1、2014 暑期小升初数学衔接班12014 暑期小升初数学衔接辅导（含答案）专题一 负数1、 相关知识链接小学学过的数：（1） 整数（自然数）：0，1，2，3（2） 分数： 1,42（3） 小数：0.5，1.2，0.25提问：（1） 温度：零上 8 度，零下 8 度，在数学中怎么表示？（2） 海拔高度：+25，-25 分别表示什么意思？（3） 生活中常说负债 800 元，在数学中又是什么意思？2、 教材知识详解负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。【知识点 1】正数与负数的概念（1） 正数：像 5，1.2， ，125 等比 0 大的数叫做
2、正数。13（2） 负数：像-5，-1.2，- ，-125 等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比 0 小， “-”不能省略。注：（1）0 既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如 0【例 1】下列那些数为负数5，2，-8.3，4.7， - ，0，-013【知识点 2】有理数及其分类（1） 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数） 。注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。（2） 有理数分类：2014 暑期小升初数学衔接班2按性质分类：,5.20,5.2正 整 数 ： 如 1， 3， 正
3、 有 理 数 正 分 数 ： 如 ， ，有 理 数 负 整 数 ： 如 -1， - 3， 负 有 理 数 负 分 数 ： 如 ， ，按定义分类： ,5.2正 整 数 ： 如 ， 2, ，整 数 0负 整 数 ： 如 -1， 3， 有 理 数 正 分 数 ： 如 ， ，分 数 负 分 数 ： 如 -， ，3【例 2】把下列各数填在相应的集合内，23，0.5， , 28, 0, 4, 513, 5.2.整数集合 负数集合 负分数集合 非负正数数集合 【基础练习】1、零下 30C 记作（ ） 0C；（ ）既不是正数，也不是负数。2、在 0.5,-3,+90%,12,0,- 这几个数中,正数有( ),
4、负数有( )。233、银行存折上的“2000.00”表示存入 2000 元，那么“-500.00”表示（ ）4、将下面的数填在适当的（ ）里1.65 -15.7 2340 96%(1)冰城哈尔滨，一月份的平均气温是( )度。(2)六(2)班( )的同学喜欢运动。(3)调查表明，我国农村家庭电视机拥有率高达( )。(4)杨老师身高( )米。(5)某市今年参与马拉松比赛的人数是( )人。5、在里填上“” 、 “b0，比较 a，-a，b，-b 的大小。【基础练习】一、判断1、在有理数中，如果一个数不是正数，则一定是负数。 ( )2、数轴上有一个点，离开原点的距离是 3 个单位长度，则这个点表示的数一
5、定是 3 ( )3、已知数轴上的一个点，表示的数为 3，则这个点到原点的距离一定是 3 个单位长度。( )4、已知点 A 和点 B 都在同一条数轴上，点 A 表示 3，又知点 B 和点 A 相距 5 个单位长度，则点 B 表示的数一定是 8。 ( )5、若 A，B 表示两个相邻的整数，那么这两个点之间的距离是一个单位长度。 ( )6、若 A、B 两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的整数( )7、数轴上不存在最小的正整数。 ( )8、数轴上不存在最小的负整数。 ( )9、数轴上存在最小的整数。 ( )10、数轴上存在最大的负整数。 ( )二、填空11、规定了_、_和_
6、的直线叫做数轴；12、温度计刻度线上的每个点都表示一个_，0C 以上的点表示_，_的点表示负温度。0 ab2014 暑期小升初数学衔接班613、在数轴上点 A 表示2，则点 A 到原点的距离是_ 个单位；在数轴上点 B 表示+2，则点 B 到原点的距离是_个单位；在数轴上表示到原点的距离为 1 的点的数是_ _；14、在数轴上表示的两个数，_的数总是比_数小；15、0 大于一切_；16、任何有理数都可以用_上的点来表示；17、点 A 在数轴上距原点为 3 个单位，且位于原点左侧，若将 A 向右移动 4 个单位，再向左移动 1 个单位，这时 A 点表示的数是 _；18、将数1,0.2,7，从大到
7、小用“”连接是_；19、所有大于3 的负整数是_，所有小于 4 且不是负数的数是_。三、选择21、下列四对关系式错误的是 ( )(A)3.7 215(D) 3022、已知数轴上 A、B 两点的位置如图所示，那么下列说法错误的是 ( )(A)A 点表示的是负数 (B)B 点表示的数是负数 (C)A 点表示的数比 B 点表示的数大 (D)B 点表示的数比 0 小24、下列说法错误的是( )(A)最小自然数是 0 (B)最大的负整数是1 (C)没有最小的负数 (D)最小的整数是 025、在数轴上，原点左边的点表示的数是( )(A)正数 (B)负数 (C)非正数 (D)非负数26、从数轴上看，0 是(
8、 )(A)最小的整数 (B)最大的负数 (C)最小的有理数 (D)最小的非负数【基础提高】1、 下列各图中，是数轴的是（ ）2、下列说法中正确的是（ ）A正数和负数互为相反数 B0是最小的整数C在数轴上表示+4 的点与表示-3的点之间相距1个单位长度D所有有理数都可以用数轴上的点表示A B C D0 1 10 1 -1 0 12014 暑期小升初数学衔接班73、下列说法错误的是（ ）A所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B数轴上的原点表示0C在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2D数轴上表示-5 的点，在原点负方向5 个单位13134、数轴上表示-2.5与 的点之间，表示整数的点的个数是
9、（ ）72A3 B4 C5 D65、 若-x=8 ，则 x的相反数在原点的_侧6、 把在数轴上表示-2 的点移动 3 个单位长度后，所得到对应点的数是_7、 数轴上到原点的距离小于 3 的整数的个数为 x，不大于 3 的整数的个数为 y，等于 3 的整数的个数为 z，则 x+y+z=_8、数轴的三要素是_、_、_9、在数轴上 0 与 2 之间(不包括 0，2) ，还有_个有理数10、在数轴上距离数 1 是 2 个单位的点表示的数是_；11、指出下图所示的数轴上各点分别表示什么数A，B，C ，D，E，F 分别表示_，_，_，_，_，_12、在数轴上描出大于-3而小于 5的所有整数点13、 判断下
10、面的数轴画的是否正确，如果不正确，请指出错在哪里？14、 在数轴上表示 ，将点 沿数轴向右平移 3 个单位到点 ，则点 所表示的数为A1ABA3 2 2 或 4415、画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序，用“0）, a（a 0）|a|= 0(a=0), 或|a|=-a(a m1,则 m_1.若| x|=|4|,则 x=_. 若| x|=| 21|,则 x=_.二、选择题1.|x|=2,则这个数是（ ）A.2 B.2和2 C.2 D.以上都错2.|1a|= a，则 a一定是（ ）A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为 m，则这个数为
