河北省邢台市桥东区八年级数学上册 17 特殊三角形导学案（无答案）（打包8套）（新版）冀教版.zip

117.1 等腰三角形(1)【学习目标】1．理解并掌握等腰三角形的概念及性质；2．掌握等边三角形的性质．【学习重点】1.等腰三角形的概念及性质；2.等 边三角形的性质．【学习难点】等腰三角形的性质．【预习自测】知识链接：三角形的三边，有的各不相等，有的有两边相等，有的三条边都相等．三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰 三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形也叫正三角形．(如图)【合作探 究】阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）1.△ ABC是等腰三角形吗？如果是，请指出它的两条腰．2.△ ABC是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴．3.∠ B和∠ C有什么关系?4.BC边上的高、中线以及顶角的角平分线与线段 AD有什么关系? BAC2【解难答疑】1．等腰直角三角形底角的度数是_ _______．2．等腰三角形顶角是底角的 ，这个三角形的顶角的度数是________．143．等边三角形有________条对称轴 ．4．等腰三角形的两边 a， b满足 ，那么这个三角形的周长是________．250b5．下面关于等腰三角形全等的判断中，正确的是（ ）A．顶角相等的两个等腰三角形全等；B．底角相等的两个等腰三角形全等；C．腰相等的两个等腰三角形全等；D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．6．作出一个等边三角形的所有的角平分线、中线和高，共计有（ ）A．9 条线段 B．6 条线段C．3 条线段 D．以上都不对【反馈拓展】1．已知 1，3， x分别为等腰△ ABC的三边长，化简|5—3 x|+|13—4x|=_________．2．等腰三角形的一个外角是 40度，则这个等腰 三角形的底角等于________度．3. 如图， CE为△ ABC中∠ C的平分线,延长 BC到 D使 CD=CA, F为 AD中点,连结 CF,求∠ ECF的度数．4．如图， CE交 AB于 E，且 CE=CB， ∠A=∠B ，说明： CE∥DA ．A BCEFD3【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些 疑惑： 2.做错的题目有： 原因： 117.1 等腰三角形(2)【学习目标】1．掌握判定等腰三角形、等边三角形的方法；2．能运用等腰三角形判定定理及性质定理解决实际问题；3. 会用尺规作等腰三角形．【学习重点】等腰三角形、等边三角形的判定．【学习难点】等腰三角 形的判定．【预习自测】知识链接：在上节课我们学习了等腰三角形的特征（性质）(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)等腰三角形的两底角相等．用符号语言来表示：如图，在 △ABC 中，因为 AB=AC 所以∠ B=∠ C.其作用是：用于说明（证明）同一个三角形中的两角相等.(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 高重合，它们所在的 直线都是等腰三角形的 对称轴(也称之为“三线合一”)．其作用是：可说明（证明）角相等、线段相等或垂直.【合作探究】自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题.等 腰三角形的识别方法：（1）用定义识别：有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.推理格式：△ ABC 中，若∠ B=∠ C，则 AB=AC．等边三角形的识别方法：（1）有三个角都相等的三角形是等边三角形．B CA2符号语言：△ ABC 中，若∠ A=∠ B=∠ C，则△ ABC 是等边三角形．（2）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．符号语言：△ ABC 中， AB=AC，∠ A=60° (∠ B=60°或∠ C=60°)，则△ ABC 是等边三角形．【解难答疑 】1．如图， AB=AC，∠ A=36°， BD 平分∠ ABC，图中除 BC 外，与 BC 相等的线段分别是________．2．如图，△ ABC 中，∠ C=90°，∠ B=30°， AD 平分∠ BAC，交 BC 于 D，那么 BD： DC=________．3．如图， P 是∠ AOB的平分线上的一点，要求在 OA 上取一点 Q，使△ OPQ 为等腰三角形，满足要求的点有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个4．如果等腰三角形的三个内角中，有一个 钝角，那么这个角一 定是（ ）A．顶角 B．底角 C．顶角或底角 D．无法确定5 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是 35°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）A．35° B．55° C．70° D．80°【反馈拓展】1．如图， AB=AC， O 是 BC 的中点， OD⊥ AB， OE⊥ AC．请用两种方法说明 OD=OE 的理由．A1 题图B CDAB CD2 题图PAOB3 题图32.如图，△ ABC 中 ，∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线相交于点 O， DE 经过 O 点，且 DE//BC．⑴请指出图中的两个等腰三角形．