1、材料科学基础,Fundamentals of Materials Science 主讲教师：戎咏华 Email： 办公室：闵行材料楼501C 手机：13817568426 2014.9.9,绪论,“材料科学”的基本概念 材料的历史地位 “材料科学与工程”学科的建立 “材料科学与工程”的内容本课程的教学安排,“材料科学”的基本概念,材料：产生用途和价值而使用和制造的物质。材料科学的内容：研究材料的成分、制备（加工）工艺、组织结构与材料的性能之间的相互关系的科学。材料科学的目的：建立各种材料（包括金属、陶瓷、高分子材料）的微观结构和宏观规律在共同的理论基础上，用于指导材料的研究、开发、生产和应用。
2、它涵盖了材料科学和材料工程两方面的基础理论。,材料的历史地位,人类社会发展的历史阶段常常用当时主要使用的材料来划分，材料是时代进步的标志。从古代到现代人类使用材料的历史共经历了六个时代，各时代的粗略开始时间： 石器时代（公元前10万年） 青铜器时代（公元前3000年） 铁器时代（公元前1000年） 水泥时代（公元0年） 钢时代（1800年） 硅时代（1950年至今）,材料科学与工程学科的建立,受1957年苏联人造卫星上天（半年后美国人造卫星也跃空巡视宇宙）的刺激，1959年美国成立委员会研究材料学科的设置。以MIT的Morris Cohen为主席的委员会认为，按材料需要的发展，应将当时冶金学科
3、、陶瓷学科和高分子材料学科合并为材料科学与工程学科。,材料科学与工程学科的建立,20世纪60年代至90年代，美国多数拥有上列学科的学校，以设立冶金及材料学系为过渡，相继设立材料科学与工程系、材料工程系或材料科学系，其内容无甚差别。我国在80年代首先在上海交通大学和浙江大学试点成立材料科学与工程系。,材料科学与工程学科的建立,表1 经典学科和新拓学科一览,材料科学与材料工程的关系,一般来讲，科学是研究“为什么”的学问，而工程是解决“怎么做”的学问。材料科学的任务是理解材料性能与成分、工艺和微观组织之间的关系（材料科学家），材料工程的任务运用材料科学的理论来制造出高性能的材料（工程师）。,材料科学
4、与材料工程的关系,材料科学 ：它从事材料本质的实验揭示、理论分析方面的研究，以解释或预测材料微观结构（点阵结构和组织形态）与性能之间的关系。它包括下面的四个环节，微观组织的设计和控制将取代传统“炒菜”方式，这是当前研究新材料的发展方向。,材料科学与工程学科的内容,Cohen, Flemings, R. Cahn 师昌绪图1 材料科学与工程学科内容示意图,材料科学与工程学科的内容,如何将繁多的研究领域归纳成几个方向，当可各抒己见。徐祖耀院士认为英国牛津大学材料系归纳得较为简明正确，他们将材料学科的内容归纳成：加工（processing）；表征（characterization）；性质（prope
5、rty）；理论和建模（theory and modeling）。,材料科学与工程学科的内容,“炒菜” 仍然是我国研究新材料、新钢种的主要研究方法；近年来， 如何缩短研究周期是国内外学者关注的问题。所谓“材料基因工程”的提出，就是为了从根本上解决该问题。根据性能的要求，通过微观组织的设计来确定成分和工艺，这样显著缩短了新材料的 研究周期。例如：我们承接宝钢的TRIP800和TRIP1000钢的研发。,满足TRIP800和TRIP1000性能要求可采用的微观组织： 800MPa：（35%贝氏体+NbC）保证强度， （55%铁素体+10残留奥氏体）保证塑性 1000MPa:（40%贝氏体+NbC+N
6、bMoC）保证强度， （50%铁素体+10残留奥氏体）保证塑性工艺： TRIP工艺：两相区等温+贝氏体区等温+水冷 成分：Fe-0.2C-1.5Mn-1.5Si-0.04Nb+(0.13Mo)成功开发出TRIP2钢，其抗拉强度达到863MPa；TRIP3和TRIP4钢，其抗拉强度分别达到930MPa和1010MPa，延伸率均保持在20以上，其中含Nb、Mo复合微合金化的超高强度冷轧TRIP钢的研究尚未见报道。,成分设计,四种新型TRIP钢的化学成分 （wt）,热处理工艺制定,均匀化退火温度的选择,Fe-C-1.49Mn-1.56Si-0.044Nb,Fe-0.17C-1.56Si-1.49Mn
7、-Nb,析出温度为1222,热处理工艺制定,1230 均匀化退火时间的确定,保温时间12小时,热处理工艺制定,两相区退火温度的选择,新熔炼TRIP钢性能测试X.D. Wang, B.X. Huang, L.Wang and Y.H. Rong. The design and characterization of microalloying high-strength TRIP steels. Metallur. & Mater。 Trans。 A，39（2008）17,热处理工艺不同：TRIP1：12001小时， TRIP2： 1200/1230 1小时TRIP3，4：1230 1小时 后续
