1、自 动 控 制 原 理,2011年10月,唐 求电气与信息工程学院,第四章 线性系统的根轨迹法,根轨迹法的基本概念,4-1,根轨迹绘制的基本法则,4-2,广义根轨迹,3,系统性能的分析,4,4-3,4-4,一、根轨迹概念,二、根轨迹方程,当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在 S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。,4-1 根轨迹法的基本概念,三、闭环零极点与开环零极点的关系,一、根轨迹概念,设系统的结构如图,系统的闭环传递函数,闭环特征方程式,特征方程的根,改变K*值，求得相应的闭环特征根值:,S2+2S+
2、K*= 0,K*变化时,闭环特征根在S平面上的轨迹:,从根轨迹可知:,（1）位于左半平面上的特征根为稳定极点；,位于虚轴上的根为临界极点。,位于右半平面上的根为不稳定极点；,（2）0K*1时，系统有两个不相等的实 数根，呈过阻尼状态。,（3）当K*=1时，系统有个相等的实数根， 呈临界阻尼状态 。,（4）1K*时，特征根为两个复数根， 系统呈欠阻尼状态。,4-1 根轨迹法的基本概念,定义：当开环传递函数的某一参数变化时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。,4-1 根轨迹法的基本概念,从典型的根轨迹图中，可以预测系统的性能。,1、稳定性,当K*从0时，根轨迹在s平面左半平面，故系统稳
3、定。,3、稳态性能,系统为I型系统,K*/2为静态速度误差系数,（若给定系统的稳态误差要求，可以确定闭环极点位置的容许范围）,2、动态性能,1）0K*1 一对共轭复根，欠阻尼系统。,j,0,-2,-1,K*=0,K*=0,K*=,K*=,K*=1,根轨迹与系统性能：,4-1 根轨迹法的基本概念,闭环特征方程的根的位置与系统的性能是密切相关的，当系统的某个参数发生变化时，特征方程的根在平面上的位置以及系统的性能将随之而变.,*根轨迹法的基本思路:,*根轨迹的定义:,系统的一个或多个参数由零变到无穷大时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。,*根轨迹法的分析手段:,利用根轨迹法来分析和设计系统，
4、首先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹图显然是难以实现的，必须找到一种方便、有效的作图方法。作图方法的依据就是根轨迹方程。,4-1 根轨迹法的基本概念,二、根轨迹方程,设系统的结构如图,系统的闭环传递函数为,开环传递函数的 一般表达式为,根轨迹增益,开环传递函数零点,开环传递函数极点,系统的闭环特征 方程式为,即,1+G(s)H(s)=0,G(s)H(s)=-1,根轨迹方程为,可见，满足开环传递函数等于-1的S即为闭环特征方程式的根。,根轨迹方程又可分解为下述幅值方程和相角方程，即,幅值方程,或,相角方程,K=(0,1,2),根据根轨迹的基本特征和关键点，就
5、能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。,4-1 根轨迹法的基本概念,模值条件与相角条件的验证,验证：s1,2= -1.09j2.07在根轨迹上。,-1.09+j2.07,2.26,2.11,2.072,K*=,= 6.0068,92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o,开环零、极点：z1= -1p1= -2p2= -1.5p3= 0.5,三、闭环零极点与开环零极点的关系,闭环传递函数：,前向通路根轨迹增益,反馈通路根轨迹增益,4-1 根轨迹法的基本概念,由此可见：,1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益;,2）闭环零点由前向通路零点和反馈通路极点组成；
6、,3）闭环极点与开环零、极点及根轨迹增益k*有关。,开环系统根轨迹增益,4-1 根轨迹法的基本概念,八、根之和,七、根轨迹与虚轴的交点,六、根轨迹的起始角和终止角,五、根轨迹的分离点,四、实轴上的根轨迹段,三、根轨迹的渐近线,一、根轨迹的起点和终点,二、根轨迹的分支数和对称性,4-2 根轨迹绘制的基本法则,1. 起点,根据根轨迹方程：,则,一、根轨迹的起点和终点,K*=0,s = pj,根轨迹起始于开环传递函数的极点,2. 终点,s = zi,m条根轨迹终止于开环传递函数的零点,n-m条根轨迹终止于无穷远,根轨迹起于开环极点，终于开环零点。,4-2 根轨迹绘制的基本法则,二、根轨迹的分支数和对