⑵请选择⑴中的一个三角形，说明它是等腰三角形的理由．⑶如果△ ABC 的周长是 26，△ ADE 的周长是 18，请求出 BC 的 长．３. 上午 8 时，一条船从 A 处出发，以每小时 15 海里的速度向正北航行，10 时到达 B 处，从A、B 望灯塔 C，测得∠ NAC＝42 °，∠ NBC=84°.求从 B 处到灯塔 C 的距离.【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因： A2 题图B CD EO117.２直角三角形【学习目标】1． 掌握直角三角形的性质定理和判定定理；2． 掌握含 30°角的直角三角形的性质．【学习重点】直角三角形的性质定理和判定定理．【学习难点】 含 30°角的直角三角形的性质．【预习自测】一．知识链接１.三角形内角和定理：三角形的内角和等于 ；２.有一个内角是 的三角形叫做直角三角形；３.三角形中线的定义：连接三角形的 与 的 ，叫做这个三角形的中线．【合作探究】１.直角三角形的性质定理： ２.含 30°角的直角三角形的性质： ３.直角三角形的判定： 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ A＝30°，∠ C＝90°，延 长 BC 到 D，使 BD=BA，连结 AD.（1）判断△ ABD 的形状．（2）填空: BC＝ CD＝ 21________＝ 21________（3）对于 Rt△ ABC，当∠ A=30°，∠ C=90°，∠A 所对的直角边与斜边有什么关系？试着表达．2【解难答疑】１．如图， AB=AC，∠ A=36°， BD 平分∠ ABC，图中除 BC 外，与 BC 相等的线段分别是_______ _．２．如图，△ ABC 中，∠ C=90°，∠ B=30°， AD 平分∠ BAC，交 BC 于 D，那么BD： DC=________．3.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， CD 是斜边上的中线， CE 是斜边上的高．⑴请说明△ BCD 是正三角形的理由．⑵如果 DE=1，请求出 AB 的长．【拓展延伸】1.如图， △ ABC 中，∠ B = 90 º ，∠ C = 30 º , AB = 1 ，将 △ ABC 绕顶点 A 旋转 1800 ，点 C 落在 C ′处，则 CC′的长为（ ）A . 4 2 B.4 C . 2 3 D . 2 5A１题图BCDAB CD２题图A3 题图BCD E32.如图，在△ ABC 中，∠ A=90°， DE 垂直平分 BC，若 AC=2，∠ B=15°，求 线段 BD 的长.【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因： 117.３ 勾股定理(1)【学习目标】1．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探索的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展说理和简单的推理的意识及能力.【学习重点】 1.掌 握勾股定理；2.并会用勾股定 理进行有关的计算.【学习难点】勾股定理的探究过程.【预习自测】一．知识链接由等边三角形的边角特点，提出直角三角形的边角特点问题.在等边三角形 ABC 中，∠ Ａ＝ ∠ Ｂ＝ ∠ C→ ＡＢ＝ＢＣ＝Ａ C.在直角三角形 ABC 中，∠ Ａ ＋∠ Ｂ＝ ∠ C＝ 90°，ＡＢ、 ＢＣ、 Ａ C 三边之间有怎样的关系呢？二． 【合作探究】自主学习1．自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题.2．查找有关“勾股定理”的资料.（一）特殊情况探究（等腰直角三角形）问题：设 1 个单位的正方形方格面积为 1，思考：以 AC 为一边的正方形面积 AC2是 , AB CABC1ABCAC B2ABC以 BC 为一边的正方形面积 BC2是 , 以 AB 为一边的正方形面积 AB2是 ．思考：三个正方 形面积之间有什么关系？由三个正方形面积可以得到中间的直角三角形的三边之间存在什么关系？如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个长度单 位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.(二)尝试验证勾股定理【解难答疑】1．直角 ABC 的两直角边 a=5,b=12,c= .2．直角 ABC 的一条直角边 a=6,斜边 c=10，则 b= . 3．一高为 5 米的木梯,架在 高为 3 米的墙上(如图),这时梯 脚与墙的距离是多少米? ４.题目：在 Rt △ ABC 中, ∠ C=90 °(1)已知 a=3,b=4,求 c;(2)已知 a=6,c=10,求 b;(3)已知 c=25,b=15,求 a. BACbac3５.周长为24， 斜边长为10的直角三角形面积为（ ）A．12 B．16 C．20 D． 24６.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( )A．30 B．28 C．56 D．不能确定７.在直角三角形 ABC 中， 90，两直角边分别为 a， b,斜边为 c，如果 a=5， b=12，那么c=______;如果 b=8， c=17，那么三角形的面积是______．【拓展延伸】１. 如图，四边形 ABCD是正方形， AE垂直于 B，且 AE=3， B=4，阴影部分的面积是______．２.如图，在△ ABC中， CE平分∠ ACB， CF平分∠ ACD，且 EF∥ BC交 AC于 M，若 EF＝5，则2CEF＝＿＿＿＿． A F E C D M B 【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因： A B D C E 117.