8、工艺相同：800 70s，400 200s,微观组织分析,TRIP2钢,12001小时,12301小时,微观组织分析,TRIP3钢：,微观组织分析,微观组织分析,微观组织分析,TRIP4钢：,微观组织分析,X. D. Wang, B. X. Huang, Y. H. Rong, L. Wang. Microstructures and stability of retained austenite in TRIP steels. Material Science and Engineering A, 438-440(2006)300-305,功能材料的设计,功能材料的设计,准同型相界的概念最早
9、是在20世纪50年代在研究锆钛酸铅（PZT）体系材料的相图时被提出，描述的是固熔压电体系的两个铁电相之间的相界。进而人们发现当把材料的成分控制在准同型相界附近时，可以得到异常高的压电性能。这是由于不同的铁电相的自发极化（铁电材料的序参量）的取向和大小不同，而在相界处，两个相态的自由能大小相同，此时任何外加的压力都可以改变两个状态的自由能，使得材料倾向于向能量更低的状态改变（自发极化也随之变化），如果这个外加的力是交流压力信号，那么材料的自发极化就会在两个相的状态间反复转化，从而给出大的压电效应。,功能材料的设计,由于压电材料在传感器，激发器等众多领域内的广泛应用，铁电体系中的准同型相界已经作为
10、应用物理中的热点问题长达半个世纪。然而，准同型相界是否同样的存在于形状记忆合金和磁致伸缩材料中却一直没有人给出答案。从几大类智能材料（形状记忆合金、压电材料和磁致伸缩材料）的基于序参量的热力学形式的平行性出发，西安交通大学任晓兵教授的研究小组预测在形状记忆合金体系与磁致伸缩材料体系中也应该存在准同型相界，并且通过实验证实了它们的存在。,功能材料的设计,形状记忆合金体系与磁致伸缩材料体系中的准同型相界的发现，为三类材料的准同型相界的对比提供了依据，通过比较，它们显示出了惊人的相似性，如图2.11所示。这三种现象的基本特征：（1）从相图上看，都是二元固熔体系，有共同的母相结构和不同的铁性相结构，铁
11、性相之间即是准同型相界；（2）从性能上看，处于准同型相界的成分，与远离相界的成分相比，表现出异常高的交流传感信号。从序参量层次对该类现象的解释（如图示）为，三相点（相图中母相与两个铁性相的交叉点）的存在使得准同型相界两侧的相态的自由能差较小，于是处在准同型相界的成分，其状态是两个铁性相的共存态，施加的外力可以容易的将其状态由某一铁性相改变至另一铁性相，这种不同相态间的转变最终给出可以应用的高传感效应。,功能材料的设计,图 三类智能材料的几大统一物理问题,课程内容的选择和讲述方法,由于学时的限制，故只讲金属部分，因为其理论较陶瓷和高分子研究更充分；结构材料的理论基础；选择“材料科学基础”本科教材
12、的重要基础理论，增加当前有关理论的发展，注重材料组织的表征方法，这样有利于硕士和博士学位论文的研究。物理概念-数学建模-理论假设-应用的局限性（条件）,第一章 晶体结构,晶体学研究的历史简介1669年，丹麦的斯丹诺（N.Steno）发现晶体的面角守恒定律，也称Steno定律；1801年，法国的阿羽依（R.J. Hauy)发现了晶体的晶面整数定理。1809年，德国的外斯（C.S.Weiss)总结出晶体的对称定理和晶带定理。1830年，德国的黑萨尔（J.F.C.Hessel）推导出描述晶体外形对称性的32点群。,1839年 ，Miller用来自矿物晶体轴上截取晶面的数字来定义任意晶面的位置，这就是
13、米勒指数。1848年，法国的布拉维（A. Bravias）推导出14种点阵，现称布拉维点阵。1885-1890年间，俄国的费德罗夫（E. S. Fedorov）和德国的熊夫利斯（A. M. Schonflies）和英国的巴洛（W. Barlow）推导出描述晶体对称性的230种空间群。1912年，德国的劳厄（M.von Laue）发现了X射线在晶体中的衍射现象，这是一个具有划时代的意义的实验，开创了现代晶体学。1913年，布拉格（W. H. Bragg）和其子（W. L. Bragg)引进分光电离室衍射方法，既可测定晶体结构又可测定X射线的波长。,一、晶体学基础 晶体结构的基本特征：原子（或分子
14、、离子）在三维空间 呈规则和周期性重复排列（periodic repeated array） ， 即存在长程有序（long-range order） 对称性平移性性能上两大特点： 固定的熔点（melting point）, 各向异性（anisotropy）,1.晶胞、晶系和 点阵,晶胞： 代表性的基本单元，晶体平移性所允许的。,选取晶胞的原则：,)选取的平行六面体应反映晶体的最高对称性；）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；）当平行六面体的棱角存在直角时，直角的数目应最多；）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。,点阵将晶体中原子或分子抽象为纯几何点（阵点 lattice point），即可得
