1、2018-2019 学年第一学期高二期中调研测试数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 命题“ ， ”的否定是 3x922. 过点 且与直线 垂直的直线方程是 1, 30xy3. 抛物线 的准线方程是 24y4. 命题“若 ，则 ”的否命题是 392x5. 若圆的半径为 3,圆心与点 关于点 对称,则圆的标准方程为 ,016. “直线 与圆 相切”是“ ”的 (填“充xym24y25m分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分又不必要条件”中的一个) 7. 若抛物线 xy4
2、2上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 到 y 轴的距离为 8. 直线 与直线 平行，则 与 间的距离为 1:0lm2:(1)20lxm1l2 9. 椭圆 的左、右两焦点分别为 ，椭圆上一点 满足 ，则2xy12,FP0126F的面积为 12FP10. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线2:1(0,)xyCabl： ，且它的一个焦点在直线 l 上，则双曲线 C 的方程为 43011. 已知椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 若平行于 且在 轴2:1(0)xyabFAFy上截距为 的直线与圆 相切，则该椭圆的离心率为 322(31xy12. 椭圆 C： 的左顶点为 A，左焦点为 F，过点 A 且斜
3、率为 k 的直线交)0(12bayx椭圆 C 于另一个点 B，BF 垂直于 x 轴，若 k , 则椭圆的离心率的取值范围是 432 13. 过点 作直线与圆 交于 两点，且 为 中点，则弦4,7P22y,ABPB的长为 AB14. 已知点 ， ，圆 （ ）上存在唯一的点 ，使(1,0)(,)B2:5Cxa0a，则实数 的值是 2二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本题满分14分)在平面直角坐标系 中,直线 的方程为 .xOyl20()xmy（） 若直线 的斜率为 ,求实数 的值；l1（）若直线 与坐标轴围
4、成的三角形的面积为 ,求实数 的值.16(本题满分 14 分)已知命题 ， 命题 实数 满足：方程 表示2:,0pxmR :qm2214xym双曲线（）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（）若命题“ 或 ”为假命题，求实数 的取值范围q17(本题满分 14 分)已知点 ，圆 1,5P:C240xy（）过点 作圆的切线 ， 为切点，求线段 的长；TPT（）过点 作直线与圆交于 两点，且 ，求直线 的方程,AB23AB18 （本题满分 16 分）为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽.图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图） ，半圆的直径为 10，椭圆的离心率为 ，且短轴与半圆的直径重
5、合，图徽内有32一矩形区域 用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上ABCD（）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；（）根据美学知识，当 时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时 的0.6 AB长19 （本题满分 16 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 32（）求椭圆 C 的方程；（）已知点 是椭圆上一点，求以点 为切点的椭圆的切线方程；0,PxyP（）设点 是直线 上一动点，过点 作椭圆 的两条切线 ，切点分别为Q:5lQC,QMN，直线 是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由,M
6、N20 （本题满分 16 分）已知椭圆 E：21xyab0，四点 ,2,62,ABC中恰有三个点在椭圆上2,D（）求椭圆 E的方程；（）如图，动直线 l： 交椭圆 E于 ,AB两点， C是椭圆 E上一点，直线16ykxOC的斜率为 2k，且 124， M是线段 OC延长线上一点，且 ，以 为:2:3MAB圆的圆 半径为 ， 是圆 的两条切线，切点分别为 求 SOT的最MST、 、大值，并求取得最大值时直线 l的斜率2018-2019 学年第一学期期中测试数学参考答案一、填空题：1. ， 2. 3. 4.若 ，则3x29230xy1x329x5. 6.必要不充分条件2y7.28. 9. 10.
7、11. 12. 13. 14 或6532196xy23e243二、解答题：15. 解：（）直线斜率存在时,斜率为 ,则 ； 7分2m1（）由 ， 时, ； 时, ；0mxy0x则围成的三角形面积为 ,1|24由面积为 可得 . 14分2816解：（）因为 恒成立，2,0xmR则 ， 3 分 140m解得 ，所以实数 的取值范围是 6分 1(,4（）因为“ ”为假命题，所以 为假命题， 为假命题 8分pq或 pq当 为真命题时，则 ，解得140m或所以 为假命题时 10 分m由（1）知， 为假命题时 12 分p从而 ，解得4 14所以实数 的取值范围为 14 分m17解：（）圆 ： ，圆心为 ，
8、半径 22 分C22xy2,r4 分21510P连结 ，则 ， 5 分TP所以 6 分26PTC（）设圆心 到直线的距离为 ，d，则 8 分223ABr1d若直线的斜率不存在，则 ，满足 ； 9 分1x若直线的斜率存在，设方程为 ，即5ykx50ky则 22|5|3|11kd令 ，解得 ，2|3|k4k此时直线的方程为 13 分3190xy综上所述， 方程为 或 14 分AB41x（说明：不考虑斜率不存在的情况，扣 3 分）18解：（）以半圆的直径为 x 轴，圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为 （ ） ，4 分25xy0椭圆的短半轴 ， 所以3,cba22bac2210,5b所
9、以半椭圆方程为 （ ）8 分510xyy（）当 的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点 的ABCD A横坐标为 ，则， ，(05)m2m10 分2 210()35由 得 ，12 分.6ADB235m解得 ，29此时 14 分5029AB答：达到最佳美观的效果时 为 16 分AB502919 （）设椭圆 的方程为 .C21(,0)xyab由题意得 解得 .,32acc所以 .21b所以椭圆 的方程为 .3 分C214xy（） （1）如果 ，则切线的斜率存在，0y设切线方程为 ，即00ykx0ykx与椭圆 联立，消去 整理得：214x（*）220018440kykxykx因为直线与椭圆
10、相切，所以方程（*）中 5 分222 20064161k得 0xky又因为点 在椭圆上，所以 代入0,2014xy得2220004xykk所以 6 分0所以切线方程为 ，004xy即 7 分2004xyx（2 ）如果 坐标为 ，则切线方程为 ，满P2,02x足 8 分04xy（3 ）如果 坐标为 ，则切线方程为 ，满P2,02x足 9 分04xy综上所述，切线方程为 10 分04xy（）法一：设 ，12,5,MxyNQn则由（）可知， 方程为 14xy方程为 12 分Q2xy由解得 ，由 ，即124215yx2154yx又 的方程为 ，13 分MN121y令 得， 15 分01245xy所以
11、恒过定点 16 分N4,5法二：设 ，12,MxyQn则由（）可知， 方程为 14xy又点 在 上，所以 12 分154n同理 254xyn所以 的方程为 13 分MN4xny由 ，得054yx5y所以 恒过定点 16 分MN4,0520 解： （）由对称性可知， 在椭圆上， 不在椭圆上，则 在椭圆上，所以,BCDA，将点 B 代入椭圆方程，可得2b216a所以椭圆方程为 4 分2168xy（）设 ，12,Axy联立方程21, 86ykx得 ，2140kx由题意知 ，0且 ，6 分112 2124,6kxxk所以 .221121 84kABx由题意可知圆 的半径 为 8 分Mr221138k由题设知 ，124k所以 9 分21因此直线 的方程为 .OC124yxk联立方程21,8 ,46xyk得 ，11 分221216448,kxyk因此 .221OCx由题意可知 ，12 分sin1STrOCr而2122118483kOCrk，214令 ，21tk则 ，,0t因此 ，2 223313194OCtrtt当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，14 分12tt 1k所以 ，sinSOT因此 ，26所以 最大值为 .15 分S3综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 .16 分OTl12k
