1、攸县二中 2019 届高三第四次月考数学试题 (文科)1、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ( )2=30MNxMN, , , 则A1,2 B(1,3) C1 Dl,22.如果复数 (其中 i 为虚数单位, b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于( )ib2A6 B C D2333.实数 x, y 满足 ,且 ,则 z 的最大值为( )01yzxyA. 7 B. 1 C.5 D.74.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是( )A.2 至 3 月份的收入的变化率
2、与 11 至 12 月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是 6:1C.第三季度平均收入为 50 万元D.利润最高的月份是 2 月份5.九章算术是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作书中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是( )A. B. C. D. 31032020106.如图所示的程序框图是为了求出满足 的8n最小偶数 ,那么在 空白框中填入及最后输出n的 值分别是( )A. 和 6 B. 和 6 12nC.
3、 和 8 D. 和 8 1n2n7.过双曲线 (a0, b0)的左焦点 F1(1,0)作 x 轴的垂线,垂线与双曲线交于 A, B 两点,2yxO 为坐标原点,若 AOB 的面积为 ,则双曲线的离心率为( )3A B4 C3 D2238.已知侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 的五个顶点都在同一个球面上,且球心 O 在底面正方形 ABCD 上,则球 O 的表面积为( )A.4 B. 3 C. 2 D. 9.函数 的部分图象大致是( )2()|xef10.若抛物线 x2=y 在 x=1 处的切线的倾斜角为 ,则 sin2 =( )A B C. D451451211.将函数 ( )的图象按向量 平移
4、后所得的图象关于点sin()30(,0)a中心对称,则 的值可能为( )(,0)12A4 B3 C2 D1 12.已知函数 ,若函数 有 个零点,则实数 的取值范围3(1),0)xfxe()gxfa3a是( )A B C. D21(0,)e21(,)e2(,1)e(,1)二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上)13.已知向量 , ,若向量 与 垂直,则 m= ,a3,bmab14.已知等差数列a n中,a 3+a7=16,S 10=85,则等差数列a n公差为 315., ,2ABCABCcabDD在 中 , 角 对 边 分 别 为 ab,c且 2o
5、sB=a-b,若 的 面 积 S=则 的 最 小 值 为16.定义在 R 上的函数 f(x) ,如果存在函数 g(x)=ax+b(a,b 为常数) ,使得 f(x)g(x)对一切实数 x 都成立,则称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数给出如下命题:函数 g(x)=2 是函数 f(x)= 的一个承托函数;函数 g(x)=x1 是函数 f(x)=x+sinx 的一个承托函数;若函数 g(x)=ax 是函数 f(x)=e x的一个承托函数,则 a 的取值范围是0,e;值域是 R 的函数 f(x)不存在承托函数;其中,所有正确命题的序号是 三、解答题 (本大题共 7 小题,共 70 分.解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤.)(一)必考题:共 60 分17.若数列 的前 项和 满足 .nanS2na(1)求证:数列 是等比数列;1(2)设 ,求数列 的前 项和 .)(log2nnb1nbnT18.如图 1, 是边长为 3 的等边三角形, 在边 上, 在边 上,且 .将ABCDACEBAED2沿直线 折起,得四棱锥 ,如图 2.DEB(1)求证: ;(2)若平面 底面 ,E求三棱锥 的体积.CA19.某高三理科班共有 60 名同学参加某次考试,从中随机挑选出 5 名同学,他们的数学成绩 x 与物理成绩y 如下表:数学成绩 x 145 130 120 105 100物理成绩 y 110
7、 90 102 78 70数据表明 y 与 x 之间有较强的线性关系.(1)求 y 关于 x 的线性回归方程;(2)该班一名同学的数学成绩为 110 分,利用(1)中的回归方程,估计该同学的物理成绩;(3)本次考试中,规定数学成绩达到 125 分为优秀,物理成绩达到 100 分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 50%和 60%,且除去抽走的 5 名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有 5 人.能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?参考数据:回归直线的系数 , .12niiiiixybaybx, .22nadcKbbd226.350.1,0