7、称性,1根轨迹对称于实轴,闭环特征方程实数根分布在S 平面的实轴上。,复数根则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反。,根轨迹必定对称于实轴。,j,0,S1,S2,S3,S4,S5,S6,2. n阶系统有n条根轨迹,K*取某一数值时,n阶特征方程有n个确定的根。,K*=0每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹， n个根形成n条根轨迹。,4-2 根轨迹绘制的基本法则,p3= -2,p2= -1,例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。,解：,系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点。,开环零、极点：,p1= 0,z1= -1+j z2 = -1-j,两条根轨迹终止于开
8、环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。,j,1,-1,-1,-2,0,p1,p2,p3,z1,z2,4-2 根轨迹绘制的基本法则,三、根轨迹的渐近线,趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：,渐近线与实轴的夹角：,渐近线与实轴的交点：,K=0,1,2,3，n-m+1,4-2 根轨迹绘制的基本法则,S1的相角为：,设实轴上任意点S1,四、实轴上的根轨迹段,设系统开环零、极点分布为：,S1与开环零、极点之间的矢量：,=1+2-1-2-3-4,= -1-2=（2k+1) ,可知：共轭开环零、极点构 成的相角正负抵消,位于实轴上根轨迹 右侧的零、极点产生的相角为180o,位于左侧的零、极点产生的相角为
9、0o,实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。,4-2 根轨迹绘制的基本法则,例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。,解：,(1)开环零、极点分布,p1z1段:,p2-段：,右侧有一个开环极点,右侧有三个开环零极点,p1=0,(2) 实轴上根轨迹段,p2=,(3)系统的根轨迹,4-2 根轨迹绘制的基本法则,(1)开环零、极点分布,(2) 实轴上根轨迹段,p1和p2为根轨迹 的起点,Z1和-为根轨迹 的终点,(3)系统的根轨迹,p1=0,p1p2,z1-,4-2 根轨迹绘制的基本法则,例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。,解：,1）开环零、极点：,2）实轴上
10、的根轨迹段：,p1=0,p2=-2,p3=-1,p1p2,3）根轨迹的渐近线：,渐近线与实轴的交点:,渐近线与实轴的夹角 :,n-m= 3,4）系统的根轨迹,4-2 根轨迹绘制的基本法则,五、根轨迹的分离点,方法一：闭环特征方程的根在S平面上的重合点即为根轨迹的分离点。,分离点：两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点。,A(s)+K*B(s)=0,4-2 根轨迹绘制的基本法则,重根！,分离点的坐标d是下列方程的解,分离角:根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。,分离角,（l为根轨迹分支进入并立即离开分离点的数目）,方法二：,4-2 根轨迹绘制的基本法则,1
11、）常见的根轨迹分离点位于实轴上；,2）如果根轨迹位于实轴上两个相邻开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；零点之间亦如此。,3）由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，则闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。,4-2 根轨迹绘制的基本法则,例 试确定系统分离点。,解：,前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段,根轨迹的分离点：,A (s)+K*B(s) =0,3S2+6S+2=0,s1=-0.43,s2=-1.57,s2没有位于根轨迹上，舍去。,4-2 根轨迹绘
12、制的基本法则,例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。,解：,1）开环零、极点,2）实轴上的根轨迹段,p1p2,p2=-2,p1=-1,z1=-3,3）根轨迹的渐近线,有一条根轨迹趋于无穷远,n-m= 1,渐近线与实轴的夹角：,4）分离点和会合点,K*B(s)+A(s)=0,A(s)=S2+3S+2,B(s)=S+3,B(s)=1,A(s)=2S+3,整理得,(S2+3S+2)=(2S+3)(S+3),S2+6S+27=0,解方程得,s1=-1.6,s2=-4.4,根轨迹的分离点,根轨迹的会合点,5) 根轨迹,4-2 根轨迹绘制的基本法则,起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正