11、（ ）A. m B.m C.m D.2m4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）A.正数 B.负数 C.正数、零 D.负数、零5.下列说法中，正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值不小于它自身 B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D. a的绝对值等于 a三、判断题1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. （ ）2.若两个数相等，则这两个数的绝对值 也相等. （ ）2014 暑期小升初数学衔接班103.若 x0、b0，则 a+b=|a|+|b|；若 a0、b|b|则 a+b=|a|-|b|；若 a0、b0,b0;
12、（2）a0,b (4)a0,bb,下列各式成立的是A.a+b(-a)+(-b); B.a+(-b)(-a)+b C.(+a)+(-a) (+b)+(-b) D.(-a)+(-b)0,b0,a=-b Ca+b=0 Da+(-b)=05、计算（1） （+23）+（-27）+（+9）+（-5 ） ； （2） （-5.4）+(+0.2)+(-0.6)+(+0.35)+(-0.25);（3）2 +6 +(-2 )+(-5 )+(-5.6); (4)(-3 )+(4 )+(- )+(+2 )+(1+1 );5312851265812（5）8 +6 +(-3 )+(-5 )+(-3 ).47476专题六 有
13、理数的乘除法一. 重点难点：1. 重点：掌握有理数乘除法运算律2. 难点：熟练运用运算律进行计算二. 知识要点：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘都得 0。有理数中仍有：乘积是 1 的两个数互为倒数。有理数乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置积相等。有理数乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相等，或者先把后两个数相乘，积相等。有理数乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并且绝对值相除，0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。【典型例题】例 1（1）
14、 9)3( （2）)2(1解：（1） 72014 暑期小升初数学衔接班18（2）1)2(例 2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每升高1000 米，气温变化量为 C6，登高 km3后，气温有什么变化？解： 183)(答：气温下降 18例 3 计算：（1）)41(59)6(（2） 41)5(6)(解：（1）)(5)3(8963（2） 416415例 4 用两种方法计算2)(解法一：1)613(2164解法二：162324)( 例 5 计算：（1） 9)36( （2）)5(解：（1） 4（2） 5)3(21)5(例 6 化简下列分数：（1）（2） 14解：（1）3
15、)12(（2） 451245【模拟试题】1. 计算：（1） )7(8（2） )5(1（3） 4.09.2（4） 982014 暑期小升初数学衔接班19（5） 13)9(（6） )14(5（7）4（8） 832.0（9） )(2（10） )7()(2. 当 3a， 6b， .3c， 5.d时，计算下列各式：（1） dc（2） （3） )(（4） ba3. 用“ ”“”“=”填空：（1）若 0， ，则 ba 0，a0（2）若 a， ，则 0， 0（3）若 0， b，则 a 0， ba02014 暑期小升初数学衔接班20【试题答案】1. （1） 56（2） 60（3） 16.（4） 9（5） 7（6
16、） 4（7） （8） 3（9） 2（10） 2102.（1）4.2 （2） 57（3） 4. （4） 563.（1） ； （2） ； （3） ；2014 暑期小升初数学衔接班21专题七 有理数的乘方一. 教学重、难点重点：理解乘方及有理数乘方运算难点：熟练掌握乘方运算二. 知识要点（一）求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 na中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作 a 的 n 次幂。（二）有理数混合运算1. 先乘方再乘除最后加减2. 同级运算从左到右进行3. 如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行。（三）科学记数法把一个大于 10 的数表示成 na10的形式
17、，使用的是科学记数法。（四）近似值与有效数字从一个数的左边第一个非 0 的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。【典型例题】例 1 计算：（1） 3)4( （2） 4)(解：（1） 63（2） 1)()()(4例 2 计算： )2(3243 解：原式 9)16()85.7.例 3 观察下面三行数：2、 4、 8、 16、 32、 4 0、 、 、 、 0、 1、 、 、 、 、 （1）第行按什么规律排列（2）第行与第行分别有什么关系（3）取每行第 10 个数求这几个数的和解：（1）第行数是 2、 2)(、 3、 4)2(（2）对比两行数第行数是第行数加 2，对比两行数第行数是第一
18、行数的 0.5 倍。（3）每行数中，第 10 个数的和是 5.0)2()()(110102561014例 4 用科学记数法表示下列各数： 、 57、 3解： 6 10.70 102.202014 暑期小升初数学衔接班22例 5 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似值。（1） 058.（精确到 01.）（2） 4（保留两位有效数字）解：（1） 6 （ 2） 8.4.【模拟试题】1. 计算：（1） 3)( （2） 6)( （3）2)(（4） 4510（5）3)6(72. 用科学记数法表示下列各数：（1） 230 （2） 1850（3） 73. 用四舍五入法取近似值：（1） 56.（精确到
19、.）（2） 89（保留 3 位有效数字）【试题答案】1.（1） 7 （2） 64 （3） 91（4） （5） 722.（1） 8035. （2） 805. （3） 10.3.（1） . （2） .专题八 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性1括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单例 1 计
20、算：2014 暑期小升初数学衔接班23分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算例 2 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算2014 暑期小升初数学衔接班24解 原式=(211555+211445)
