1、1第二章 圆锥曲线与方程综合检测一、选择题1.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.13 12 33 22【解析】依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故 b=c,a 2-c2=c2,e= .22【答案】D2.若椭圆 + =1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 m 的值是( ).29 22 2223A. B. C.- D.不存在3 3 3【解析】显然双曲线焦点在 x 轴上,故 9-m2=m2+3,所以 m2=3,即 m= .3【答案】A3.若椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则双曲线 - =1 的离心率为( ).2222
2、322222A. B. C. D.54 52 32 54【解析】由题意知 e2= = = = ,得 = ,而双曲线的离心率 e2= = =1+ = ,故222-22 ( 32)2342214222+22 1454e= .52【答案】B4.已知直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为( ).A.48 B.56 C.64 D.72【解析】联立方程组 解得点 A(1,-2),B(9,6).2=4,=-3, 抛物线准线为 x=-1,|AP|= 2,|BQ|=10,|PQ|=8.故 S 梯形 APQB=
3、=48.(2+10)82【答案】A25.设离心率为 e 的双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,2222则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( ).A.k2-e21 B.k2-e21 D.e2-k21.222-22【答案】C6.已知点 N(3,0),圆( x+2)2+y2=16 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,线段 AN 的垂直平分线交直线 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( ).A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【解析】由中垂线的性质可知 |AP|=|NP|,因为 |AP|=|MP|+|AM|,所以 |NP|
4、=|MP|+|AM|,即 |NP|-|MP|=|AM|,所以动点 P 的轨迹是双曲线 .【答案】C7.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦点在抛物线2222 3y2=4 x 的准线上,则双曲线的方程为( ).7A. - =1 B. - =1221228 228221C. - =1 D. - =12324 2423【解析】双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为 y= x,因为点(2, )在渐近线上,2222 3所以 = .又双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线方程 x=- 上,所以 c= ,由此可解 32 7 7 7得 a=2,b= ,所
5、以双曲线的方程为 - =1,故选 D.32423【答案】D8.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 ,且右焦点与抛物线 y2=4 x 的焦2222 2 3点重合,则该双曲线的离心率等于( ).A. B. C.2 D.22 3 33【解析】由题意知抛物线的焦点为( ,0),即 c= .双曲线的渐近线方程为 y= x,即3 3= ,得 b= a,所以 b2=2a2=c2-a2,故 c2=3a2,即 e2=3,得 e= . 2 2 3【答案】B9.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1,P2两点,线段 P1P2的中点为 P,设直线 m 的22斜率为 k1(k
6、10),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2的值为( ).A.2 B.-2 C. D.-12 12【解析】已知直线 m 与椭圆交于 P1,P2两点,从而设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),可知点 P,即 k2= ,设直线 m:y=k1(x+2),联立椭圆方程得 (2 +1)(1+22 ,1+22 )1+21+2 22+2=1,=1(+2) 21x2+8 x+8 -2=0,可得 x1+x2=- ,所以 y1+y2=k1(x1+x2)+4k1= ,则 k2=- ,即21 21821221+141221+1 121k1k2=- .12【答案】D10.如图,某人造卫星的运行轨道是以地球中
7、心 F2为一个焦点的椭圆,设近地点 A(离地面最近的点)距地面 m 千米,远地点 B(离地面最远的点)距地面 n 千米,地球半径为 r 千米,且点F2,A,B 在同一直线上,则该卫星运行轨道的短半轴长为( ).(单位:千米)A.2mn B.2 (+)(+)C.mn D. (+)(+)【解析】由图可知 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=(m+r)(n+r),故选 D.|2|=+=-,|2|=+=+【答案】D11.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” .已知 F1,F2是一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 F1PF2=60时,这一对相关曲线中双
8、曲线的离心率是( ).A. B. C. D.23 2233【解析】设椭圆的半长轴为 a1,椭圆的离心率为 e1,则 e1= ,a1= .双曲线的实半轴长11为 a,双曲线的离心率为 e,e= ,a= .|PF1|=x,|PF2|=y,(xy0),则由余弦定理得 4c2=x2+y2- 42xycos 60=x2+y2-xy,当点 P 看作是椭圆上的点时,有 4c2=(x+y)2-3xy=4 -3xy,当点 P 看21作是双曲线上的点时,有 4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去 xy 得 4c2= +3a2,即214c2= +3 ,所以 +3 =4.又 =e,所以 e2+ =4,