15、到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列空间点阵（space lattice）特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境(surrounding),简单晶胞（初基晶胞）：只有在平行六面体每个顶角上有一阵点复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点,七大晶系通过“有心化”获得的14个布拉菲点阵,“有心化”的条件1、有心化后不能够改变初基点阵（晶系）的对称性2、有心化的点阵必须是原未有的新点阵,例如四方晶系晶胞的有心化：,（a）底心有心化后为简单四方，不是新点阵（b）体心有心化后为体心四方，是新点阵（c）面有心化后为体心四方，不是新点阵体心：I表示，面心：F表示，底心：C（A或
16、B）,4. 晶体结构与空间点阵的关系,空间点阵只有14种，但结构基元可由原子、离子和分子组成，其是无限的，因此晶体结构是无限的。上面表达式中的“”在数学上实际为卷积的关系。,晶体结构与空间点阵的关系：,晶体结构空间点阵结构基元,2. 晶向指数和晶面指数（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes）,A）阵点坐标,求法：1） 确定坐标系2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行；3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z）4） 将此值化成最小整数比u，v，w并加以方括号u v w即是。（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
17、,B）晶向指数（Direction index）,在一个晶胞内标定各种晶向指数的方法：1、遇到指数中有负号，按对应坐标轴移动原点2、遇到坐标大于1的指数，各指数除以其中最大的指数，使其称为含有1和其它分数组成的指数，如2,1,0化为1,1/2,0,在立方晶系中，abc，因此uvw指数的互换仍属于同一个晶向族。在四方晶系中，ab c，因此uvw中只有uv两指数可互换，它们属于同一个晶向族。有时用uvw表示。在正交晶系中， a b c，因此uvw中任何指数的互换均不属于同一晶向族。,晶向族：具有等同性能的晶向集合,求法：1） 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标轴x，y，z2） 以
18、棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距；3） 取截距之倒数，并化为最小整数比的 h，k，l，并加以圆括号（h k l）即是。,C）.晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）,在一个晶胞中确定指数的方法：遇到负号移动坐标,晶面族hkl:具有同等性晶面的结合 在立方晶系中hkl三个指数可以任换 在四方晶系中hk两个指数可以任换,可以证明：在立方晶系中，与（hkl)晶面同指数的晶向uvw就是该晶面的法线方向，例如（111）晶面的法线方向就是111方向。,4.六方晶系指数（Indices of hexagonal crystal system orhex
19、agonal indices）,三坐标系 四轴坐标系a1，a2，c a1，a2，a3，c,120,120,120,“i”指数的限制条件：（h k i l ) i= -( h+k )晶向“数步法”的限制条件： u v t w t= -( u+v ),i= -( h+k )的证明（正弦定理）,上两式取倒数后左右两端分别相加，得：,所以六方晶面三指数到四指数转换： （hkl)(hkil) 其中i（hk）晶面指数标定的方法与前述的方法相同,六方晶系指数的标定,三指数四指数转换公式的推导,OP矢量在三坐标和四坐标中的表示如下：,U=u-tV=v-tW=w,举例：画出 晶向1、由四指数化为三指数：,5.晶
20、带（Crystal zone） 所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个 “晶带” 此直线称为晶带轴，所有的这些晶面的集合称为晶带或共带面。 晶带轴u v w与该晶带中的晶面（h k l）之间存在以下关系 hu kv lw0 晶带定律（Weiss 定律） 凡满足此关系的晶面都属于以u v w为晶带轴的晶带,则三个晶面同属一个晶带,求两个不平行晶面的晶带轴,已知两个不平行晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)由晶带定律得：三个未知数，两个方程有不定解。对uvw，我们只需知道三个指数的比例，用行列式表示 u:v:w=一种易记的方法：,6晶面间距（Interplanar crystal s