13、实轴 的夹角。,终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴 的夹角。,起始角pi,终止角zi,六、根轨迹的起始角和终止角,4-2 根轨迹绘制的基本法则,起始角：,设开环零、极点分布：,根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。,s1为根轨迹上的点,则,=(2k+1),4-2 根轨迹绘制的基本法则,=(2k+1),4-2 根轨迹绘制的基本法则,s1 p3,=(2k+1),即,起始角的一般表达式：,同理，可求得终止角 的一般表达式：,例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。,解：,1）开环零、极点为,p2=-2.5,p1=0,z1=-1.5,P3.4=-0.5j1.5,z2.3=-2
14、j,2）实轴上的根轨迹段,p1z1,3）根轨迹的渐近线,n-m= 1,4）根轨迹的起始角,+59-108-90-37,=79,同时可得,4-2 根轨迹绘制的基本法则,开环零、极点分布:,5）根轨迹的终止角,= +149.5,+63.5+199+121,6）系统根轨迹,4-2 根轨迹绘制的基本法则,七、根轨迹与虚轴的交点,设与虚轴相交的闭环极点为,解方程即可求得,代入闭环特征方程, K*,4-2 根轨迹绘制的基本法则,例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。,解：,1）开环零、极点,2）实轴根轨迹段,3）根轨迹的渐近线,P3.4=-1+j,z1=-2,p2=-3,p1=0,p1z1,
15、n-m= 3,4）根轨迹的出射角,=-26.6,5）与虚轴的交点,闭环特征方程：,S(S+3)(S2+2S+2)+K*(S+2)=0,S4+5S3+8S2+6S+K*S+2K*=0,代入,(j)4+5(j)3+8(j)2,+j6+jK*+2K*=0,4-82+2K*=0,-53+6+K*=0,K*=0,K*=7,2,31.6,1=0,解得,4-2 根轨迹绘制的基本法则,八、开环极点与闭环极点的关系,在一定条件下，开环极点与闭环极点间有着固定的关系.,根据这种关系可判别闭环特征根的走向，同时为确定闭环极点带来方便。,n阶系统闭环特征方程为,=sn+a1sn-1+a2sn-2+ +an-1s+an
16、,=(s-s1)(s-s2) (s-sn-1)(s-sn),pj zj开环极点与零点,sj闭环极点,根据代数方程的根与系数间的关系,如果满足条件,则,n-m 2,如果一些闭环极点往S平面左边移动，则必有另一些闭环极点往S平面的右边移动。,开环极点之和等于闭环极点之和，为常数。,4-2 根轨迹绘制的基本法则,可根据不同的情况，采用以上八条中的部分或全部来绘制根轨迹图。,例,试确定系统的根轨迹图。,解：,1）开环零、极点,p2.3=-4j2,p1=0,2）实轴上的根轨迹段,n-m= 3,3）根轨迹的渐近线,4）根轨迹的起始角,2=-1-3,=-153.4-90,=-63.4,系统闭环特征方程为,5
17、）与虚轴的交点,S3+8S2+20S+K*=0,代入,-j33-82+j20+K*=0,33+20=0,-82+K*=0,K*=0,K*=160,2,34.47,1=0,6）分离点和会合点,解得,3S2+16S+20=0,S1=-2,S2=-3.33,A(s)B(s)=A(s)B(s),7）系统根轨迹,4-2 根轨迹绘制的基本法则,例,试确定系统的根轨迹图。,解：,1）开环零、极点,P3.4=-2j4,p1=0,p2=-4,2）实轴上根轨迹段,p1p2,3）根轨迹的渐近线,n-m= 4,4）根轨迹的出射角,3=-1-2-4,=-180-90,=-90,5）根轨迹与虚轴的交点,闭环特征方程为,s
18、4+8s3+36s2+80s+K*=0,得,4-j83-362,+j80+K*=0,-83+80=0,4-362+K*=0,K*=0,K*=260,2,33.16,1=0,6）分离点和会合点,4S3+24S2+72S+80=0,A(s)B(s)=A(s)B(s),解得,S1=-2,S2.3=-2j2.45,S1在根轨迹段上为分离点,S 2.3必须判断才能确定.,S2点的相角为:,=-180+90-90,=-180,为根轨迹上的点,7）系统根轨迹,4-2 根轨迹绘制的基本法则,例 系统的开环传递函数为,（1）a=3时，绘制系统的根轨迹图。确定闭环共轭复数极点具有阻尼比 时的闭环传递函数；,（2）
19、a=2时，绘制系统的根轨迹图。确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环传递函数。,4-2 根轨迹绘制的基本法则,解 （1）a=3, 开环极点：0,-3,-1+j,-1-j,j,-2.3,渐近线,与虚轴交点,出射角,等阻尼线,复极点,4-2 根轨迹绘制的基本法则,在 -3，-2.3 之间，用试探法可以求得一个闭环极点： 再依据规则8，可得：,于是，闭环传递函数为：,4-2 根轨迹绘制的基本法则,（2）a=2, 开环极点：0,-2,-1+j,-1-j,渐近线,分离点与角,等阻尼线,虚轴交点,4-2 根轨迹绘制的基本法则,三、非最小相位系统的根轨迹,二、正反馈系统的根轨迹,一、参量根轨迹,除以上介绍的根轨
