1、考点 32 数列的综合问题1已知数列 、 满足 ，则数列 的前 10 项的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由题可知 ，则数列 即为数列 奇数项，则数列 仍为等比数列，其首项为 公比为原数列 公比的平方，则数列 的前 10 项的和为2删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第 2018 项是（ ）A B C D 【答案】B3将向 量 组成的系列称为向量列 ，并定义向量列 的前 项和 若，则下列说法中一定正确的是（ ）A B 不存在 ，使得C 对 ，且 ，都有 D 以上说法都不对【答案】C【解析】由 ，则 ，所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列，所
2、以 ，又当 时， ，所以当 ，且 时， 是成立的，故选 C.4设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， nanS34412061aa，则下列结论正确的是（ ）320120136aA B 64,S201620134,C D 2012013aSa【答案】D5某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： ） （ ）A 2021 年 B 2020 年 C 2019 年 D 2018 年【答案】C【解析】设第 年开始超过 万元，则 ，化
3、为 ，取 ，因此开始超过 万元的年份是 年，故选 C.6已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 _【答案】7对任一实数序列 ，定义新序列 ，它的第 项为 ，假设序列 的所有项都是 ，且 ，则 _【答案】100.【解析】设序列 的首项为 ，则序列 ，则它的第 n 项为 ，因此序列 A 的第 项 ，则是关于 的二次多项式，其中 的系数为 ，因为 ，所以必有 ，故.8将正整数 分解成两个正整数的乘积有 三种，其中 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 的最佳分解.当 （ 且 ）是正整数 的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 .则 _，数列 （ ）的前 项和为_【答案】09数列 的递推公式为 （
4、） ，可以求得这个数列中的每一项都是奇数，na2 na， 为 奇 数 时， 为 偶 数 时 *nN则 _；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 8 个 3 是该数列的第125_项.【答案】 834【解析】由题得：这个数列各项的值分别为 1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3 又因为1251a362243aa， ， ，即项的值为 3 时，下角码是首项为 3，公比为 2 的等比数列所以第 8 个 3 是该数列的第 3281=384 项故答案为：18，38410在数 1 和 2 之间插入 n 个正数，使得这 n+2 个数构成递增等比数列，将这 n+2 个数的乘积记为 ，nA令 *l
5、og,nnaAN(1)数列 的通项公式为 =_；na(2) =_24622tattantn nT 【答案】 ; 2.tan1tan2ta1tan32tan43tan54111n, ttan*N故答案为 t2ta1n11已知数列 满足： ， ，记数列 的前 项之积为 ，则 _.n1nn12ananP201【答案】2【解析】因为 ，所以 ， ，11,2nna21a3412,12aa所以数列 是以 4 为周期的周期数列， ，n 123则 .67020123012Pa12已知数列 满足 ，其中 ，若 对 恒成n 2nna12,a1na*N立，则实数 的取值范围为_【答案】 0,13已知数列 满足 ，若
6、 表示不超过 的最大整数，则na11,nnaxx_.221017【答案】114已知数列 中， ， ，记na102a*12 3nnanN.若 ，则 _ _.12nnS 25Sn【答案】1343【解析】a 1=a(0a2), ，*12 3nnaNa 2=a1+3=3a1,3).当 a1,2时,3 a1,2, a3=a2+3=a，当 n=2k1,kN 时,a 1+a2=a+3a=3,S 2k1=3(k1)+a=2015，a=1 时舍去，a=2 时，k=672，此时 n=1343；15已知无穷数列 的前 n 项和为 ，记 ， ， 中奇数的个数为 naZnS12nSnb()若 = n，请写出数列 的前
7、5 项；b()求证：“ 为奇数， (i = 2,3,4,.）为偶数”是“数列 是单调递增数列”的充分不必要条件；1i nb()若 ，i=1, 2, 3,，求数列 的通项公式.iabna【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .0【解析】 （）解： ， ， ， ， 1=2b3=42b5=3（）证明：（充分性）因为 为奇数， 为偶数，1a,4i所以，对于任意 ， 都为奇数 *NiS所以 nb所以数列 是单调递增数列 （不必要性）当数列 中只有 是奇数，其余项都是偶数时， 为偶数， 均为奇数，na2 1S2,34i16已知 ， 记 （ 1）求 的值；（2）化简 的表达式，并证明：对任意的 ， 都
8、能被 整除【答案】(1)30；(2) 证明见解析.17若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ，则称 是“回归数列”nmnanmSan（ ）前 项和为 的数列 是否是“回归数列”？并请说明理由通项公式为 的数列12nSna 2nb是否是“回归数列” ？并请说明理由；nb（ ）设 是等差数列，首项 ，公差 ，若 是“回归数列”，求 的值2na10dnad（ ）是否对任意的等差数列 ，总存在两个“回归数列” 和 ，使得 成立，3nabnc*nnabcN请给出你的结论，并说明理由【答案】 （ ）见解析;（ ） ;（ ）见解析.121d3 ，1m 1d（ ）设等差数列 的公差为 ，令
