1、- 1 -第三章 统计案例1 本章知识大串烧一、独立性检验的基本思想通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多” 、 “小得多” ，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的下面从理论上说明两个变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法1基本思想与图形的联系假设两个变量是无关的，可知如下的比应差不多，即： |ad bc|0.aa b cc d构造统计量 2 (其中 n a b c d)(此公式如何记忆，其特点nad bc2a bc da cb d是什么？结合 22 列联表理解)，显然所构造的统计量与| ad bc|的大小具有一致性2独
2、立性检验的思想方法如果 2的值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两个变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果 2的值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的其思想方法类似于数学上的反证法3得到 2的值常与以下几个临界值加以比较：如果 22.706，就有 90%的把握认为和有关系；如果 23.841，就有 95%的把握认为和有关系；如果 26.635，就有 99%的把握认为和有关系；如果 210.828，就有99.9%的把握认为和有关系；如果 22.706，就认为没有充分的证据显示和有关系像这种利用统计量 2来确定在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的方法称为两个
3、变量的独立性检验二、回归分析1线性回归方程 x ，其中：y b a ， .b n i 1 xi xyi y n i 1 xi x2 n i 1xiyi nx y n i 1x2i nx2 a y b x- 2 -(注： 主要方便计算，其中( xi， yi)为样本数据，( ， )为样本点的中心)b n i 1xiyi nx y n i 1x2i nx2 x y公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势2样本相关系数的具体计算公式r n i 1 xi xyi y n i 1 xi x2 n i 1 yi y2 n i 1xiyi nx
4、y n i 1x2i nx2 n i 1y2i ny2公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱当 r 的绝对值接近 1 时，表明两个变量的线性相关性越强；当 r 的绝对值接近 0 时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系规定当| r|r0.05时，认为两个变量有很强的线性相关关系公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及b 公式的记法)，因此，当 r0 时，两个变量正相关；当 r10.828.1 633301 355 2242422541 379541 579我们有 99.9%的把握认为吃水果与皮肤好有关系点评 该例中我们有较大的把握认为结论成立
5、，但我们所说的“吃水果与皮肤好有关系”指的都是统计上的关系，不要误认为里面存在因果关系，具体到某一个适量吃水果的人，并不能说明他一定有好的皮肤例 2 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了 189 名员工进行调查，所得数据如下表所示：积极支持企业改革不太赞成企业改革合计工作积极 54 40 94工作一般 32 63 95合计 86 103 189对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？分析 首先由已知条件确定 a、 b、 c、 d、 n 的数值，再利用公式求出 2的值，最后根据 2的值分析结果解 由题目中表的数据可知， 2nad bc2
6、a ca bc db d 10.759.1895463 40322949586103因为 10.7597.879，所以有 99.5%的把握说员工“工作积极”与“积极支持企业改革”有关，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的点评 在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱；把计算出的 2的值与临界值作比较，确定出“与有关系”的把握程度例 3 为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了 339 名 50 岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有 56 人，患慢性气管炎且吸烟的有 43 人，未患慢性气管炎但吸烟的有 162人根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大
7、程度上有关系？解 根据所给样本数据得到如下 22 列联表：患慢性气管炎 未患慢性气管炎 总计吸烟 43 162 205不吸烟 13 121 134总计 56 283 339- 7 -由列联表可以粗略估计出：在吸烟者中，有 20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大根据列联表中的数据，得到 233943121 131622562832051347.4696.635.所以有 99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关” 点评 对列联表的比例进行分析，可粗略地判断两个分类变量是否有关系通过计算统计量 2，
8、可以比较精确地给出这种判断的可靠程度先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略.4 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想1案例分析例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了 7 组数据如下表：温度 2 3 4 5 6
9、7 8- 8 -x/某项指标 y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801试建立某项指标 y 关于温度 x 的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型解 画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线 y Bx2 A 的周围令 X x2，则变换后的样本点应该分布在 y bX a(b B， a A)的周围由已知数据可得变换后的样本数据表：X 4 9 16 25 36 49 64某项指标 y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190
10、 14.790 17.801计算得到线性回归方程为 0.199 94 X4.999 03.y 用 x2替换 X，得某项指标 y 关于温度 x 的回归方程 0.199 94 x24.999 03.y 计算得 r0.999 999，几乎为 1，说明回归模型的拟合效果非常好点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决2知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数 y axm(a 为正数， x， y 取正值)解决方案：对 y axm两边取常用对数，有
11、lg ylg a mlg x，令 ulg y， vlg x，则原式可变为 u mvlg a，其中 m，lg a 为常数，该式表示 u， v 的线性函数(2)指数型函数 y cax(a， c0，且 a1)解决方案：对 y cax两边取常用对数，则有 lg ylg c xlg a，令 ulg y，则原式可变为 u xlg alg c，其中 lg a 和 lg c 为常数，该式表示 u， x 的线性函数与幂函数不同的是 x 保持不变，用 y 的对数 lg y 代替了 y.- 9 -(3)反比例函数 y (k0)kx解决方案：令 u ，则 y ku，该式表示 y， u 的线性函数1x(4)二次函数 y ax2 c解决方案：令 u x2，则原函数可变为 y au c，该式表示 y， u 的线性函数(5)对数型函数 y clogax解决方案：令 x au，则原函数可变为 y cu，该式表示 y， u 的线性函数
