1、第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系,平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。,本章研究问题：,(1)平面汇交力系的几何法与解析法,(2)平面力偶的基本特性,(3)平面力偶系的合成与平衡,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面汇交力系，三力平衡为其一。,力多边形与顺序无关，分力首尾相接为不封闭的力多边形；合力矢沿相反方向连接缺口，构成力多边形的封闭边。,几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。,多边形OABC称力多边形，可直接画出。,flash,合力作用于刚体与原力系等效,合力等于各力的矢量和：,如“共线”，则 大小、方向 取
2、决于各分力的代数和。,力多边形封闭,平衡,例：FLASH,F 为力矢的模，为与x轴正向的夹角。,2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,1. 力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式,矢量AB表示力F，ab为力F在x轴上的投影。以X表示，则：,同理：,X、Y是代数量，可正可负，取决于角。,在坐标轴方向的分力为：,写成矢量形式：,i,j为 x、y方向的单位矢量,力的大小：,方向余弦：,以上关系在正交轴系上成立,2.平面汇交力系合成的解析法,根据矢量运算可知：合矢量在轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。,FLASH,例：铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图。F1=100N，沿铅直方向
3、；F3=50N，沿水平方向，并通过点A；F2=50N，力的作用线也通过点A，尺寸如图。求此力系的合力。,本题用解析法,解：假设其合力用FR表示,FR,在两个坐标轴上投影代数和为0（坐标轴不一定正交，只是没有开根号关系） 。,3.平面汇交力系合成的平衡方程,平衡时，有：,是充分必要条件,可求两个未知数,例：已知P，求AB、BC杆所受的力。,解：,取B点为研究对象,画受力图，建坐标系,列平衡方程：,得：,可得：,例：求A、B处的约束反力。,BC为二力 杆，分析AC杆,解：,A为铰链约束,AC杆实际只受三个力，不平行三力平衡必然汇交：,负号说明FA方向设反了,例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在
4、支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。,解：,(1)取研究对象,AB、BC 都是二力杆，假设杆AB 受拉力，杆BC 受压力。,为求这两个力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来解决。,(2)取销钉B为研究对象,X=0,坐标轴尽量取在与未知力相垂直的方向，这样平衡方程中只有一个未知数，不必解联立方程。,(3)列平衡方程,选坐标轴如图。,(4)求解方程,由式(a)得：FAB=0.366P=7.321 kN,FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向相同，即
5、杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。,Y=0,由式(b)得：FBC=1.366P=27.32 kN,- FBA + F1 cos60 - F2 cos30 = 0 (a),FBC- F1 cos30 - F2 cos60 = 0 (b),例：不计杆重。D处受力G，求A、C处的约束反力。,FLASH,解：,画受力图,Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数,由几何关系：,2-3 平面上力对点的矩,FLASH,平面上作用一力F，在平面上取一点O为矩心，O到力作用线的距离H 叫力臂。,力对刚体的转动效应 用力对点的矩即力矩度量。,1.力对点的矩（力矩）,平面问题中力对点的矩定义：,力矩是一个代数量
6、，它的绝对值大小等于力与力臂的乘积。,符号规定：力使物体绕矩心逆时针转动为正，反之为负。,力矩记：,单 位：,以r表示A的矢径的大小，力矩是矢径和力的矢积,三角形OAB的两倍就等于F对O的矩。,指向符合右手法则,实际上，力矩是矢量。,两边以r作矢积：,矢积均垂直于平面，即均平行，矢量和可按代数和计算。矢积的大小就是对O的矩。所以 ：,平面汇交力系平衡时，合力为0：,表明可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡问题。,2. 合力矩定理,平面汇交力系的合力对任一点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。,flash,3.力矩与合力矩的解析表达式,X、Y为在轴上的投影，x、y为点A的坐标，均为代数量
