1、随机抽样（1）理解随机抽样的必要性和重要性（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法一、简单随机抽样1定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回抽取 n 个个体作为样本( n N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样2最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法3应用范围：总体中的个体数较少注意：不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的二、系统抽样1定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样2系
2、统抽样的操作步骤：第一步编号：先将总体的 N 个个体编号；第二步分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当 (n 是样本容量)是整数时，取 k= ；NNn第三步确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l k)；第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 ，再加lk 得到第 3 个个体编号 ，依次进行下去，直到获取整个样本2lk3应用范围：总体中的个体数较多注意：系统抽样是等距抽样，抽样个体的编号相差 的整数倍Nn三、分层抽样1定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层
3、取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样2应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比四、三种抽样方法的比较类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样从总体中逐个抽取 总体中的个数较少将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多系统抽样分层抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等 将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成考向一 简单随机抽样应用简单随机
4、抽样应注意的问题：(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去(3)简单随机抽样需满足：被抽取的样本总体的个体数有限；逐个抽取；是不放回抽取；是等可能抽取典例 1 下面的抽样方法是简单随机抽样的是A在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709 的为三等奖B某车间包装一种产品，在自动包装的传送
5、带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格C某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见D用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验【答案】D【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况1总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从下面的随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9
6、728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A08 B07C02 D01考向二 系统抽样用系统抽样法抽取样本，当 不为整数时，取 ，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除( N nk)个NnNkn个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性典例 2 为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为 1 到 50 的塑料瓶装饮料中抽取 5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 瓶饮料的编号可能是A5，10，15，20，25 B2，4，6，8，10C1，2，3，4，5 D7，17，27，37，47【答案】D【解析】利
7、用系统抽样，把编号分为 5 段，每段 10 个，每段抽取 1 个，号码间隔为 102滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从 2000 人中抽取 100 人做问卷调查，为此将他们随机编号 1,2， ，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 100 人中，编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ，其余的人做问卷 ，则抽到的人中，做问卷 的人数为A BC D考向三 分层抽样与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：(1)求某一层的样本数或总体个数可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数(2
8、)求各层的样本数可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同典例 3 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于A9 B10C12 D13【答案】D【名师点睛】分层抽样分层的原则：分层抽样中分多少层，如何
9、分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠 3某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为 400,400,400,300，300,200.为做好小学放学后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为A120 B40C30 D20考向四 三种抽样方法的综合(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽
10、到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样典例 4 某校 150 名教职工中，有老年人 20 名，中年人 50 名，青年人 80 名，从中抽取 30 名作为样本采用随机抽样法：抽签取出 30 个样本；采用系统抽样法：将教职工编号为 000，001，149，然后平均分组抽取 30 个样本；采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取 30 个样本下列说法中正确的是A无论采用哪种方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率都相等B两种抽样方法，这 150 名教职工中
