1、（1）了解圆锥曲线的简单应用.（2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系1曲线的交点在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 ，已知它们的方程为 ，12,C12:(,)0,:(,)0Cfxygxy求曲线 的交点坐标，即求方程组 的实数解.12,C()0,fxyg方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线 ，圆锥曲线 ，把二者方程联立得到方程组，消去 得到一:0lAxByC:(,)0fxy()yx个关于 的方程 .()22abxcabc（1）当 时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0
2、方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当 a=0 时，方程为一次方程，若 b0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若 b=0,c0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离.（2）直线与双曲线有两个交点 相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有
3、交点 相离.（3）直线与抛物线有两个交点 相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点 相离.二、圆锥曲线中弦的相关问题1弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 两个不同的点，12(,)(,)AxyB则弦长 .2221112122()()|0ABxyxkk（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.2中点弦问题（1） AB 为椭圆 的弦， ，弦中点 M(x0， y0)，则 AB 所在直2
4、1(0)xyab12(,)(,)AxyB线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值 .20bky 2ba（2） AB 为双曲线 的弦， ，弦中点 M(x0， y0)，则 AB 所21(,0)xab12(,)(,)AxyB在直线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和双曲线中心 O 的连线的斜率之积为定值 .20bky 2ba（3）在抛物线 中，以 M(x0， y0) 为中点的弦所在直线的斜率 .2()px 0pky考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程
5、根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程；若不为 0,则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解.典例 1 已知椭圆 ，直线 :y x m(1)若 与椭圆有一个公共点，求 的值；(2)若 与椭圆相交于 P,Q 两点，且| PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值典例 2 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 2:(0)Cypx(1,0)F2:(0)ExpyM（1）若过点 的直线 与抛物线 有且只有一个交点，求直线 的方程；Ml l
6、（2）若直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 的面积FABOAB【解析】 （1）由题意知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，2:(0)Cypx(1,0)F2:(0)ExpyM所以 ， ，2p(0,)M1已知直线 与双曲线 当 k 为何值时，直线与双曲线：ykx2416xy（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两
7、点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例 3 已知抛物线 ： （ ） ，焦点为 ，直线 交抛物线 于 ， 两点， 为的中点，且 （1）求抛物线 的方程；（2）若 ，求 的最小值0xAB ，即 ， ， ， ，典例 4 已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ， 的距离之和为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，若点 满足，求 的值【解析】 （1）由已知得 ，则 ，又 ， ，椭圆 的方程为 214xy（2）由 得 .21ymx直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ， ，得 ，设 、 ，则 ， ，当 时， ，此时，线段
8、的中垂线方程为 ，即 ，令 ，得 当 时， ，此时，线段 的中垂线方程为 ，即 令 ，得 综上所述， 的值为 或 2直线 与双曲线 相交于 A， B 两点1yax231xy（1）当 时，求线段 AB 的长；2（2）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 a 的值考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定
9、点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例 5 如图，已知点 E(m,0)(m0)为抛物线 y24 x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1， k2的两条直线交抛物线于点 A， B， C， D，且 M， N 分别是 AB， CD 的中点（1）若 m1， k1k21，求 EMN 面积的最小值；（2）若 k1 k21，求证：直线 MN 过定点 典例 6 已知椭圆 E: 与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2为椭圆的焦点,且21(0)xyab是边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+2 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B. 12 MF（1）直线 MA,M
10、B 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；（2）求 的面积的最大值. AB【解析】（1）因为 是边长为 2 的等边三角形,所以 2c=2,b= c,a=2,12 F所以 a=2,b= ,所以椭圆 E: + =1,点 M(0, ).将直线 l:y=kx+2 代入椭圆 E 的方程,整理得(3 +4k2)x2+16 kx+36=0. (*)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由( *)式可得 =(16 k)2-4(3+4k2)36=48(4k2-9)0,所以 k( -, - )( ,+), x1+x2= ,x1x2= .63426则直线 MA,MB 的斜率之积为 kMA
