1、- 1 -第 7课时 双曲线的简单几何性质基础达标(水平一 )1.双曲线 9y2-16x2=144的渐近线方程为( ).A.y= x B.x= y43 43C.y= x D.x= y43 43【解析】令 9y2-16x2=0,可得渐近线方程为 y= x.43【答案】C2.若双曲线 - =1的渐近线与圆( x-3)2+y2=r2(r0)相切,则 r等于( ).2623A. B.2 C.3 D.63【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为 y= x,圆的圆心为(3,0) .22由题意得圆心到渐近线的距离等于圆的半径 r,即 r= = = .|32+0|2+4 3263【答案】A3.对于方程 -y2=
2、1和 -y2= ( 0且 1)所分别表示的双曲线有如下结论 :24 24 有相同的顶点; 有相同的焦点; 有相同的离心率; 有相同的渐近线 .其中正确结论的序号是( ).A. B. C. D.【解析】对于方程 -y2=1,a=2,b=1,c= ;对于方程 -y2= ,a=2 ,b= ,c= .显24 5 24 5 然 a,b,c分别是 a,b,c的 倍,因此有相同的离心率和渐近线 .【答案】C4.已知 m,n为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0与 nx2+my2=mn所表示的曲线可能是( ).【解析】由题意,方程可化为 y=mx+n和 + =1,B,D选项中,两椭圆中 m0,n0,
3、但直线中 m0,m0,矛盾;C 选项中,双曲线中 m0,n0,n0,b0),若矩形 ABCD的四个顶点在 E上, AB,CD的中点分别为双曲2222线 E的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则双曲线 E的离心率是 . 【解析】假设点 A在第一象限,点 B在第二象限,则 A ,B ,所以(,2) (,-2)|AB|= ,|BC|=2c,由 2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率 e=2或 e=- (舍去),所以双曲线 E的离22 12心率为 2.【答案】26.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆( x+c)2222
4、2+y2=4c2与双曲线 C位于 x轴上方的两个交点,且 F1A F2B,则双曲线 C的离心率为 . 【解析】由双曲线定义得 AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为 F1A F2B,所以 cos F2F1A=-cos F1F2B,再利用余弦定理得 42+42-(2+2)2222=- ,42+(2-2)2-4222(2-2)化简得 2e2-3e-1=0,又 e1,所以 e= .3+ 174【答案】3+ 1747.已知双曲线的中心在原点,离心率为 2,一个焦点 F是( -2,0).(1)求双曲线的方程;(2)设 Q是双曲线右支上一点,且过点 F,Q的直线 l与 y轴交于点 M,若 | |=|
5、 |,求直线 l的方程 .【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为 - =1(a0,b0),2222e= =2,c=2,a= 1,b= , 3 所求的双曲线方程为 x2- =1.23- 3 -(2)设双曲线的右焦点为 F1(2,0),则 F1Q x轴,Q 点的坐标为(2,3)或(2, -3), 直线 l的方程为 3x+4y+6=0或 3x-4y+6=0.拓展提升(水平二)8.已知离心率为 e的双曲线和离心率为 的椭圆有相同的焦点 F1,F2,P是两曲线的一个公共22点,若 F1PF2= ,则 e等于( ).3A. B. C. D.362 52 52【解析】由椭圆的定义,得 |PF1|+|PF
6、2|=2 c|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=8c2,由余弦定2理可得 |PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,从而解得 |PF1|PF2|= c2(|PF1|-|PF2|)2=8c2- 4a2= = e= .故选 A.43 1623 823 2232 62【答案】A9.中心在坐标原点,离心率为 的双曲线的焦点在 y轴上,则它的渐近线方程为( ).53A.y= x B.y= x54 45C.y= x D.y= x43 34【解析】 = , = = , = ,53 222+22 259 22169 = , = .4334又 双曲线的焦点在 y轴上, 双曲线的渐近线
7、方程为 y= x,故所求双曲线的渐近线方程为 y= x.34【答案】D10.已知双曲线 - =1(b0)的左、右焦点分别是 F1、 F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( ,y0)在2222 3双曲线上,则 = . 1 2【解析】由渐近线方程为 y=x知, =1,2即 b= ,2因为点 P( ,y0)在双曲线上,所以 y0=1.3当 y0=1时, P( ,1),F1(-2,0),F2(2,0),3所以 =0;1 2- 4 -当 y0=-1时, P( ,-1), =0.3 1 2【答案】011.已知双曲线 C: -y2=1,P是 C上的任意一点 .24(1)求证:点 P到双曲线 C的两条渐近
8、线的距离的乘积是一个常数 .(2)若点 A的坐标为(3,0),求 |PA|的最小值 .【解析】(1)设 P(x1,y1)是 C上任意一点,由题可知,双曲线的两条渐近线方程分别是 x-2y=0和 x+2y=0.所以点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 和 ,|1-21|5|1+21|5所以 = = .|1-21|5|1+21|5|21-421|5 45故点 P到双曲线 C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .(2)由点 A的坐标(3,0),得 |PA|2=(x1-3)2+ =(x1-3)2+ -1= + .21214 54(1-125)245又点 P在双曲线上,所以 |x1|2,故当 x1= 时, |PA|2的最小值为 ,125 45即 |PA|的最小值为 .255