9、整理得 e4-4e2+3=0,解得 e2=3,所以(1)2 ()2 (11)2 (1)21132e= ,即双曲线的离心率为 ,故选 A.3 3【答案】A12.若椭圆 C1: + =1(a1b10)和椭圆 C2: + =1(a2b20)的焦点相同,且 a1a2.给出如下221221222222四个结论: 椭圆 C1和椭圆 C2一定没有公共点; ;1212 - = - ;21222122a 1-a2b1+b2,故 a1-21222122a2y,由 e2=3e1,得 a2= .13由椭圆定义及勾股定理,得 解得 e1= .+=21,-=22,2+2=42, 53【答案】5315.如图,椭圆的中心在坐
10、标原点, F 为左焦点, A,B 分别为长轴、短轴上的一个顶点,当FB AB 时,此类椭圆称为“黄金椭圆” .类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线”的离心率为 .【解析】由题意可类比出“黄金双曲线”的图形大致如右图 .由图可知( a+c)2=(b2+c2)+(b2+a2),把 b2=c2-a2代替,整理得 c2-ac-a2=0,即 e2-e-1=0,解得 e= ,故 e= .1 52 1+ 52【答案】1+ 5216.已知 A(1,1)为椭圆 + =1 内一点, F1为椭圆左焦点, P 为椭圆上一动点,则 |PF1|+|PA|的2925最大值为 ,最小值为 . 【解析】由 + =1 可知, a
11、=3,b= ,c=2,左焦点 F1(-2,0),右焦点 F2(2,0).由椭圆的定2925 5义知, |PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,|PF 1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.如图,由 |PA|-|PF2| |AF2|= = ,得 - |PA|-|PF2| .(2-1)2+(0-1)2 2 2 2当点 P 在 AF2的延长线上的 P2处时,取右“ =”;当点 P 在 AF2的反向延长线的 P1处时,取左“ =”,即 |PA|-|PF2|的最大值、最小值分别为 、 - .2 2于是 |PF1|+|PA|的最大值是 6+ ,最小值是 6- .2 26
12、【答案】6 + 6-2 2三、解答题17.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点( -2,0)且斜率为 k 的直线与 C 交于 M,N 两点 .(1)求 k 的取值范围;(2)若 k= ,求 的值 .23【解析】(1)设直线方程为 y=k(x+2),代入 y2=4x,得 ky2-4y+8k=0,则 = 16-32k20 且 k0,所以 k 的取值范围为 .(- 22,0) (0, 22)(2)当 k= 时,直线方程为 y= (x+2),设 M(x1,y1),N(x2,y2),23 23由 得 或2=4,=23(+2), 1=1,1=2 2=4,2=4,即 M(1,2),N(4,4).又
13、F(1,0),所以 =(0,2)(3,4)=8.18.已知点 P ,F1 (-2,0),F2 (2,0).(52,-32)(1)求以 F1,F2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;(2)求以 F1,F2为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程 .【解析】(1)由于椭圆焦点在 x 轴上,故可设所求椭圆的标准方程为 + =1(ab0),2222由椭圆的定义知,2a= + = + =2 .(52+2)2+(-32)2 (52-2)2+(-32)23210121010a 2=10,又 c= 2,b 2=a2-c2=10-4=6, 椭圆的标准方程为 + =1.21026(2)由于双曲线焦点在 x 轴上,故可
14、设所求双曲线的标准方程为 - =1(a10,b10),由221221双曲线的定义知,2a1= - = - = ,(52+2)2+(-32)2 (52-2)2+(-32)23210121010 = , = - =4- = ,21522121215232故所求双曲线的标准方程为 - =1.225 223719.如图,已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点2222 22F1、 F2为顶点的三角形的周长为 4( +1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双2曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A,B 和 C,D.(1)求椭
15、圆和双曲线的标准方程;(2)设直线 PF1,PF2的斜率分别为 k1,k2,求证: k1k2=1.【解析】(1)设椭圆的焦半距为 c,由题意知 = ,2a+2c=4( +1),得 a=2 ,c=2. 22 2 2又 a2=b2+c2,所以 b=2.故椭圆的标准方程为 + =1.2824由题意,设等轴双曲线的标准方程为 - =1(m0).2222因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 m=2.故双曲线的标准方程为 - =1.2424(2)设点 P(x0,y0),则 k1= ,k2= .00+200-2因为点 P 在双曲线 x2-y2=4 上,所以 - =4.2020故 k1k2= = =1,即
16、k1k2=1.00+200-22020-420.设直线 l 过双曲线 x2- =1 的一个焦点,交双曲线于 A,B 两点, O 为坐标原点,23若 =0,求 |AB|的值 .【解析】设直线 AB 过右焦点 F(2,0),其斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x-2).代入双曲线方程,得(3 -k2)x2+4k2x-4k2-3=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,422-342+32-3从而 y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2(x1+x2)+4=k2 =- .(42+32-3-822-3+4)922-38 =0,x 1x2