21、pacing）两相邻近平行晶面间的垂直距离晶面间距。从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所交截的距离即是dhkl,两边平方相加,由于直角坐标系方向余弦满足：,由上述推导可计算晶面间距公式为：,讨 论,1）米勒晶面指数要求化为互质整数比，例如不区分（100）和（200），（300）。，它强调什么？2）米勒晶面指数hkl强调什么？,米勒指数和干涉指数的概念,The construction for deriving Bragg equation,米勒指数和干涉指数的概念,where is incident angle or diffraction angle, here
22、 is defined as an angle between (hkl) plane and incident wave; n is diffraction order number and integers. If n=0, the diffraction is called zero order diffraction, indicating that incident wave is not reflected by the set of (hkl) planes, and forms transmitted wave. If n=1, the diffraction is calle
23、d the first order diffraction, indicating that incident wave is reflected by (hkl) plane, and forms first order diffracting wave. So does for ,米勒指数和干涉指数的概念,where . The above equations express such a physical sense: the n order diffraction of any (hkl) lattice planes is equivalent to the first order
24、diffraction of (nhnknl) planes. For example, the second order diffraction of (100) planes is equivalent to the first order diffraction of (200) planes.,米勒指数和干涉指数的概念,It is worthy to point out that (nh,nk,nl) planes are here named as interference planes which is distinguished from Miller index planes.
25、 For example, (100) planes in interference planes are different from (200), since the spacings or the normal direction of their planes are different, however, these planes in Miller index planes all belong to 100 plane family and are not discriminated. Another physical concept is that interference p
26、lanes may not correspond to a real interatomic plane. For example, in simple cubic lattice, no any lattice points (atoms, or molecules) exist in (200) planes. Based on the concept mentioned above, Bragg equation can be rewritten as a form of the first order diffraction:,小结：1、在上述推导中，没有对hkl作出任何限制，因此适于
27、各个晶系中任何晶面的晶面间距的计算。2、米勒晶面指数要求化为互质整数比，因此米勒指数强调的是一组平行的晶面的对称性，并且给出的是一组具有最大晶面间距的晶面指数。3、对于非初基点阵中的某些未约化晶面，如面心立方、体心立方的（200）、（220），(400).晶面是无法在米勒指数中体现出来，而这些晶面在晶体中确实存在，并且在X射线和衍射中均会出现，因此必须采用另一种表示法：干涉指数方法标定。4、干涉指数鉴别不同晶面的方法：晶面法向方向Nhkl相同，晶面间距dhkl相同为相同的晶面，否则为不同晶面，例如（100）和（200）以及（100）和 均属于不同的晶面。5、干涉晶面的晶面间距可直接用上述计算公
28、式计算，如立方晶系（200）的晶面间距为a/2。,二、极射投影 Stereographic projection,极射投影的目的：将晶体中的晶向和晶面在三维空间的分布变为二维平面的投影分布。将晶体放在一个球的球心上，晶体中的晶面和晶面法向（或晶向）将与这个球面相截，在该球面上显示该晶面迹线和晶向极点的分布，这个球称为参考球。乔治.乌尔夫（George V.Wulff）于1902年建立了极射投影和乌氏网。,极射投影原理,A、过球心并与AB垂直的平面，其在球面上形成一个与球直径相等的大圆，该大圆在投影面上的投影称为基圆。B、所有位于左半球面上的极点，它们极射投影后均落在基圆内。C、右半球上极点的投
