1、ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称 经济应用数学C课时 50+50=100 分钟 任课教师 李飞 专业与班级人力资源管理 B1601-02市场营销 B1601课型 新授课 课题 中心极限定理知识与技能掌握棣莫弗拉普拉斯中心极限定理和列维林德伯格中心极限定理(独立同分布中心极限定理 )的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率;过程与方法1.中心极限定理产生的历史背景。2.中心极限定理的提法.3.林德伯格-勒维中心极限定理4.隶莫弗拉普拉斯定理5.林德贝格中心极限定理6.李雅普诺夫中心极限定理7.中心极限定理在管理中的应用学
2、习目标情感态度与价值观1.培养学生能够自觉地用极限定理的视角观察生活，将统计方法用于分析和探讨生活中的实际问题，提高认知能力和水平.2.中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计2极限定理的名称3.让学生懂得，量变与质变的辩证关系。.教学内容1.中心极限定理产生的历史背景。2.中心极限定理的提法.3.林德伯格-勒维中心极限定理4.隶莫弗拉普拉斯定理5.林德贝格中心极限定理6.李雅普诺夫中心极限定理7.中心极限定理在管理中的应用教学重点1.隶莫弗
3、拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理;教学分析教学难点1.隶莫弗拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理;ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计3课堂教学设计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用
4、，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值教学方法与策略板书设计教学进程教学意图 教学内容 教学环节1.极大似然估计的原理与思想（10 分钟）ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计4概率统计学是一门研究随机现象统计规律性 1的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算 2极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和
5、泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的中心极限定理就是从数学上证明了这一现象最早的中心极限定理是讨论 n 重伯努利试验中，某事件A 出现的次数渐近于正态分布的问题 1716 年前后，棣莫佛对 n 重伯努利试验中每次试验事件 A 出现的概率为 1/2 的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李
6、亚普诺夫等进行了推广和改进自莱维在 1919-1925 年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展同时新的极限理论问题也在实时间：10 分钟中心极限定理的名称最早是由仆里耶(1920 年)提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年1894 年)提出来的下面我们介绍四个主要定理:1)林德伯格一勒维定理 2)棣莫弗一拉普拉斯定理
7、 2)林德ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计5中心极限定理的提法际中不断产生这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观在许多情形下，一随机变量 可以表示为或近似X地表示为大量独立随机变量之和，(a)12nX这里，每个 直观上表示一种随机因素
8、的效应，i假如式(a)包含了决定 的充分多的随机因素的效应 (即充分大) ，则 的分布就近似于 X 的分布中心n1ni极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布n的伯格定理 3)李雅普诺夫定理其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计6ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计7累计 10 分钟中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项 上的条件不12,同独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限
9、定理最简单又最常用(特别在数理统计中 )的一种形式，通常称做林德伯格- 勒维定理历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分) 定理是它的特殊情形设 的方差 ，大于 ，令(1,2)kD0时间:5 分钟用足球比赛事件引入达到以下目的：吸引学生ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计8引入中心极限定理的基本思想累计 20 分钟2221,nkkkaEbDBb（1）我们说，随机变数列 服从中心极限定理，如k果关于 均匀的有1xR211lim().tn xknPaxedB（2）(2)表示：随机变量数 的分布函1()nkaB数关于 均匀的趋于正态分布 的分布函数x0,N注意力，使学生尽
10、快进入上课状态；帮助学生深入浅出的理解极大似然估计的基本思想.教学意图 教学内容 教学环节独立同分布的两个定理：林德伯格-勒维中心极限定理设 相互独立，服从同一分布，具12,nx有数学期望和方差： 记2(),()0.iiExVarx时间 20 分钟提问：如何度量样本值出现的可能性？ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计9林德伯格-勒维中心12.nnXY则对任意实数 ，有y21lim()(.tynnpYyed（3）证明 为证（1）式，只须证 的分布函数列*nY若收敛于标准正态分布又由定理 43 4 3，只须证的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函*nY数为此设 的特征函数为 ，