8、.81PKPK20.已知圆 E:x 2+(y ) 2= 经过椭圆149C: (ab0)的左右焦点 F1,F 2,且与椭圆 C 在第一ya2象限的交点为 A,且 F1,E,A 三点共线,直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,且 = (0)MNO(1)求椭圆 C 的方程;(2)当三角形 AMN 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程()(0)ln1.xfa=-( 分 ) 设 函 数(1)若函数 f(x)在(1,+)上为减函数,求实数 a 的最小值;(2)若存在 x1,x 2e,e 2,使 f(x 1)f(x 2)+a 成立,求实数 a 的取值范围(二)选考题:共 10 分22.在直角坐标系 xO
9、y 中,曲线 C1的参数方程为 ( t 是参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正sin3coty半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 =8cos( ) (1)求曲线 C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;(2)若曲线 C1与曲线 C2交于 A, B 两点,求| AB|的最大值和最小值攸县二中 2019 届高三第四次月考文科数学试题答案一、选择题:1-5 ACCDB 6-10 DDADA 11-12 CA二、填空题13.1 14.1 15.4 16.三、解答题 17.(1) 当 n时, 112aS,解得 1a1 分当 1时,由题意, n 11(2)2nn nS ,即 12na3
10、 分所以 1nna,即 1na 数列 n是首项为 2,公比为 2 的等比数列6 分(2)由(1) , 1nna,所以2n8 分 1)(1,log2 nnbbn10 分 )()32()1nTn12 分18.( 1)在图 1 中,由题意知 1AE, 2BD在 ADE中,由余弦定理知 3222 所以 ,所以 3 分B在 AE沿直线 折起的过程中, DE与,的垂直关系不变,故在图 2 中有 BD,又 B,所以 平面 A,所以BADE.5 分(2)如图 2,因为平面 DE底面 BC,由(1)知 ,且平面 A底面 DE,所以 底面 C,所以 EA为三棱锥 的高,且 18 分又因为在图 1 中, BECAD
11、BCEDSS4360sin3260sin260sin32 10 分所以 141 SVECDDECAD故三棱锥 的体积为 23.12 分19.((1)由题意可知 ,故10,9xy222224520301091057890107945b.3 分18108625023,故回归方程为 .4 分9.6a0.86yx(2)将 代入上述方程,得 . 6 分1x.12(3)由题意可知,该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为 30,36. 抽出的 5 人中,数学优秀但物理不优秀的共 1 人,故全班数学优秀但物理不优秀的人共 6 人.8 分于是可以得到 列联表为:210 分于是 ,2260418610.353K因此
12、在犯错误概率不超过 0.01 的前提下,可以认为数学优秀与物理优秀有关.12 分20.解:(1)如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1,F 2,c2+(0 ) 2= ,解得 c= ,.1 分F1, E,A 三点共线,F 1A 为圆 E 的直径,则|AF 1|=3,AF2F1F2, = =98=1,2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,a=2 .3 分由 a2=b2+c2 得,b= ,椭圆 C 的方程是 ;.5 分(2)由(1)得点 A 的坐标( ,1) , (0) , 直线 l 的斜率为 kOA= ,.6 分则设直线 l 的方程为 y= x+m,设 M(x 1,y 1) ,N (x 2
13、,y 2) ,由 得, ,x1+x2= ,x 1x2=m22,且=2m 24m2+80,解得 2 m2,.8 分|MN|= |x2x1|= = ,.点 A 到直线 l 的距离 d= = ,10 分AMN 的面积 S= = = ,当且仅当 4m2=m2,即 m= ,直线 l 的方程为 12 分21.解:()由已知得 f(x )的定义域为(0,1)(1,+ ) ,f(x)在(1,+)上为减函数,f(x)=a+ 0在( 1,+)上恒成立,a =( ) 2 ,2 分令 g(x)=( ) 2 ,故当 = ,即 x=e2 时,g(x)的最小值为 ,a ,即 aa 的最小值为 4 分()命题“若存在 x1,
14、x 2e,e 2,使 f(x 1)f(x 2) +a 成立”,等价于“当 xe,e 2时,有 f(x ) minf(x) max+a”,6 分由()知,当 xe,e 2时,lnx 1,2 , ,1,f(x)=a+ =( ) 2+ a,f(x) max+a= ,问题等价于:“当 xe,e 2时,有 f(x ) min ”,8 分当a ,即 a 时,由( ) ,f (x)在e,e 2上为减函数,则 f(x) min=f(e 2)= ae 2+ ,a ,a 10 分当 a0,即 0a 时,xe,e 2,lnx ,1,f(x)=a+ ,由复合函数的单调性知 f(x)在 e,e 2上为增函数,存在唯一 x0(e,e 2) ,使 f(x 0)=0 且满足:f(x) min=f(x 0)=ax 0+ ,要使 f(x) min ,a = ,与 a0 矛盾, a0 不合题意综上,实数 a 的取值范围为 ,+) 12 分(二)选考题:共 10 分22.解:(1)对于曲线 C2 有 ,即 ,因此曲线 C2 的直角坐标方程为 ,其表示一个圆4 分(2)联立曲线 C1 与曲线 C2 的方程可得: ,t1+t2=2 sin,t 1t2=137 分,因此 sin=0,|AB|的最小值为 ,sin=1,最大值为 810 分