11、kMB=12123kxy1223kx, 222 216349364k3已知双曲线 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，虚轴长为 .Cx52e2（1）求双曲线 的标准方程；（2）若直线 与双曲线 相交于 两点（ 均异于左、右顶点） ，且以 为直径的:lykxmC,AB, AB圆过双曲线 的左顶点 ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.Dl4已知椭圆 的离心率为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合，左顶点为 ，2:1(0)Eab过 的直线交椭圆于 两点，直线 与直线 交于 两点.（1）求椭圆 的方程；（2）试计算 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 1直线 = 与椭圆 = 的位
12、置关系为A相交 B相切C相离 D不确定2已知直线 与双曲线 的右支有两个交点，则 的取值范围为A BC D3设 为抛物线 ： 的焦点，过 作倾斜角为 30的直线交 于 、 两点，则A B16C32 D4若平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率A BC D 5过双曲线 的右顶点 A 作倾斜角为 135的直线,该直线与双曲线的两条渐近线21(0,)xyab的交点分别为 B,C,若 ,则双曲线的渐近线方程为2ABA( +1)x+y=0 B( +1)y-x=0C( +1)xy=0 D( +1)yx=06已知 O 是坐标原点， F 是椭圆 + =1 的一个焦点，过 F 且与 x 轴垂直
13、的直线与椭圆交于 M,N 两点，则cos MON 的值为A B 513 513C D 2 27直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最小值是A10 B9C8 D78已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点若 的2:1(0)xyEab(3,0)F,AB中点坐标为 ，则 的方程为(,)A B2189xy21367xyC D27 2459已知双曲线 的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离21(0,)xyab心率为A BC D10过抛物线 上的焦点 ，作直线 与抛物线交于 ， 两点，已知 ，则A2 B3C D11若椭圆 与直线 有公共点，则该椭圆
14、离心率的取值范围是A B10,2 10,2C D, ,12如图,过抛物线 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、 B,交其准线于点 C,若| BC|=2|BF|,且2(0)ypx|AF|=3,则此抛物线的方程为A B 29yx 26yxC D y2= x313已知椭圆 C: + =1,过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,若 =2 ,则直线 l 的斜率为A B 14 14C D 14若直线 y=kx-1 与抛物线 y2=4x 有且只有一个公共点,则 k 的值为_.15如图，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C： 的下焦点，交椭圆 C 于 A， B 两点，则弦 AB 的
15、长2184yx等于_16如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为_.17直线 与椭圆 分别交于点 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线的斜率为 ，则 的值为 _18过抛物线 C:y2=x 上一点 A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于 P,Q(异于点 A)两点,则直线PQ 恒过定点_.19已知椭圆 的离心率 ，焦距是 21(0)ab63e2（1）求椭圆的方程；（2）若直线 与椭圆交于 、 两点， ，求 的值2(0)ykxCD65k20已知抛物线 上的点 P 到点 的距离与到直线 的距离之差为 ，过点 的直线 交抛物线于 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若
16、 的面积为 ，求直线 的方程.21设 、 分别为双曲线 的左、右项点，双曲线的实轴长为 ，焦点到渐AB21(0,)xyab43近线的距离为 3（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 与双曲线的右支交于 、 两点，且在双曲线的右支上存在点 使23yxMND，求 的值及点 的坐标OMNtDt22已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 2(0)ypx(3,)TtF4（1）求 ， 的值；t（2）设 ， 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点，且 ，其中 为坐标原点求ABx5OAB证：直线 过定点，并求出该定点的坐标23已知点 在双曲线 （ ， ）上，且双曲线的一条渐近线的方程是(1,2)D:C21xyab0
17、ab30xy（1）求双曲线 的方程；（2）若过点 且斜率为 的直线 与双曲线 有两个不同的交点，求实数 的取值范围；(,1)klCk（3）设（2）中直线 与双曲线 交于 两个不同的点，若以线段 为直径的圆经过坐标原点，lAB、 AB求实数 的值k24已知椭圆 以 ， 为焦点，且离心率 .（1）求椭圆 的方程；（2）过点 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、 ，求 的取值范围；（3）设椭圆 与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在直线 ，满足（2）中的条件且使得向量 与 垂直？如果存在，写出 的方程；如果不存在，请说明理由.25已知抛物线 的焦点 以及椭圆 的上、下焦点及左
18、、21:(0)CypxF2:1(0)yxCab右顶点均在圆 上2:1O（1）求抛物线 和椭圆 的标准方程；12（2）过点 的直线交抛物线 于 不同的两点，交 轴于点 ，已知 ，F1C,AByN1AF，求证： 为定值NB226已知椭圆 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线2:1(0)xyCab与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切:0l（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA、 MB 交椭圆于 A、 B 两点，设两直线的斜率分别为k1、 k2，且 ，证明：直线 AB 过定点 1241(,)21 （2018 新课标全国理科）设抛物线
19、的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交2:4CyxF(2,0)23C于 ， 两点，则MNFNA5 B6C7 D82 （2018 新课标全国理科）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左1F221(0)xyCab： AC顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心PA3612PF 12FP率为A B23C D1 143 （2018 新课标全国理科）已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直2:3xCyOFCF线与 的两条渐近线的交点分别为 ， 若 为直角三角形，则MN |MNA B32C D434 （2018 新课标全国理科）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜
