取 值 范 围 ；(2)如果 x1＋ x2－ x1x2＜－ 1且 k为 整数 ,求 k的 值 .【解析】由方程有两个 实 数根，从而得 b2－ 4ac≥0，可求出 k的取 值 范 围 ；根据根与系数的关系 x1＋ x2＝－ 2， x1x2＝ k＋ 1代入不等式可求 k的 值 ．课 堂 导 学【答案】解： (1)由 题 意，得 △ ＝ 22－ 4×1×(k＋1)≥0，解得 k≤0.(2)由根与系数关系，得 x1＋ x2＝－ 2， x1x2＝k＋ 1, 由条件，得－ 2－ (k＋ 1)＜－ 1，解得 k＞－ 2, 又由 (1)得 k≤0， ∴ － 2＜ k≤0. ∵ k为 整数， ∴ k的 值为 － 1或 0.【点拔】本 题 是一元二次方程根与系数的关系与根的判 别 式的 综 合 应 用．解答此 题时 要注意 “方程的 实 数解是 x1和 x2”有两 层 意 义 ．即 △ ＝b2－ 4ac≥0.课 堂 导 学对 点 训练 二4．若关于 x的方程 x2－ 4x＋ m＝ 0有两个不相等的 实数根 x1、 x2.(1)求 m的取 值 范 围 ；(2)若 x1＝ 2＋ 3，求 x2. (1)由 题 意，得 △ ＝ (－ 4)2－ 4m＞ 0，解得 m＜ 4(2)由根与系数的关系得 x1＋ x2＝ 4，则 x2＝ 4－ (2＋ 3 )＝ 2－ 3课 堂 导 学5．已知：关于的方程 x2－ kx－ 2＝ 0.(1)求 证 ：方程有两个不相等的 实 数根；(2)设 方程的两根 为 x1， x2，若 2(x1＋ x2)＞ x1x2，求 k的取 值 范 围 ．(1)∵ △ ＝ (－ k)2－ 4×1×(－ 2)＝ k2＋ 8＞ 0，∴ 方程有两个不相等的 实 数根(2)由根与系数的关系得 x1＋ x2＝ k， x1x2＝－ 2，又 2(x1＋ x2)＞ x1x2， 则 有 2k＞－ 2，得 k＞－ 1．课 后巩固6．若 x1， x2是一元二次方程 x2＋ 2x－ 1＝ 0的两根，则 x1＋ x2＋ x1x2＝ __________．7．已知 α、 β是一元二次方程 x2－ 2x－ 2＝ 0的两 实 数根， 则 代数式 (α－ 2)(β－ 2)＝ __________．－ 3－ 2课 后巩固8．已知方程 x2＋ 5x－ 1＝ 0的两个 实 根是 x1， x2， 则x ＋ x ＝ __________． 21 219．已知 x1， x2是一元二次方程 x2＋ 6x＋ 3＝ 0两个 实数根， 则 的 值为 __________．2710课 后巩固10．已知关于 x的一元二次方程 x2－ 6x－ k2＝ 0(k为 常数 )．(1)求 证 ：方程有两个不相等的 实 数根；(2)设 x1、 x2为 方程的两个 实 数根，且 x1＋ 2x2＝14，求方程的两个 实 数根和 k的 值 . (1)∵ △ ＝ 36＋ 4k2＞ 0，∴ 方程有两个不相等的 实 数根(2)由根与系数得 x1＋ x2＝ 6，又 x1＋ 2x2＝ 14，解得 x1＝－ 2， x2＝ 8， ∵ x1x2＝－ k2，∴ － k2＝－ 2×8＝－ 16，得 k＝ ±4．课 后巩固11．已知关于 x的方程 x2－ 2(k－ 2)x＋ k2＝ 0有两个 实数根 x1， x2.(1)求 k的取 值 范 围 ；(2)若 x1＋ x2＝ 1－ x1x2，求 k的 值 ．解： (1)由 题 意 △ ≥0， ∴ 4(k－ 2)2－ 4k2≥0， ∴ k≤1.(2)∵ x1＋ x2＝ 2(k－ 2)， x1x2＝ k2，∴ 2(k－ 2)＝ 1－ k2，解得 k＝－ 1＋ 6 或－ 1－ 6，∵ k≤1， ∴ k＝－ 1－ 6．能力培 优12． (2017·黄石 )已知关于 x的一元二次方程 x2－ 4x－m2＝ 0(1)求 证 ： 该 方程有两个不等的 实 根；(2)若 该 方程的两 实 根 x1、 x2满 足 x1＋ 2x2＝ 9，求m的 值 ．(1)证 明： ∵ 在方程 x2－ 4x－ m2＝ 0中，△ ＝ (－ 4)2－ 4×1×(－ m2)＝ 16＋ 4m2＞ 0，∴ 该 方程有两个不等的 实 根；能力培 优12． (2017·黄石 )已知关于 x的一元二次方程 x2－ 4x－m2＝ 0(1)求 证 ： 该 方程有两个不等的 实 根；(2)若 该 方程的两 实 根 x1、 x2满 足 x1＋ 2x2＝ 9，求m的 值 ．(2)解： ∵ 该 方程的两个 实 数根分 别为 x1、 x2，∴ x1＋ x2＝ 4① ， x1·x2＝－ m2② ．∵ x1＋ 2x2＝ 9③ ，∴ 联 立 ①③ 解之，得： x1＝－ 1， x2＝ 5，∴ x1·x2＝－ 5＝－ m2，解得： m＝ ± 5．能力培 优13． (2017·南充 )已知关于 x的一元二次方程 x2－ (m－3)x－ m＝ 0(1)求 证 ：方程有两个不相等的 实 数根；(2)如果方程的两 实 根 为 x1、 x2， 且 x12 ＋ x22－x1x2＝ 7，求 m的 值 ．(1)证 明： ∵ x2－ (m－ 3)x－ m＝ 0，∴ △ ＝ [－ (m－ 3)]2－ 4×1×(－ m)＝ m2－ 2m＋ 9＝ (m－ 1)2＋ 8＞ 0，∴ 方程有两个不相等的 实 数根；能力培 优(2)∵ x2－ (m－ 3)x－ m＝ 0，方程的两 实 根 为 x1、 x2，且 x12 ＋ x22 － x1x2＝ 7，∴ (x1＋ x2)2－ 3x1x2＝ 7，∴ (m－ 3)2－ 3×(－ m)＝ 7，解得， m1＝ 1， m2＝ 2，即 m的 值 是 1或 2．13． (2017·南充 )已知关于 x的一元二次方程 x2－ (m－ 3)x－ m＝ 0(1)求 证 ：方程有两个不相等的 实 数根；(2)如果方程的两 实 根 为 x1、 x2， 且 x12 ＋ x22－ x1x2＝ 7，求 m的 值 ．感 谢 聆听