八年级数学上册 第二章 实数同步辅导素材（打包9套）（新版）北师大版.zip

1二次根式中的思想方法一、数形结合思想例 1（2016 年乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 25a+|a－2|的结果为＿＿＿.分析：由数轴确定出 a－5 和 a－2 的符号，并直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案.解：由数轴，得 a－5＜0， a－2＞0，则 25+|a－2|＝5－ a+a－2＝3.故填 3.二、方程思想例 2 （2016 年泰州）实数 a， b 满足 1+4a2+4ab+b2＝0，则 ba的值为（ ）A. 2 B. 12 C. －2 D. － 12分析：先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出 a， b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解.解：整理，得 1a+(2a+b)2＝0，则 a+1＝0，2 a+b＝0，解得 a＝－1， b＝2.所以 ba＝2 －1 ＝ .故选 B.点评：若几个非负数的和为 0，则这几个非负数同时为 0.a0 2 51二次根式加减“一二三”自主学习第一步：化简——二次根式加减的基础对于给定的二次根式加减式子，一般都需要先化简，使每一个二次根式成为最简二次根式.将一个二次根式化成最简二次根式不外乎两种情况：一是被开方数是整式或整数时，可先将它分解因式或分解因数，再把能开得尽方的因式或因数开出来，从而达到化简目的；二是被开方数是分数（包括小数）或分式时，可利用法则 ba（a≥0，b0）进行必要的转化，再进行化简.第二步：判断——二次根式加减的关键在第一步化简的基础上，判断二次根式的被开方数是否相同，若相同，则为下一步运算做准备；若不同，则在下一步将二次根式及其前面的符号写在结果中.第三步：合并——二次根式的归宿通过前面适当的化简后，就可以将被开方数相同的二次根式合并在一起.合并时应注意合并的只是二次根号外部的因式或因数，而不是二次根号内部的被开方数.课堂探究1.二次根式的加减例 1 计算：-3 5-2 7+4 +6 .思路点拨：题中每一个二次根式都是最简二次根式，可看出-3 5与 4 、-2 7与 67的被开方数相同，可以直接合并.点评：本题结果中的 5、 7被开方数不同，不能再合并，避免出现 5+ 7= 12=2 3的错误.例 2 计算： 27135.07231.思路点拨：题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”进行计算.点评：二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数.如 25的系数225不能写成 1， 3的系数 1不能写成 310.2.二次根式的混合运算例 3 计算： 25325720.思路点拨：按照运算法则进行，先算乘方，再算乘除，最后加减，同级运算按从左往右的顺序进行.点评：二次根式的混合运算与整式的混合运算顺序类似，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.参考答案课堂探究： 例 1 5+4 7.例 2 3.例 3 9 -8.1二次根式巧计算一、巧移因数，避繁就简例 1 计算：（3 2+ 48） （ 1-4 3） ．分析：将 3 、4 根号外的因数移到根号内，然后运用平方差公式进行计算；或先把 8、 1进行化简，然后运用平方差公式进行计算．解：原式=（ 23+ 48） （ 1- 243）=（ 18+ 4） （ 18- 4）=18-48=-30．二、巧提公因数，化难为易例 2 计算：（5+ 6） （5 2-2 3） ．分析：5 -2 3中提取公因数 后，运用平方差公式进行计算．解：原式=（5+ 6） 〔 2（5- 6） 〕= 2（5+ 6） （5- ）= 2（25-6）=19 2．三、巧分组，出奇制胜例 3 计算：（ 2+ 3- 6） （ 2- 3- 6） ．分析：两个括号内的三项式中，把两个完全相同的项结合在一起，看做一个整体，则可以运用平方差公式进行计算．解：原式=〔（ 2- 6）+ 3〕 〔（ 2- 6）- 3〕=（ 2- 6） 2-（ 3） 2=2-22× 6+6-3=5-4 ．四、整体代入，别开生面例 4 已知 x= 12（ 7+ 5） ，y= 12（ 7- 5） ，求下列各式的值：（1）x 2-xy+y2；（2） xy+ .分析：根据 x，y 值的特点，可得 x+y= 7，x-y= 5，xy= 12.将原式变形为关于x+y，x-y，xy 的式子，再代入求值．解：因为 x= 12（ 7+ 5） ，y= 12（ - ） ，所以 x+y= 7，xy= .（1）x 2-xy+y2=（x+y） 2-3xy=（ 7） 2-3× =1.2（2） xy+ =2y=2()xy=21(7)=12.1二次根式的乘除三注意一、注意法则的运用例 1 计算：（1）2 3× 62；（2）3 5÷1.分析：（1）二次根式的乘法应该是系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，还要注意有负号的先把负号提到前面.（2）二次根式的除法应该是系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，也可以先将除法化为乘法后再利用乘法的运算法则进行计算.解：（1）原式=-2× 32× 6=-3× 23=-9 ；（2）原式= 15× =15 .二、注意运算顺序例 2 计算： 7182.分析：在二次根式的运算中，同级运算应该按照从左到右的顺序进行计算，本题应该先算除法，再算乘法.解：原式= 2718= 32.三、注意最后结果要化成最简形式例 3 计算：2 × 4÷ .