17、+y1y2=0, - =0,解得 k2= ,42+32-3922-3 35此时 = 16k4+4(3-k2)(4k2+3)0,x 1+x2=-1,x1x2=- .94又当 AB x 轴时,点 A(2,3),B(2,-3)不满足条件,|AB|= =4.1+2 (1+2)2-41221.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1),点 B 在直线 l1:y=-1 上,点 M 满足 , = ,点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程 .(2)设直线 l2:y=kx+m 与曲线 C 有唯一公共点 P,且与直线 l1:y=-1 相交于点 Q,试探究在坐标平面内是否存在点 N,使得以 PQ
18、 为直径的圆恒过点 N.若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由 .【解析】(1)设点 M(x,y),由 ,得 B(x,-1), 点 A(0,1), =(-x,1-y), =(0,-1-y), =(x,-2). 由 = ,得( + ) =0, 即( -x,-2y)(x,-2)=0,化简得 x2=4y, 曲线 C 的方程为 x2=4y.(2)由曲线 C 关于 y 轴对称可知,若存在点 N,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N,则点 N 必在 y 轴上,设点 N(0,n),P ,(0,204)由直线 l2:y=kx+m 与曲线 C 有唯一公共点 P 知,联立方程 消去 y,得 x2-4kx-=
19、+,2=4, 4m=0 有唯一解 .则 = 16k2+16m=0,得 k2=-m. 直线 l2的方程为 y=kx-k2.又点 P 在直线 l2上, =kx0-k2,204 -4kx0+4k2=0, (x0-2k)2,k= x0.2012 直线 l2的方程为 y- = (x-x0),204029令 y=-1 得 x= , 点 Q ,202-20 (02-20,-1) = , = .(0,204-)(02-20,-1-) 点 N 在以 PQ 为直径的圆上, = -2-(1+n) =(1-n) +n2+n-2=0, (*)202 (204-) 204要使方程( *)对 x0恒成立,必须有 解得 n=
20、1,1-=0,2+-2=0, 在坐标平面内存在点 N,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N,其坐标为(0,1) .22.已知椭圆 + =1(ab0)的右焦点为 F,A 为短轴的一个端点,且 |OA|=|OF|= (其中 O 为2222 2坐标原点) .(1)求椭圆的方程 .(2)若 C,D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD CD,连接 CM 交椭圆于点 P,问: x轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP,MQ 的交点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由 .【解析】(1)由已知得 b=c= ,a 2=b2+c2=4,故所求椭圆方程为
21、+ =1.22422(2)由(1)知,点 C(-2,0),D(2,0),由题意可设直线 CM:y=k(x+2),P(x1,y1),M(2,4k).由 整理得(1 +2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,24+22=1,=(+2),方程显然有两个解, -2x1= ,得 x1= ,y1= ,所以点 P .设82-41+222-421+2241+22 (2-421+22,41+22)点 Q(x0,0)(x00),若存在满足题设的点 Q,则 MQ DP,由 =0,及 =(x0-2,-4k), = ,(2-421+22-2,41+22)整理可得 =0 恒成立,所以 x0=0.8201+22故存在定点
22、Q(0,0)满足题设要求 .1023. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,直线 y=x 被椭圆 C 截2222 32得的线段长为 .4105(1)求椭圆 C 的方程;(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点( A,B 不是椭圆 C 的顶点) . 点 D 在椭圆 C 上,且AD AB,直线 BD 与 x 轴, y 轴分别交于 M,N 两点 . 设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明:存在常数 使得 k1=k 2,并求出 的值; 求 OMN 面积的最大值 .【解析】(1)由题意知 = ,可得 a2=4b2,2-2 32则椭圆 C 的方程可
23、简化为 x2+4y2=a2.将 y=x 代入可得 x= ,55因此 = ,可得 a=2,因此 b=1,2255 4105所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2) 设点 A(x1,y1)(x1y10), D(x2,y2),则 B(-x1,-y1).因为直线 AB 的斜率 kAB= ,11又 AB AD,所以直线 AD 的斜率 k=- .11设直线 AD 的方程为 y=kx+m,由题意知 k0, m0 .由 可得(1 +4k2)x2+8mkx+4m2-4=0.=+,24+2=1,所以 x1+x2=- ,81+42因此 y1+y2=k(x1+x2)+2m= .21+42由题意知 x1 -x2,
24、所以 k1= =- = .1+21+2 14141所以直线 BD 的方程为 y+y1= (x+x1).14111令 y=0,得 x=3x1,即点 M(3x1,0),可得 k2=- .121所以 k1=- k2,即 =- .12 12因此存在常数 =- 使得结论成立 .12 直线 BD 的方程为 y+y1= (x+x1),141令 x=0,得 y=- y1,34则点 N .(0,-341)由 知 M(3x1,0),可得 OMN 的面积S= 3|x1| |y1|= |x1|y1|.12 34 98因为 |x1|y1| + =1,214 21当且仅当 =|y1|= 时等号成立,此时 S 取得最大值 ,|1|2 22 98所以 OMN 面积的最大值为 .98