9、 ，3nad1112nbana对 ， ，*nN11b令 ，则对 ， ，c*N11ncd18无穷数列 满足： 为正整数，且对任意正整数 ， 为前 项 ， ， ， 中等于na1 n1an12a n的项的个数. na（）若 ，请写出数列 的前 7 项；12na（）求证：对于任意正整数 ，必存在 ，使得 ；M*kNkaM（）求证:“ ”是“ 存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件。1a*m2n【答案】 （）2，1，1，2，2，3，1；（）证明见解析；（）证明见解析.k后面的项顺次为， ， ， ， ， ， k1k12k1， ， ， ， ， 22， ， ， ， ， 33319设 为各项不相等的等差数列 的
10、前 项和，已知 .nSna3573,9aS（1）求数列 通项公式；a（2）设 为数列 的前 项和，求 .nT1nnT【答案】 （1） ；（2）a220数列 a1,a2an 是正整数 1,2,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件：a 1=1；当 n2 时，|a i-ai+1|2(i=1,2，,n-1).记这样的数列个数为 f(n).（I）写出 f(2),f(3),f(4)的值；（II）证明 f(2018)不能被 4 整除.【答案】 （）f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4 ；（）见解析.【解析】 （）解：()根据题意,a 1=1;当 n2 时, |a i-ai+1|2(i=1,2,n1)；
11、则 f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.（）证明：把满足条件的数列称为 n 项的首项最小数 列.对于 n 个数的首项最小数列，由于 a1=1，故 a2=2 或 3.（1）若 a2=2，则 a2-1,a3-1,an-1 构成 n-1 项的首项最小数列，其个数为 f(n-1)；（2）若 a2=3,a3=2，则必有 a4=4，故 a4-3,a5-3,an-3 构成 n-3 项的首项最小数列，其个数为 f(n-3)；（3）若 a2=3,则 a3=4 或 a3=5.设 ak+1 是这数列中第一个出现的偶数，则前 k 项应该是 1,3,2k-1，a k+1 是 2k或 2k-2，即 ak 与 ak+
12、1 是相邻整数.由条件，这数列在 ak+1 后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为 2 在 ak+1 之后，故 ak+1 后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1 ，n5.由此递推关系和（I）可得， f(2),f(3),f(2018)各数被 4 除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成 14 为周期的数列，又 2018=14 144+2，所以 f(2018)被 4 除的余数与 f(2)被 4 除的余数相同，都 是 1，故 f(2018)不能被
13、4 整除.21已知 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 ， na nnA1na， 的最小值记为 ， 2n nBnqA（I）若 为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，是一个周期为 的数列（即对任意 ，na1432143 4*nN） ，写出 ， ， ， 的值4q24q（II）设 是正整数，证明： 的充分必要条件为 是公比为 的等比数列,n naq（III）证明：若 ， ，则 的项只能是 或者 ，且有无穷多项为 1a132 na121【答案】 （I） ， ；（II）见解析；（III）见解析.2q34q必要性： ， （ ， ， ） ，1nq23即非负整数列 各项只能为
14、 或 na1222设正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， .nS37a21691nS*nN(1)求数列 的通项公式；n(2)若正项等比数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 .nb132,abnncbncnT求 ；nT若对任意 ， ，均有 恒成立，求实数 的取值范围.2*N256315nTmm【答案】 （1） ；（2）3na323已知数列 满足 ，其中 为 的前 项和 .（1）求 及数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求 的最大值和最小值.【答案】 （1） ， ；（2） 时 ， 时 .24数列 是正整数 的任一排列，且同时满足以下两个条件：12,na 1,2n ；当
15、 时， ( ).ia1,2in记这样的数列个数为 .f（I）写出 的值；2,34f（II）证明 不能被 4 整除.018【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】 （）解： . 2,32,4fff（）证明：把满足条件的数列称为 项的首项最小数列.n对于 个数的首项最小数列，由于 ，故 或 3.n1a2（1）若 ，则 构成 项的首项最小数列，其个数为 ；2a231,1na 1fn（2）若 ，则必有 ，故 构成 项的首项最小数列，其个数3,4453,3naa为 ；fn25设 是等差数列 的前 项和，已知 ， nSna36S4a（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求证： 13nnab1214nbb 【答案】 （1） ；（2）证明见解析.n【解析】 （1）设公差为 ，则 解得d3146, Sad1, .ad na（2） ，132nnb ，1n 是等比数列1nb ， ，163q 1211643nnnbb