３ 勾股定理(2)【学习目标】1.初步运用勾股定理解决简单的实际问题；2.运用勾股定理解决有关直角三 角形的问题 .【 学习重点】运用勾股定理解决简单的实际问题.【学习难点】运用勾股定理解决简单的实际问题.【预习自测】一．知识链接1．如 果直角三角形两直角边分别为 a， b，斜边为 c，那么 a2 +b2 = c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2．运用方法因为 ∠ C＝90° 所以 a2 + b2 = c2或 AC2 + BC 2 = AB 2勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方” ，即放“成直角”的线．正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇 了。尼加拉瓜在 1971 年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式” ，其中之一便是勾股定理．现在让我们一起走进“勾股定理的应用”.【合作探究】自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题，同时解决以下问题：例:如图是一只圆柱形的封 闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的、 ，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌1AB2棒的一个端点在 B 点，另一个端点在 A 点时最长，此时可以把BACb ac2线段 AB 放在 Rt△ ABC 中，其中 BC为底面直径．【解难答疑】1. 一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图 ,如果量得 AC＝6m， CB＝8m．则树在刮断之前有________高．2. 如图：有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.3. 要从电线杆离地面 5 米处向地面拉一条 13 米的拉线，求地面拉线固定点 A 到电线杆底部 B 的距离．4．有两根木棒，它们的长度分别是 40cm 和 50cm，若要钉成一个三角形木架，其中必须有一个角是 直角，则所需最短的木棒长度是多少?５．一段长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面 6m，现将梯顶沿墙面下滑 1m，则梯子底端与墙面距离是否 也增长 1m？说明理由.【拓展延伸】1.是我国古代著名的“赵爽弦图” 的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ，6AC8 米8 米 2 米 3，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图-2 所示的“数学风车”5BC，则这个风车的外围周长是 ．2.如图，四边形 ， EFGH， NMC都是正方形，边长分别为 abc， ， ；ABCDN， ， ， ，五点在同一直线上，则 c （用含有 ， 的 代数式表示） ．3.把一根长为 160 cm 的细铁丝剪成三段，作成一个等腰三角形风筝的边 ABC(如图)，已知风筝的高 AD=40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？4. 如图，南北向 MN 为我国的领海线，即 MN 以西为我国领海，以东为公海．上午 9 时 50 分，我国反走私艇 A 发现正东方有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意．反走私艇 A 通知反走私艇 B：A 和 C 两艇的距离是 13 海里，ABC图-1 图-2aD CBAcN E FbGH4A、B 两艇的距离是 5 海里．反走私艇 B 测得距离 C 艇是 12海里，若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因： 117.３ 勾股定理(3)【学习目标】１.能准确理解勾股定理的逆定理；２.能利用勾股定理的逆定理判定直角三角；３.能够验证勾股定理的逆定理．【学 习重点】能利用勾股定理的逆定理判定直角三角形．【学习难点】 能利用勾股定理的逆定理判定直角三角形．【预习自测】一．知识链接：1．如果直角三角形两直角边分别为 a， b，斜边 为 c，那么 a2 +b2 = c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2．运用方法因为 ∠ C＝90° 所以 a2 + b2 = c2或 AC2 + BC 2 = AB 2二． 【合作探究】1.你用 12 根火柴棒，任意摆出一个三角形，能摆出几种三角形？学生动手操作，共摆出 3 种，边长分别是：2，5，5；3，4，5；4，4，4思考：如果火柴的长度为 1，那么（1）图中哪个三角形的三边具有“两边的平方和等于第三边的平方”的关系？（2）其中哪个三角形是直角三角形？（3）请你用量角器进行度量，验证你的判断．BACb ac22．小活动： （1）画一个三角形，使它的边长分别为 5cm，12cm，13cm．（2）边长 5，12，13 之间有怎样的关系？（ ）22513（3）用量角器度量这个三角形内角，它是什么三角形？（直角三角形）思考：通过以上我们的试验，我们可否知道怎样由边的关系识别一个三角形为直角三角形呢？【解难答疑】1.（1）下列结论错误的是( ) A．在△ ABC 中，若∠ A＝ ∠ C－ ∠ B， 则△ ABC 是直角三角形；B．在△ ABC 中，若 a2＋ b2＝ c2，则△ ABC 是直角三角形；C．