11、每个人被抽到的概率都相等；并非如此C两种抽样方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率都相等；并非如此D采用不同的抽样方法，这 150 名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的【答案】A【解析】三种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于 ，故选 A30150 154某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有 150 个，120 个，190 个，140 个销售点为了调查产品的质量，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为；在丙城市有 20 个特大型销售点，要从中抽取 8 个进行调查，记这项调查为，则完成，这两项调查宜采用的抽样方法依次为A分层抽样法、系统抽样法 B分层抽
12、样法、简单随机抽样法C系统抽样法、分层抽样法 D简单随机抽样法、分层抽样法1简单随机抽样的结果A完全由抽样方式所决定B完全由随机性所决定C完全由人为因素所决定D完全由计算方法所决定2下面抽样方法是简单随机抽样的是A从平面直角坐标系中抽取 5 个点作为样本B可口可乐公司从仓库中的 1000 箱可乐中一次性抽取 20 箱进行质量检查C某连队从 200 名战士中，挑选出 50 名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D从 10 个手机中逐个不放回地随机抽取 2 个进行质量检验(假设 10 个手机已编好)3某产品生产线上，一天内每隔 60 分钟抽取一件产品，则该抽样方法为；某中学从 30 名机器人爱好者中抽取
13、 3 人了解学习负担情况，则该抽取方法为，那么A是系统抽样，是简单随机抽样 B是分层抽样，是简单随机抽样C是系统抽样，是分层抽样 D是分层抽样，是系统抽样4为了了解参加某次知识竞赛的 1252 名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为A2 B3C4 D55为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的 120 名年轻人、80 名中年人、60 名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中老年人抽取了 3 名，则 nA13 B12C10 D96总体由编号为 的 个个体组成，利用下面的随机数表选取 个个体，选取方法是
14、从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 个个体的编号为附：第 行至第 行的随机数表：2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 49503211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A BC D7为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为 0001，0002，2000 的 2000 名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，并把样
15、本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则第三个样本编号是A0083 B0043C0123 D01638某校高中三个年级共有学生 1050 人，其中高一年级 300 人，高二年级 350 人，高三年级 400 人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为 42 的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为A12 B14C16 D189某学校老师中， 型血有 36 人、 型血有 24 人、 型血有 12 人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除 2 个个体，则样本
16、容量 可能为A BC D10某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取一部分人做问卷调查，将 840 人按 1,2，840 随机编号，若在编号为481,720中抽取 8 人，则样本容量为A56 B28C44 D1411某中学有高中生 人，初中生 人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取女生 人，则从初中生中抽取的男生人数是A BC D12某市教育主管部门为了全面了解 2018 届高三学生的学习情况，决定对该市参加 2018 年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的 32 所学校进行抽样调查；将参加统考的
17、 32 所学校进行编号，依次为 1到 32，现用系统抽样法，抽取 8 所学校进行调查，若抽到的最大编号为 31，则最小编号是A3 B1 C4 D213某学校在校艺术节活动中，有 24 名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎叶图如图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为 124，再用系统抽样方法抽出 6 名同学周末到某音乐学院参观学习，则样本中比赛成绩不超过 85 分的学生人数为6 97 0 1 2 2 58 1 3 6 6 7 8 8 9 9 99 0 0 1 2 2 3 4 7A1 B2C3 D不确定14分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量
18、的个体，组成一个样本的抽样方法.在九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持 560 钱，乙持 350 钱，丙持 180 钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共 100 钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是A甲应付 钱 B乙应付 钱41509 243109C丙应付 钱 D三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少615将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出 15 个号签，就相应的 15 名学生对看足球比赛的喜爱程度
19、(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用的是_法.16某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40 名同学进行检查，将学生从 11000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_.17某工厂生产的 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的 三种产品中抽出样本容量为 的样本，若样本中 型产品有 16 件，则 的值为_18我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”意思是