20、迹均以根轨迹增益 K*作为可变参量之外,其它某个参量变化时的根轨迹，称为参量根轨迹。,四、根轨迹簇,4-3 广义根轨迹,一、参量根轨迹,1、定义,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。,2、绘制步骤,1）写出原系统的特征方程:,2）以特征方程中不含参量的各项除特征方程，得等效系统的开环传递函数,3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。,A：根轨迹增益k*以外的系统任意的变化参数。,P(s)、Q(s)：与A无关的首一多项式。,4-3 广义根轨迹,例 设系统的开环传递函数为,试绘制系统K变化时的根轨迹图。,解:,将上式进行整理得:,系统的特征方程式为,1+G(s)H(s)=0,S (K S
21、+1)(4S+1)+1=0,K S 2(4S+1)+S(4S+1)+1=0,得,K S 2(4S+1)=-S(4S+1)+1,化成零极点形式,4-3 广义根轨迹,根据式子,绘制根轨迹,(1) 开环零、极点,P1.2=-0.125j0.484,Z1=0,Z2=0,Z3=-0.25,两条根轨迹起始于两个极点，另一条起始于无穷远.,三条根轨迹终止于三个零点,(2) 实轴上的根轨迹段,Z3-,(3) 出射角和入射角,1=+1+2+3-2,=+104.48+104.48 +75.52-90,=14.48,(4) 与虚轴的交点,系统闭环特征方程,4K S 3+4S2+K S 2+S+1=0,-j4K3-(
22、K +4)2,+j2+1=0,即,-4K 3+=0,1-(K +4) 2=0,2,30.433,K =,1=0,(5) 系统根轨迹,4-3 广义根轨迹,二、 正反馈系统的根轨迹,正反馈系统的闭环特征方程：,其幅值方程与负反馈系统相同，相角方程则为,1-G(s)H(s)=0,G(s)H(s)=1,正反馈系统根轨迹方程：,因为相角条件为2k,而非常规的(2k+1),称之为零度根轨迹。,在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的有以下几点：,（1）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、 极点数目之和为偶数。,（2）根轨迹的渐近线与 实轴的夹角：,（3）起始角和终止角的计算公式为:,4-3 广义根轨迹,三
23、、非最小相位系统的根轨迹,系统有位于右半平面的开环极点或零点，称为非最小相位系统。,1 .具有正反馈性质的根轨迹,除了前述具有正反馈结构的系统之外,有些非最小相位系统虽是负反馈结构,但传递函数中S的系数为负,系统具有正反馈性质,要用零度根轨迹规则来作图。,4-3 广义根轨迹,例 系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹图。,解:,(1) 开环零、极点,将式子标准化,Z1=2,p2=-1,p1=0,(2) 实轴上的根轨迹段,Z1+,(3) 分离点与会合点,A(S)=S2+S,B(S)=S-2,A(S)=2S+1,B(S)=1,解得,A(S)B(S)=A(S)B(S),S2-4S-2=0,S1=-
24、0.45,S2=4.45,(4) 与虚轴交点,系统闭环特征方程为,S2+ S-0.5K1S+K1=0,-2+j-j0.5K1+K1=0,代入,即,-2+K1=0,-0.5K1=0,解得,K1=0,K1=2,1=0,2,3=1.41,(5) 系统根轨迹,4-3 广义根轨迹,2常规根轨迹,有些非最小相位系统既无正反馈结构，又不具正反馈性质，只是开环的零点或极点为正, 其幅值方程和相角方程与最小相位系统相同，所以根轨迹图绘制方法也与最小相位系统是一样的。,4-3 广义根轨迹,例 系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹图。,解:,(1) 开环零、极点,Z1=-1,p1=0,p2=1,(2) 实轴上的
25、根轨迹段,Z3-,(3) 根轨迹的渐近线,n-m=3,=60o,180o,4）根轨迹的出射角,=+106o-120o,4=54.5o,-130.5o-90o,=-54.5,(5) 与虚轴的交点,系统闭环特征方程为,S 4+3S 3+12S 2,-16S+KrS+Kr=0,带入,S=j,4-j33-122,-j16+jKr+Kr =0,即,4 -122+Kr=0,-33- 16+Kr=0,Kr =0,1=0,Kr =35.68,4,5=2.56,Kr =23.32,2,3=1.56,(6) 分离点和会合点,可得,A(S)B(S)=A (S)B(S),3S4+10S3+21S2,+24S-16=0