在△ ABC 中，若∠ A、 ∠ B、 ∠ C 的度数比是 5：2：3，则△ ABC 是直角三角形；D．在△ ABC 中，若三边长 a： b： c＝2：2：3，则△ABC 是直角三角形．（2）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据（ ）A. 25，48，80 B．15，17 ，62 C．25，59，74 D ．32，60，682.（1）若一个三角形的三边长为 m+1,m+2,m+3,那么当 m=_________时，这个三角形是直角三角形.（2）如果一个三角形有两边的平方分别为 16、25，那么第三边的平方是________时，这个三角形是直角三角形.3．如图，D 是△ ABC 上的一点，若 AB＝10， AD＝8， AC＝17， BD＝6．求 BC 的长．4. 有一块四边形地 ABCD(如图)∠ B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地 ABCD 的面积？3CBA【拓展延伸】1. 如果△ ABC 的三边分别为 a、 b、 c， 且满足 ，判断△ ABC 的形状.2506810ababc3．正方形网格中，小格的顶点叫做格点.小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形.小华在左边的正方形网格中作出了 Rt⊿ABC.请 你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因： 117.４直角三角形全 等的判定【 学习目标】１.会用“HL”判定两个直角三角形是否全等．２.已知斜边及一直角边，会用尺规画直角三角形．【学习重点】 会用“HL ”判定两个直角三角形是否全等．【学习难点】已知斜边及一直角边，会用尺规画直角三角形【预习自测】三角形全等的判定方法有哪些？因此对于任意三角形全等的判定方法有：(SSS) (SAS) (ASA) (AAS)△ABC 和△ A’B’C’中． AC=A’C’， AB=A’B’，∠ C=∠C ’， △ ABC 和△ A’B’C’全等吗？【合作探究】在△ ABC 和△ A’B’C’中． AC=A’C’， AB=A’B’，∠ C=∠ C’， △ ABC 和△ A’B’C’全等吗？两个角和其中一个角的对边对应相等，不能判断两个三角形全等如果∠ C=∠ C’=90° ，△ ABC 和△ A’B’C’全等吗？【解难答疑】：A A＇C B C＇ B＇A A’C B C’ B’2１.要测量河两岸相对的两点 A， B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C， D，使 CD=BC,再定出 BF 的垂线 DE，使 A， C， E 在同一条直线上，如图，可以得到 ，所以 ED=AB，因ED△ △此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定 的理由是（ ）B△ △A．SAS B．ASA C．SSS D ． HL２.下列判断中错误的是（ ）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两 边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等３. 已知点 B、 F、 C、 E 在同一直线上， AC、 DF 相交于点 G， AB⊥ BE，垂足为 B， DE⊥ BE，垂足为 E，且 AB=DE，BF=CE，求证△ ABC≌ △DEF.【拓展延伸】１.点 A、E、F、D 在同一直线上，且 AE=DF， BF⊥ AD， CE⊥ AD， 垂足分别为点 F、 E，且 BF=CE.求证：AB=CD.２.在△ ABC 和△ BCD 中, AC 与 BD 交于 O 点, BE⊥ AC,CF⊥ BD 且 OB=OC.求证: BE=CF.AB EDCFG3３.已知∠ ACB=∠ BDA=90°， AD=BC， AB//CD.求证 ：∠1=∠2.【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因： 117.５反证法【学习目标】１.掌握反证法的证明的步骤；２.能用反证法进行推理证明；３.学会反面说理的方法，培 养从正反两方面进行说理的能力．【学习重点】反证法的证明的步骤．【学习难点】 能用反证法进行推理证明．【预习自测】复习 1：直接证明的两种方法: 和 ;复习 2：直接证明的两种方法的证明格式是什么?二.自主学习新知识 点：1.反证法的概念为:2.反证法的理论依据是什么?:反证法的证明步骤是什么?【合作探究】1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 ”时，假设正确的是（ ）60A．假设三内角都不大于 60B．假设三内角都大于C．假设三内角至多有一个大于D．假设三内角至多有两个大于 602. 实数 不全为 0 等价于为 （ ）,abc2A． 均不为 0,abcB． 中至多有一个为 0C． 中至少有 一个为 0,D． 中至少有一个不为 0abc3. 已知 ,证明 的方程 有且只有一个根．0xab【解难答疑】1. 证明在 中,若 是直 角,那么 一定是锐角．ABCB2.试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）已知： ；求证： ；证明：假设 ，则可设 它们相交于点 A.那么过点 A 就有 条直线与直线c 平行，这与“过直线外一点 矛盾,则假设不成立. ∴ .【拓展延伸】1.求证：一个三角形中， 至少有一个内角不少于 .6032.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.３.求证：在 一个三角形中，两边之和大于第三边．【总结反思】1.本节课我学会了： 还有些疑惑： 2.做错的题目有： 原因：