21、+(445789+555789)=211(555+445)+(445+555)789=2111000+1000789=1000(211+789)=1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和” ，它是有理数巧算中的常用技巧例 3 计算：S=1-2+3-4+(-1) n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1” ，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法解 S=(1-2)+(3- 4)+(-1)n+1n下面需对 n 的奇偶性进行讨论：当 n 为偶数时，上式是 n2 个
22、(-1)的和，所以有当 n 为奇数时，上式是(n-1)2 个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1n=n，所以有例 4 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-” ，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在 1，2，3，1998 之前任意添加符号“+”或“-” ，不会改变和的奇偶性在 1，2，3，1998 中有 19982 个奇数，即有 999 个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于 12014 暑期小升初数学衔接班25现考虑在自然数 n，n+1，n+2，n+3 之间添加符号
23、“+”或“-” ，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将 1，2，3，1998 每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是 1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零” ，这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代换 2，上述运算过程变为(a+b)(a-b
24、)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算例 5 计算 30012999 的值解 30012999=(3000+1)(3000-1)2014 暑期小升初数学衔接班26=30002-12=8 999 999例 6 计算 1039710 009 的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919例 7 计算：分析与解 直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数
25、：12 345，12 346，12 347可设字母 n=12 346，那么 12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为 n2-(n-1)(n+1)应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是 1，所以原式=24 690例 8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中 2，2 2，2 4，每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a 2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+
26、1)=(2 2-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(2 4-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(2 32-1)(232+1)2014 暑期小升初数学衔接班27=2 64-1例 9 计算：分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)本题就是一个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化例 10 计算：2014 暑期小升初数学衔接班28我们用一个字母表示它以简化计算3观察算式找
27、规律例 11 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析与解 若直接把 20 个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在 90 上下，所以可取 90 为基准数，大于 90 的数取“正”，小于 90 的数取“负” ，考察这 20 个数与 90 的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+(-3)+1+4+(- 2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(- 2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=17
28、99，2014 暑期小升初数学衔接班29平均分为 90+(-1)20=89.95例 12 计算 1+3+5+7+1997+1999 的值 分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于 2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母 S 表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将 S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500 个 2000)=200050
29、0从而有 S=500 000说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题 3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于 2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决例 13 计算 1+5+5 2+53+599+5100的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的 5倍如果将和式各项都乘以 5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得2014 暑期小升初数学衔接班304S=5101-1，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于 5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决例 14 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于所以说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用练习一