20、用分层抽样从这三个乡中抽出了 500 人服役，则南乡应该抽出_人19某班级共有 52 名学生，现将学生随机编号，用系统抽样法，抽取一个容量为 4 的样本，已知抽取的号中最小的与最大的和为 51，那么在样本中的被抽到的编号依次是_20某校对全校共 1800 名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本，已知女生比男生少抽了 20 人，则该校的女生人数应是_.1 （2014 湖南理科）对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分Nn层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，则321,pA B 321p 32pC D 12 （2
21、014 广东理科）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人2%数分别为A ， B ， 20 102C ， D ，13 （2013 湖南理科）某学校有男、女学生各 500 名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 4 （2013 陕西理科）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按1，2，84
22、0 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481，720的人数为A11 B12 C13 D145 （2013 新课标全国理科）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样6 （2017 江苏）某 工 厂 生 产 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 种 不 同 型 号 的 产 品 ， 产 量 分 别 为 200， 400， 300， 100 件 为 检验 产 品 的 质
23、 量 ， 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 有 的 产 品 中 抽 取 60 件 进 行 检 验 ， 则 应 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽取 件 7 （2016 北京理科节选）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计 C 班的学生人数.8 （2015 广东理科）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.工人编号 年龄 工人编号 年龄
24、工人编号 年龄 工人编号 年龄1 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据.变式拓展1【答案】D【解析】按照要求读数，大
25、于 20 或者重复的数跳过，则选出来的 5 个个体的编号分别是08， 02，14，07，01，即第 5 个个体的编号为 01.故选 D2【答案】B3【答案】B【解析】假设抽取一年级学生的人数为 .小学共有学生 2000 人，一年级学生有 400 人，抽取一个容量为 200 的样本， ，解得，即应抽取一年级学生的人数为 40，故选 B4【答案】B【解析】四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样；丙城市特大销售点的数量不多，使用简单随机抽样即可故选 B.考点冲关1【答案】B【解析】根据简单随机抽样的定义，总体中每个个体被抽到的机会相等，因此简单随机抽样的结果只与随机性有关.选 B
26、.2【答案】D【解析】A 中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B 中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C 中 50 名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误故选 D.3【答案】A4【答案】A【解析】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除1252=5025+2，应从总体中随机剔除个体的数目是 2，故选 A. 5【答案】A【解析】因为 60 名老年人中抽取了 3 名，所以抽样比为 ，所以总的抽样人数为，故选 A6【答案】C【解析】从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次选取两个数字
27、，选出来编号在的前 个个体的编号为 ，所以选出来的第 个个体的编号为 ，故选 C7【答案】A8【答案】C【解析】根据题意得，抽样比为 ，则在高三年级学生中抽取的人数是 ，故选 C9【答案】C【解析】因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体，所以样本容量 为的约数，因为 ，所以样本容量 为 的倍数，因此排除B,D;因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除 2 个个体，所以样本容量 为的约数加 1，因此选 C10 【答案】B【解析】因为在编号481,720中共有 720-480=240 人，又在481,720中抽取 8 人,所以抽样比应为 ，因为单位职工共有 840
28、 人,所以应抽取的样本容量为 .故选 B11【答案】A【解析】因为分层抽样的抽样为 ，所以初中生中抽取的男生人数是 .故2130.70 20.612选 A.【名师点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；nN样 本 容 量 该 层 抽 取 的 个 体 数总 体 个 数 该 层 的 个 体 数(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比12【答案】A【解析】根据系统抽样法，总体分成 8 组，组距为 ，若抽到的最大编号为 31，则最小的编号3248是 3所以 A 选项是正确的 15【答案】抽签【解析】抽签法分为编号、制签、取样三步,这里用了学生的学号作为编号,后
29、面的抽取过程符合抽签法的实施步骤,所以采用的是抽签法 .16【答案】18【解析】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取的号码为 x，则第 18 组抽取的号码为，解得 .17【答案】80【解析】由题意结合分层抽样的定义有： ，解得 .故答案为 18【答案】120【解析】由题意得抽样比为 ，南乡应该抽出 人.故答案为 120.直通高考1 【答案】D【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 ，故选 D.123p2 【答案】A【解析】由题意知，该地区中小学生共有 10000 名，故样本容量为 100002%200.由分层抽样知应抽取高中学
30、生的人数为 200 40，其中近视人数为 4050%20.2000100003 【答案】D【解析】因为抽样的目的与男、女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男、女人数的比例，选 D.4 【答案】B【解析】方法一： ，把 1，2，840 分成 42 段，不妨设第 1 段抽取的号码为 l，则第 k 段840=抽取的号码为 l( k1)20，1 l20，1 k42.令 481 l( k1)20720，得25 k37 .由 1 l20，则 25 k36，所以满足条件的 k 共有 12 个120l20l方法二：由 ，可知每段 20 人，又 ，所以编号落在区间 的人数84=72048120481,720为 ，选 B.15 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样