20、率为 的直线与(1,)M2:Cyxk交于 ， 两点若 ，则 _CAB90AMBk5 （2018 新课标全国理科）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交24Cyx： F(0)klC于 ， 两点， |8（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程ABC6 （2018 新课标全国理科）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点2:1xCyFlC,AB的坐标为 M(2,0)（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；lxAM（2）设 为坐标原点，证明： OOB7 （2018 新课标全国理科）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中kl2143xyC：
21、 ABAB点为 10Mm，（1）证明： ；2k（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 证明： ， ， 成等差数列，FCPCFPAB0FAPB并求该数列的公差8 （2018 北京理科）已知抛物线 经过点 过点 的直线 与抛物线 有两个不2:Cypx(1,2)P(0,1)QlC同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ABPAMByN（1）求直线 的斜率的取值范围；l（2）设 为原点， ， ，求证： 为定值OQONQ19 （2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点 ，圆xOyC1(3,)212(3,0)(,)FO 的直径为 12F（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程
22、；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 两点若 的面积为 ，求直线 l 的方程,ABAB26710 （2018 天津理科）设椭圆 (ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为 ，21xy 53点 A 的坐标为 ，且 (,0)b6FBA（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q()ykx若 (O 为原点)，求 k 的值5sin4QAP11（2017 新课标全国理科）已知抛物线 C： y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交
23、 C 于 A， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程(4,2)P12（2017 新课标全国 I 理科）已知椭圆 C： ，四点 P1（1,1） ， P2（0,1） ， P3（21()0xyab1， ） ， P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上3232（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点变式拓展2 【解析】由 消去 y 得 213xya2(3)0ax设 ， ，则 ， 1(),Axy2(
24、),B122x123a（1） 1121212| ()()4yxx2222(68()3|3|aa当 时， a22(1)6(1)| 10|AB（2）由题意知， OA OB，则 ，即 ，10xy112()xax即 ，即 ，解得 2112()()ax222()031a所以当以 AB 为直径的圆经过坐标原点时， a 的值为 或 13 【解析】 （1）设双曲线的标准方程为 ，21(0,)xyab由已知得 5,2,cba又 ，解得 ，2,1所以双曲线的标准方程为 .24xy（2）设 ，由 得 ，12(,)(,)AxyB21kxmy22(4)84(1)0kxm则 ，2212264(4)08(1)4mkkxk，
25、 22121211()()yxmxmkx241mk4 【解析】 （1）由题意知 ，右焦点 ，即 ，且 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .（2）由（1）知 ，当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为 ，易知 ，所以直线 .令 ，可知： ,考点冲关1【答案】A【解析】由题意得直线 = 恒过定点 ,而点 在椭圆 = 的内部,所以直线与椭圆相交.选 A2【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为 ，当1 k1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点；yx当 k1 时，直线与双曲线的右支没有交点.把 代入 得 ，1yx2(1)50k令 ，解得 k= 或 k= （舍去） 2240()k直线 与双曲线 的右支有两
26、个交点时，1 k 故选 D3【答案】C【解析】由题意知 ， AB 所在直线的方程为 ，联立 消元得，设 ，则 ，所以 ，故选 C 4【答案】B5【答案】C【解析】由题意知直线过点 A(a,0),且斜率 k=tan 135=-1,则直线的方程为 x+y-a=0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得 B( , ),C( ,- ),则有 , .22(,)abBC )abA因为 ,所以 ,2ab化简得 +1,则双曲线的渐近线方程为( +1)xy=0.故选 C.6【答案】B【解析】由题意, a2=4,b2=3,故 c= = =1.不妨设 M(1,y0),N(1,-y0),所以 + =1,解得 y0=
27、 ,32所以| MN|=3,|OM|=|ON|= = .231()由余弦定理知 ,故选 B.2222213()()35cos 1OMN7 【答案】B8 【答案】A【解析】由题意设 ，所以 ，整理得 ；12,AxyB212xyab1212120xyyaxb因为 的中点坐标为 ，所以 ；B1212,xy因为 ，所以 ，所以 ；1203Aykx220ab2ab因为 ，所以 23cab218,9所以 的方程为 故选 AE2189xy9 【答案】B【解析】双曲线 的一条渐近线不妨设为： ，21(0,)xyab则 ，可得 .20 14baxy24bya一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，可得 ，即 ，解得24
28、3ab故选 B 10 【答案】B11 【答案】B【解析】联立方程得 ，消去 y 化简得 ，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是 ，故选 B12【答案】C是 ,选 C.23yx13【答案】C【解析】由题意可得,直线 l 的斜率存在且不为 0,不妨设直线 l:y=k(x-1),则由 消去 y 化简得,(1+2 k2)x2-4k2x+2k2-8=0.28ykx设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得 x1+x2= ,x1x2= .28k因为 =2 ,所以 x1+2x2=3,所以 x2= ,x1= ,23k所以 x1x2= ,化简得 k2= ,解得 k= ,故选 C.14【答案】-1 或 0【解析】当 k=0 时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;当 k0 时,将直线方程与抛物线方程联立得 ,得 y2- y- =0,因而 = + =0,即 k=-1.214ykx从而 k=-1 或 0.15 【答案】 82316 【答案】【解析】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程 ，整理得 ，渐近线与抛物线相切， ，即 .故答案为 .17 【答案】【解析】设 ，中点 ，则 ，把点 代入椭圆的方程 ，整理得 ，两式相减得 ，整理得 ，22110xy212121yyxx即 .18【答案】(2, -1)
