1、1第 6 课时 直线与双曲线的位置关系基础达标(水平一 )1.已知直线 l 过点( ,0),且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,则这样的直线有( ).2A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【解析】点( ,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有 2 条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一2个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有 3 条 .【答案】C2.已知双曲线 C: - =1 的一条渐近线方程为 2x+3y=0,F1、 F2分别是双曲线 C 的左、右焦点,点 P 在双曲2224线 C 上,且 |PF1|=2,则 |PF2|等于( ).
2、A.4 B.6 C.8 D.10【解析】依题意,有 = ,所以 a=3,因为 |PF1|=2,所以点 P 在双曲线的左支上,所以 |PF2|-|PF1|=2a,解223得 |PF2|=8,故选 C.【答案】C3.已知点 P(3,-4)是双曲线 - =1(a0,b0)渐近线上的一点, E,F 是左、右两个焦点,若 =0,则双2222 曲线的方程为( ).A. - =1 B. - =123 24 24 23C. - =1 D. - =129 216 21629【解析】由题意知,点 E(-c,0),F(c,0),则 =(3+c,-4)(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以 c2=25.可排除 A
3、,B 选项 .又 D 选项中双曲线的渐近线方程为 y= x,点 P 不在渐近线上,排除 D 选项,故 C 正确 .34【答案】C4.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( ).A. B.(- 153, 153) (0, 153)C. D.(- 153,0) (- 153,-1)【解析】由 得(1 -k2)x2-4kx-10=0.=+2,2-2=6,由题意得 解得 - 0,41-20,102-10, 153【答案】D25.过双曲线 - =1(a0)右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右两支各有一个2225-2交点;当
4、直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点 .则双曲线离心率的取值范围为 . 【解析】由题意可知 从而 40,20,b0)的左焦点,定点 A 为双曲线虚轴的一个端点,过 F,A 两点的直线与双曲2222线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B,若 =3 ,则此双曲线的离心率为 . 【解析】因为 F 为双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点,定点 A 为双曲线虚轴的一个端点,2222所以可设点 F(-c,0),A(0,b),B(xB,yB),直线 AF:y= x+b.由题意知,直线 AF 与渐近线 y= x 相交 .联立两直线 消去 x,得 yB= .=+,=, -由 =3 ,得 yB=
5、4b,所以 =4b,解得离心率 e= .- 43【答案】437.从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 作直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程 .【解析】设点 P(x,y),Q(x0,y0),则点 N(2x-x0,2y-y0),代入 x+y=2,得 2x-x0+2y-y0=2. 因为 PQ 垂直于直线 x+y=2,所以 =1,-0-0即 x-y-x0+y0=0. 由 得 x0= x+ y-1,y0= x+ y-1.32 12 12 32由点 Q(x0,y0)在双曲线 x2-y2=1 上,代入双曲线方程,得点 P 的轨迹方程为 2x2-2y2-2x+2y=1.
6、拓展提升(水平二)38.已知双曲线 - =1(a0,b0),若存在过右焦点 F 的直线与双曲线交于 A,B 两点,且 =3 ,则该双曲线2222 离心率的最小值为( ).A. B. C.2 D.22 3 2【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A,B 两点,且 =3 ,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即 A 在左支, B 在右支 .设点 A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点 F(c,0),因为 =3 ,所以 c-x1=3(c-x2),即 3x2-x1=2c.因为 x1 -a,x2 a,所以 -x1 a,3x23 a,所以 3x2-x14 a,即 2c4 a, 2,即 e
7、2,故选C.【答案】C9.已知双曲线 - =1 上存在两点 P,Q 关于直线 y=x+b 对称,且 PQ 的中点 M 在直线 2x+y-2=0 上,则实数 b22 23的值为( ).A.-10 B.-8 C.-2 D.2【解析】因为点 P,Q 关于直线 y=x+b 对称,所以线段 PQ 的垂直平分线的方程为 y=x+b,所以直线 PQ 的斜率为 -1.设直线 PQ 的方程为 y=-x+m,令点 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),由 得 x2+4mx-2m2-6=0,所以=-+,22-23=1,xP+xQ=-4m,所以 xM=-2m,所以点 M(-2m,3m).又因为 PQ
8、的中点 M 在直线 2x+y-2=0 上,所以 -4m+3m-2=0,解得m=-2,由 PQ 的中点 M 也在直线 y=x+b 上,得 b=5m,所以 b=-10,故选 A.【答案】A10.连接双曲线 - =1 和 - =1(其中 a0,b0)的四个顶点的四边形的面积为 S1,连接四个焦点的四边形22222222的面积为 S2,则当 的值最大时,双曲线 - =1 的离心率为 .12 2222【解析】由题意可知 S1= 2a2b=2ab,S2= 2c2c=2c2,12 12 = = = ,当且仅当 = ,即 a2=b2=c2-a2时等号成立 ,此时双曲线 - =1 的离心率为122 2+21+
9、12 2222e= = . 2【答案】 211.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A,B.(1)求实数 k 的取值范围 .(2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由 .【解析】(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整理得( k2-2)x2+2kx+2=0. 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,4故2-22,=(2)2-8(2-2)0,- 22-20,22-20, 解得 -2k- .2(2)设 A,B 两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则由 式得 1+2= 22-2,1+2= 22-2.假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0).则由 FA FB,得( x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即( x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得( k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. 把 式及 c= 代入 式,化简得 5k2+2 k-6=0,626解得 k=- 或 k= (舍去) .6+ 65 6- 65可知当 k=- 时使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F.6+ 65
