1、1第二十一章 一元二次方程211 一元二次方程教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.【过程与方法】1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情【教学重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念【教学难点】通过提出问题，建立一元
2、二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一、情境导入（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为 2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为 x m，则其上部高为(2- x)m，由此可得到的等量关系如何？它是关于 x 的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?2、探索新知由上述问题，我们可以得到 ，即 .显然这个方程只含有一个()2x=-240x+-=未知数，且 x 的最高次数为 2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究问题 1
3、如图，有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？教师设置如下问题学生讨论：如果设四角折起的正方形的边长为 x cm，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为 3600m2可得到的方程又是怎样的？讨论结果：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为(100-2 x)cm，x2宽为(50-2 x)cm.根据方盒的底面积为 3600m2，得(100-2 x)(50-2x)=3600.整理，得.化简得 .由次方程可以得出所切
4、正方形的具体尺寸.243014-+=27530x-+=探究问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：（1）这次比赛共安排多少场？（2）若设应邀请 x 个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？（3）由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？讨论结果：全部比赛的场数为 .设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他( x-1)4728=个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.
5、列方程 .整理，得 .化简，得 ，即()12x-()12x-218-=256x-=.560=观察思考，口答下面的问题：（1）上面的方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方程归纳总结像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中 是二次项， a 是()0a
6、xbca+= 2ax二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项想一想二次项系数 a 为什么不能为 0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时， a、 b、 c一定是正数吗？探究问题 3 探究问题 2 中可以看出，由于参赛球队的支数 x 只能是正整数，由此可列下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .x2-x-56由上表可得，当 x=8 时， ，所以 x=8 是方程 的解,一元二次20x-=2560x-=方程的解也叫做一元二次方程的根.学生思考方程 有一个根为 x=8，它还有其他的根吗？2560x-=当 x=-7 时， ，故 x=-7 也是方程 的一个根.x-(
7、)497560-=2560x-=归纳总结使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果3有实数根，则必然有两个实数根，通常记为 ， 1xa=2b3、掌握新知例 1 求证：关于 x 的方程 ，不论 m 取何值，该方程都()228710mx-+=是一元二次方程分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 即28170-+可证明： ()2281741-+=- ，0 ，即 ()241m-+()2410m-+不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程例 2 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系35xx-=数、一次项系数和常数项分析：一元二
8、次方程的一般形式是 因此，方程()20abxca+=必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等()3152xx-=+解：去括号，得 3510x-=移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 23810x-=其中二次项系数为 3，一次项系数为-8，常数项为-104、巩固练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） , , , .2370x+=20 axbc+=()251 xx-+=-2530x-=A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.已知方程 的一个根是 ，则 m 的值为_ 256m-33.关于 x 的方程 ()2130ax+=是一元二次方程，则 a 的取值范围是_.4.根据下
9、列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x;（2）一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x.答案：1.A 2.-13 3.a1 4.（1） ，其中二次项系数为 4，一次项2450x-=系数为 0，常数项为-25；（2） ，其中二次项系数为 1，一次项系数为 12，0x-常数项为-100.五、归纳小结1.本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它()0axbca+=4们的运用2.通过这节课的学习，你还有那些收获？布置作业从教材习题 211 中选取.教学反思1.注重知识的前后练习，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