11、则 的特征nX()t*nY函数为*()nnYtt又因为 ，所以2()0,()nnEXVarX有， ()2(0)于是特征函数 有展开式()tADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计102()0()0()ttt221()t从而有，2*2lim()li1()n ntYttt e而 正是 分布的特征函数，定理得证2te(0,)N例 1 某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为的泊松分布若一年 365 天都经营汽车销售,且每2天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出 700 辆以上汽车的概率解:设 某汽车销售点每天出售的汽车辆数,则x,为一年的总销量由12365Y,知()()iiEVar
12、利用林德贝格-勒70维中心极限定理可得, 730(70)1()1()1()0.865PYPY这表明一年中售出 700 辆以上汽车的概率为08665ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计11ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计12累计 40 分钟隶莫弗拉普拉斯定理（10 分钟）教学意图 教学内容 教学环节隶莫弗在 n 重贝努里试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p（0p1） ， 为 n 次试验中事件 A 出现的次数，且记npYq且对任意实数 ，有y21lim()(.tynnpYyed此定理由定理 1 马上就得出，也就是说定理 2 是定理 1 的推论例
13、 2 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占 20,以 表示在随意抽查的 100 个索赔x时间 10 分钟主要依据上边的例题，归纳总结离散型总体下似然函数的构建.ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计13拉普拉斯定理户中因被盗向保险公司索赔的户数(1)写出 的分布列;x(2)求被盗户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值解:(1) 服从 的二项分布x10,.2np,即(102)b10().28,2,kknpxkn(2)利用隶莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有30.51.213.50.2(1430)(1.5.)()()88pxpx(2.65)(1.2)(.65
14、)1(.625)0.91.40.937这表明被盗户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值为 09437 ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计14累计 50 分钟课间休息 10 分钟3. 极大似然估计法应用（15 分钟）教学意图 教学内容 教学环节林德贝格中心极限定理对于独立同分布随机变量序列 只要它们12,的方差有穷，中心极限定理就成立而在实际问题中说诸 具有独立性是常见的，但是很难说诸 是“同ii分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差 的产nY生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即 则 间具有独立性，但不一定同分布，1niYi所以我们有必要讨论独立
15、不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件林德伯格(Lideberg)于 1922 年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件时间 5 分钟通过指数分布(连续型) 参数的极大似然估计，进一步巩固极大似然估计ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计15231 林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列 满足林德贝格条件，nX则对任意的 ，有x211lim().tn xiiniPXxedB为证此，先证下列三个不等式：对任意实数 ，a有； 1iae(4)21!iae(5)213!iaae(6)实际上，对 上三式明显设 ，则0a0a；
16、 01iaixed；2001(1)!aaiaixeedx的方法与步骤，同时体现极大似然估计法在工作生活中有着很广泛、很重要的应用.ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计16201(1)aiaixeed200!3aaixxe利用 ，可见（4） （5 ） （6）方cosiniae都是 的偶函数，故他们对 也成立0aADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计17累计 15 分钟李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列 ，存在常数 ，k0使当 时有n（25）2210nkEaB则（2）对 均匀的成立x证只要验证林德贝格条件满足，由（25 ）221()
17、(knnkxaBdFx221()()knnkkxaBn dFxB2210,()nkEanB例 3 一份考卷由 99 个题目组成,并按由易到难顺序排列某学生答对第 1 题的概率为 099;答对第 2 题的概率为 098; 一般地，他答对第 题的概率为i加入该学生回答各题目是相互独1,2,i立的，并且要正确回答其中 60 个题目以上（包括 60 个）时间 15 分钟ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计18才算通过考试试计算该学生通过考试的可能性多大？解 设 .01题， 若 学 生 答 错 第 题 ；， 若 学 生 答 对 第 iXi于是 相互独立，且服从不同的二点分布：i(1)