7、，有正有负。,适用于有合力存在的任何力系（并非仅限汇交）,例：已知B点坐标（xB ,yB）、F、L和，求FD。,MA(Fi)=(xiYi-yiXi)=0,可得：,+F cos yB-F sin xB-FD l=0,(-xB F sin +yB Fcos) +(xD0-yD FD) +(0 FAy + 0 0),FD=(Fcos yB-Fsin xB)/l,实际计算：,+(0 0 + 0 FAx) =0,F,力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。,1. 力偶与力偶矩,大小相等，方向相反，不共线的一对力组成的力系为力偶。,记：（F，F）,d 为力偶臂，所在平面为力偶的作用面。,力和力偶是静力
8、学的两个基本要素,力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量。,可见与矩心位置无关。力和力偶臂的乘积就称为力偶矩。记：,或,2-4 平面力偶理论,力偶对物体作用的效应由两因素决定：,1：大小；2：转向。,平面内力偶矩是一个代数量，逆时转为正。,2. 同平面内力偶的等效定理,在同平面内的两力偶，如力偶矩相等，则两力偶等效。,推论1：力偶可在作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。,力偶对刚体的作用与它在平面内的位置无关。,推论2：力偶矩大小和力偶转向不变时，可同时改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,由于力偶矩是力偶作用的唯一度量，可简单标为：,改变力和力偶臂的大小而后移转如第
9、二图；第三图和第二图等效。是为合成为一合力偶。,3.平面力偶系的合成和平衡条件,(1)平面力偶系的合成,FLASH,在同平面内的力偶系可合成为一个力偶。合力偶矩等于各力偶矩的代数和：,(2)平面力偶系的平衡条件,平面力偶系的平衡条件（必要充分）各力偶矩的代数和为0。,例2-6：图示机构，不计自重，轮上的销子A在光滑导槽内。求作用于BC上的力偶矩和O、B处的约束反力。,解：,O、A处反力成一力偶与M1平衡,例： 简易吊架，G=1KN，求A、B处的约束反力。,FA、FBx及G、FBy各组成一对力偶，平衡。,M=0,G500FA400=0,FA=1.25 KN,FBy=G=1 KNFBx=FA=1.
10、25 KN,例：工件放在V形铁内，如图所示。若压板夹紧力F=400N，不记工件自重，求工件对V形铁的压力。,FNA,FNB,FNA,FNB,F,受力分析如图：,x,y,水平坐标系：,FNA,FNB,y,x,o,也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。,同样得：,FNA,FNB,F,例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。,解：注意 BC杆为二力杆,FRC,FRA,解得：,例：如图所示，两水池由闸门板分开，此板与水平面成60角，板长2m，板的上部沿水平线A-A与池壁铰接。左池面与A-
11、A线相齐，右池面无水。水压力垂直于板，合力FR作用于C点，大小为16.97KN。如不计板重，求能拉开闸门板的最小铅直力F。,解：闸门受力如图,基本要求：,(1)会用几何法和解析法求解力的合成与力的分解。,(2)熟练计算力在坐标轴上的投影。,(3)熟练利用平面汇交力系平衡的几何条件(力多边形封闭)和解析条件(平衡方程)求解平面汇交力系的平衡问题。,(4)掌握力对点的矩的计算方法。,(5)掌握力偶的性质。,(6)会用平面力偶系的平衡条件(平衡方程)求解其平衡问题。,重 点：,(1)计算力在坐标轴上的投影和力对点的矩。,(2)应用汇交力系平衡的几何条件和解析条件(平衡方程)求解平面汇交力系的平衡问题
12、。,(3)力偶的基本性质和平面力偶系平衡条件的应用。,难 点：,力偶的基本性质,小 结,1、力在坐标轴上的投影为：,2、平面内力的解析表达式：,式中为力 F 与 x 轴间的夹角，投影值为代数量。,3、求平面汇交力系的合力,(1)几何法求合力。根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：,合力作用线通过各力的汇交点,F=Xi+Yj,(2)解析法求合力。根据合力投影定理。利用各分力在两个正交轴上的投影的代数和，求得合力的大小和方向余弦为：,4、平面汇交力系的平衡条件,(1)平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。即：,(2)平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。,(3)平衡的解析条件
13、：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即：,由两个独立的平衡方程，可求得两个未知量。,6、力矩的解析表达式为：,其中x，y为力作用点的坐标，X、Y为力的投影。,8、力偶和力偶矩,力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即：,正负号表示力偶的转向，以逆时针转向为正、反之为负。,力偶在任一轴上的投影等于零，它对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。,9、同平面内力偶的的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。,10、平面力偶系的合成与平衡,同平面内几个力偶可以合成为一个和力偶。合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即：,平面力偶系的平衡条件为：,力偶矩是力偶作用的唯一度量,习题：2-3、2-4、2-9；2-12、2-14,习题：2-1、2-7、2-8,