26、,解得,S1=0.46,S3.4=-0.79j2.16,S2=-2.22,S3.4不在根轨迹段上， 故舍去。,(7) 系统根轨迹,4-3 广义根轨迹,四、根轨迹簇,当系统有两个参数变化时，所绘出的轨迹叫做根轨迹簇。,解：令K从0 、a取确定的不同的值，则,画出其根轨迹簇如图所示。,4-3 广义根轨迹,令a从0 、K取确定的不同的值，则,画出其根轨迹簇如图所示。,4-3 广义根轨迹,四、增加开环零极点对系统性能的影响,二、已知根轨迹增益K*确定闭环极点,一、闭环极点位置与系统性能的关系,根轨迹反映了闭环特征根随 Kr变化的规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观方便的特点。,三、已知性能指标确定闭
27、环极点和K*,4-4 系统性能的分析,主导极点：,闭环极点中离虚轴最近，附近又无零点的极点。,主导极点对系统动态性能影响最大。,一、闭环极点位置与系统性能的关系,4-4 系统性能的分析,n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为,zi 闭环传递函数的零点,si闭环传递函数的极点,待定系数:,系统的输出响应：,由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。,负实数极点离虚轴越远,对应的分量,eSjt 衰减越快系统的调节时间就越短,响应越快.,1、负实数极点,4-4 系统性能的分析,一对共轭复数极点在S平面上的分布:,=n,=cos-1,复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系为,2、共轭复数极点,
28、4-4 系统性能的分析,复数极点的位置与性能的关系：,（1）闭环复数极点的实部n反映了 系统的调整时间；,（2）闭环极点的虚部d表征了系统输 出响应的振荡频率；,（3）闭环极点与坐标原点的距离n表 征了系统的无阻尼自然振荡频率；,（4）闭环极点与负实轴的夹角反映 了系统的超调量；,（5）闭环极点在S 左、右平面的分布 反映了系统的稳定性。,当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。,4-4 系统性能的分析,例 已知系统的闭环传递函数:,试估算系统的性能指标。,解 ：,闭环有三个极点,S1=-1,s1为主导极点,s2.3离虚轴的距离是s1的四倍，因而可以忽略不
29、计。,则,ts=3T=3(s),闭环传递函数简化为 一阶系统,4-4 系统性能的分析,二、已知根轨迹增益K*确定闭环极点,根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需要确定增益K*取某值时的闭环极点，进而确定闭环传递函数.已知K*一般采用试探的方法确定闭环极点.,4-4 系统性能的分析,例 已知系统的开环传递函数:,试确定K*=1时的闭环极点。,系统的根轨迹图如图:,解：,取：,S3=-2.32,S3=-2.33,K*=|s3|s3+1|s3+2|,K*=2.32x1.32x0.32=0.98,K*=1.023,S3=-2.325,K*=1.001,即,K*=1,S3=-2.325,=S2+0.675S
30、+0.431=0,根据长除法有,可求得另两个极点,S2,3=-0.338j0.56,闭环传递函数为:,4-4 系统性能的分析,三、已知性能指标确定闭环极点和K*,采用根轨迹法分析系统性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求确定闭环极点的位置和对应的K*值，使得系统的性能满足要求.,4-4 系统性能的分析,要求,=0.5,试确定闭环极点和对应的K.,例 已知系统的开环传递函数:,系统的根轨迹图如图:,解：,在根轨迹图上作射线:,=cos-1=60,=60,与根轨迹相交点为s1和s2,S1,2=-0.33j0.58,即,=-3+0.33x2=-2.34,=2.34x1.34x0.34=1.066,
31、Kg=|s3|s3+1|s3+2|,系统的闭环传递函数为,由图可知，,1）K=0.385时对应分离点 d=-0.423；,2）K=6时根轨迹与虚轴相 交于j1.414;,3）系统稳定范围： 0K6,4-4 系统性能的分析,所以，s1和 s2为共轭闭环主导极点，决定系统的动态性能。,系统闭环传递函数（近似）为,所以，系统动态性能指标为：,1）超调量：,2）峰值时间：,3）调节时间：,4-4 系统性能的分析,四、增加开环零极点对系统性能 的影响,由以上分析知，闭环特征根应该位于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。,4-4 系统性能的分析,1、附加位置适当的开环零点，可使系统的稳定性 和动态性能同时得到显著改善。,4-4 系统性能的分析,z1-2时，系统稳定性较好。 z1-时，稳定性变差。,4-4 系统性能的分析,2、增加开环极点，可使系统的稳定性变差。,可见，增加开环极点，系统的稳定性变差。,4-4 系统性能的分析,根据基本法则绘制系统的根轨迹； 用根轨迹分析系统的动态性能和稳定性；,本章小结,作业(4)：4-5（1）4-84-104-14 （1）4-164-17,作业(5)：4-4（1）4-74-104-144-15,