18、10,()10,ii iipXpXp,29A而我们要求的是91(60)iipX为使用中心极限定理，我们可以设想从 开10X始的随机变量都与 同分布且相互独立下面我们9X用 来验证随机变量序列 满足李雅普诺夫条1n件（25 ） ，因为11()(),()nniiiiBVarXpn，ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计19，3 3()(1)()(1)iiiiiiiiEXppp于是312311()0()niini iiEXpBp，()n即 满足李雅普诺夫条件（25） ，所以可以使nX用中心极限定理又因为 999111()()49.50iii iEXp99211()()16.50ii
19、 iiBVarX所以该学生通过考试的可能性为9911 4.5609.(60)1iiii XpXpADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计201(2.573)0.由此看出：此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计21累计 30 分钟中心极限定理在商业管理中的应用（20 分钟）教学意图 教学环节水房拥挤问题假设某高校有学生 5000 人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有 1的时间要占用一个水
20、龙头，现有水龙头数量为 45 个，现在总务处遇到的问题是：（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）需至少要装多少个水龙头，才能以 95以上的概率保证不拥挤？解：（1）设同一时刻， 5000 个学生中占用水龙头的人数为 ，则XB（5000，001）X拥挤的概率是45500(45)1(0)1.1.9kkkppC直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛-拉普拉斯定时间 10 分钟提问，请学生思考.ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计22理已知 n=5000,p=001，q=099，.047,5npq故 .238901.7.04.7504.75)40( P从而 怪不得(5)10.23
21、89.61p同学们有不少的抱怨拥挤的概率竟达到 7611%（2）欲求 m，使得 95.0)40(P即 95.04.704.75m由于 09.704.75即 95.04.7m查标准正态分布表，得 65.104.7即 6.1mADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计23故需要装 62 个水龙头问题的变形：（3）需至少安装多少个水龙头，才能以 99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求 m，使得 9.0)450(P即 9.04.704.7m由于 7609.704.75即 9.04.75m查标准正态分布表，得 325.04.7即 4.6m故需要装 67 个水龙头（4）若条件中已有水龙头数量改
22、为 55 个，其余的条件不变,1,2 两问题结果如何？解：（1）ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计2450()1()1(.7)0.23897.4p（2） 同上（5）若条件中的每个学生占用由 1%提高到15%，其余的条件不变，则（ 1） ， （2）两问题结果如何?解：(1) 设同一时刻，5000 个学生中占用水龙头的人数为 ，则XB（5000，0015 ） ，已知 n=5000,p=0015，q=0 985，.68,75npq拥挤的概率是 .149.3160.87541)5( P拥挤的概率竟达到 100%(2) 欲求 m，使得 95.0)40(P即 95.06.8760.8
23、5m由于 06.875即 ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计2595.06.87m查标准正态分布表，得 645.10.87m即 .9故需要装 90 个水龙头ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计26ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计27累计 40 分钟盈利问题盈利问题 5：假设一家保险公司有 10000 个人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0006，死亡时，家属可向保险公司领得1000 元，问（1）保险公司亏本的概率有多少？（2）保险公司一年的利润不少于 40000 元，60000元，80000 元
24、的概率各为多少？解： 设 为一年内死亡的人数，则X，即)06.1,(BX由德莫佛拉普拉斯中心极限定理(1)时间 10 分钟ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计28累计 50 分钟 7809.0)7.(1（2）设 分别表示一年的利润不少于123,A40000 元， 60000 元，80000 元的事件，则1()80pX 94.06194.60P52.).2(2()60pAX 94.061094.061P5.)(340pAX 94.061049.61P048.)5.2(ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计29教学意图 教学环节本次课小结时间 1 分钟回顾总结
25、时间 20 分钟根据本节讲授内容，给出一些思考拓展的问题.拓展设问来加深学生对本节内容的印象，进一步思考并引导学生对下节课要解决的问题进行思考.作业布置：1.复读课本第 151 至第 157 页；2.完成书面作业：第 160 页第 11-12 题3.预习课本第 162 页至 175 页.要求学生认真完成作业.ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计30累计 50 分钟教学评价本节从独随机变量之和的极限分布为正态分布的定理引入了中心极限定理的内容，可分为分独立同分布和不同分布两种情况下讨论随机变量的分布趋于正态分布的情况由于极限定理的研究直接联系到大n 场合的二项分布的计算，所以我们也通过一些例子来讨论二项分别的近似计算问题最后通过举出反例，以及在相同条件下比较大数定律与中心极限定理，说明了中心极限定理在近似计算中更精确至于中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称