分析：在二次根式的运算中，最后结果要化为最简形式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.解：原式= 1123284=32.1方根的个人秀一、求立方根例 1 求下列各数的立方根：（1） 346；（2） 308A.分析：开立方与立方互为逆运算，所以可以通过立方的方法求一个数的立方根.解：（1）因为 347()6，所以 3476.（2）因为 3082AA，所以 3082AA.二、利用性质进行计算例 2 计算： 333316()(25A.分析：利用立方根的性质： 33a， 3a， 3()a进行计算.解： 333311126()(26065525A AA.例 3 计算 222())(0)A.分析：利用平方根的性质： 2(0)a＞ ＜以及 2()a，进行计算.解： 22211())(05)205AA.1比较实数大小点点通一、利用数轴比较例 1 在 ，0，-1， 这四个实数中，最大的是（ ）13 2A． B．0 C．-1 D．13 2解析：如图 1，将这四个数表示在数轴上，最右边的点表示的数是 ，所以这四个数中，最大的数是 .故选 D.2 2点评：利用数轴比较实数的大小，正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数.二、用求差法比较例 2 比较大小： 512 1（填“＞” 、 “＜”或“=” ）.解析： -1= - = 3.因为 5＜ 9=3，所以 5-3＜0，所以 52＜0，即 512＜1.故填＜.点评：本题利用求差法比较实数大小，关键是判断出差的符号.三、利用取近似值法比较例 3 将实数 ，π，0，-6 按由小到大用“＜”号连起来 . 5解析：问题集中在比较 和 π 的大小，因为 ≈2.236，π≈3.14，所以 ＜π.5 5 5故填-6＜0＜ ＜π.5点评：适当取一些实数的近似值，通过比较近似值的大小来比较原数的大小.四、利用平方法比较例 4 比较 32和 的大小.解析：因为（ ） 2= 94， （ 3） 2=3=14，又 9＜ 2，所以 3＜ .点评：将两个实数分别进行平方运算，通过比较平方结果的大小来确定原数的大小.1盘点平方根的题型类型 1： a 的平方根或 a例 1 81 的平方根是（ ）A. ±9 B. 91 C. 9 D. -9解析：根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数. 981，故选 A.类型 2： a的平方根例 2 4的平方根是（ ）A．2 B．±2 C． 2 D． 2解析：本题要求的是 4 的算术平方根的平方根，因此要先计算 4的值，再根据平方根的定义求解.因为 4，2 的平方根是 ，故选 D.类型 3： a的平方根例 3 6的平方根是_________.解析：先求出 64 的立方根，再开平方计算.43，4 的平方根是±2，故填±2.类型 4： na的平方根例 4 2-）（ 的平方根是_________.解析：先求出 ）（ 的值，再利用平方根的定义计算．因为 2-）（ =4，4 的平方根是±2，故填±2.温馨提示：求一个正数的平方根时，要计算出这个数本身的值，然后再进行开方计算.1街拍生活中的方根学习了平方根、立方根知识后，你知道它们在实际生活中的应用吗？下面让我们走进生活，街拍几个生活中方根的场景. 例 1 如图 1，某学校计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池.已知小喷水池的面积是 7 19平方米，花坛的绿化面积为 11 23平方米，则花坛的外周长与小喷水池的周长一共是多少米？分析：解决本题的关键是求出两个正方形的边长，利用正方形的面积易求得两正方形的边长分别为 179和 23，分别求出算术平方根即可．解：由题可知喷水池的边长为 179= 64= 83（米） ，花坛的外周边长为 12793= 645=169= 3（米） ，所以周长总长为：4×( + )=28（米） ．答：花坛的外周长与小喷水池的周长一共是 28 米.例 2 图 2 是居民王广厦和“七彩乐居”装饰公司员工小李的对话：图 2通过以上信息请计算：这种正方形地板砖的边长为 m． 分析：根据题意可知，50 块地板砖的面积和为 18m2，只要计算出一块地板砖的面积，然后再开方即可求得正方形地板砖的边长．解：每块这种地板砖的面积为 1850= 92m2，则这种正方形地板砖的边长为 925= 3=0.6（m） ．故填 0.6． 例 3 某农户原计划利用现有的一面墙再修三面墙，建造如图 3 所示的长方体养鱼池，用来培育鱼苗，长方体长 9 m，宽 8 m，高 3 m，后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体养鱼池，则待建的三面墙的长度和是 米（不考虑墙的厚度） ．分析：要求待建的三面墙的长度和，求出正方体的棱长即可.从相等关系入手，即长方体养鱼池的体积=正方体养鱼池的体积.图 3图 17 1911 23我的书房有 18 m2，打算用地板砖铺设地面．可以用 50 块正方形地板砖铺好客厅．小李王广厦2解：设正方体养鱼池的棱长为 x 米.根据题意，得 9×8×3=x3，所以 x= 398= 3216=6．所以待建的三面墙的长度和是 6×3=18（米）.故填 18.1解实数问题 数轴最给力一、依数定点例 1 如图 1，在数轴上表示实数 10的点可能是（ ）A.M B.N C.P D.Q图 1解析： 因为 403，所以表示 10的点应在 4和 3之间．观察数轴，可知点 M表示的数在 4和 之间．故选 A．二、依点定数例 2 若将三个数 3， 7， 1表示在数轴上，其中能被如图 2所示的墨迹覆盖的数是 ．图 2解析： 因为 30， 193，2= 974＜＜ =3，所以能被图 2所示的墨迹覆盖的数是7．故填 ．三、化简求值例 3 实数 a， b在数轴上的位置如图 3所示，化简 22()aba．图 3解析： 由数轴，可知 0a， b，且 0ab．所以原式 ()2．