29、影位于基圆外，由于晶向和晶面法线与球面的交点有两个，一个在左半球，另一个必在右半球。因此，只需将左半球所有极点进行投影就足够了。,乌氏网,乌氏网的构成如果把目测点放到赤道上，球面上的经线和纬线就构成了乌氏网。乌氏网的使用方法先将投影图画在透明纸上，其基园直径与所用乌氏网直径大小相等，然后将透明纸与乌氏网重合并用大头钉按在圆心上，通过转动透明纸，就可以测定投影面上任意两极点间的夹角。,注意：只有两极点位于乌氏网的经线或赤道上才能正确度量晶面、晶向间夹角（B和C极点间夹角为30度，A和B极点间夹角不可由两经线角度差读出）。,乌氏网的几种基本应用,1、确定极点所对应的晶带大圆,2、确定绕南北轴和东西
30、轴旋转后的极点分布,乌氏网的几种基本应用,标准投影：以某个晶面/投影面作出极射投影图。,标准投影图,标准投影图,六方晶系(0001),六方晶系0001,c/a=1.633,极图的绘制,假设参考球的半径为1，那么球面上的极点P点在投影面上可表示为：,课堂练习,1、从极图上确定立方晶系001晶带中的所有晶面2、从极图上确定立方晶系011晶带中的所有晶面,3 晶体对称性,3.1 对称元素及其对应操作的矩阵 在晶体的宏观对称中，只有以下8种基本的对称元素：旋转轴：1，2，3，4，6，反演中心：i（对称中心），镜面:m和旋转-反演: ，可用图4.30分别表示如下：,图4.30 点群中基本对称元素的示意图
31、,一、旋转轴,若以晶体结构中一固定直线作为旋转轴，整个晶体绕轴旋转2/n角度后能复原，则称此晶体具有n次旋转对称。n为旋转操作的次数，设2/n，称为基转角，则 n2/ 。当晶体绕晶体坐标系（Oxyz）的原点O顺时针旋转角n次后能复原时，上述操作也可看做原晶体坐标系统绕原点逆时针旋转角，此时得到一个新坐标系（Oxyz），则晶体中某固定点M的新坐标（xyz）参照旧坐标的表达式为,3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,图4.31 新旧坐标绕x轴旋转的对应关系,3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,当坐标系绕x轴逆时针旋转角时(见图4.31)，则变换矩阵为 (4.65) 若晶体点阵中的a轴定为x轴，且当a
32、轴分别为2、4、3、6次轴时，它们的旋转角分别为则相应的对称变换矩阵分别为180，90，120和60，则相应的对称变换矩阵依次为 (4.66),3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,二、 镜面,晶体内部每一点通过该晶体中的一个平面反映，在平面的另一侧等距离处都能找到相应的等同点，即图形互为镜像而又不能叠合（见图4.32），这种对称操作称为反映。施行对称操作的元素称为镜面，记为m。该对称操作有：m、m21（表示经二次反映后与未经对称操作一样），故阶次是2。,图4.32 具有镜面对称的图案,3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,当晶体点阵中垂直于a轴的bc面为镜面，则晶体点阵中某一点M的反映对称操作相
33、当于新旧坐标系中的a轴相互旋转了180而b、c轴保持不变，因此，对称变换矩阵为： 当bc面为镜面时的操作矩阵： (4.67),3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,当ab面为镜面时的操作矩阵： (4.68) 当ac面为镜面时的操作矩阵： (4.69),3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,三、反演,若通过晶体中心的任一直线上，离中心等距离处均能找到相应等同点，则晶体具有对称中心，称此对称操作为反演，记为“I” 。反演操作矩阵为 (4.70),3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,四、 反演轴（旋转-反演）,晶体绕某个固定轴 旋转角度后再经反演，晶体复原，称这种对称操作为旋转-反演，或称反演轴，也称非
34、普通旋转轴。在晶体中最容易混淆，它是一个基本对称元素，若a轴为 轴，其对称变换矩阵为 (4.71) 应该指出的是，在反演轴中， 中，在考虑了镜面、旋转和反演对称元素后，只有 是独立的，其余可由这些对称元素的组合而得到。,3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,综上所述，在晶体的宏观对称中，只有八种基本的对称元素。为了用图直观地表示出对称元素及其组合的含义，为此用简明的作图符号来表示是非常方便的。表4.14 列出对称元素的国际符号与其对应的作图符号。,表4.14 对称元素的国际符号与其对应的作图符,3.1 对称元素及其对应操作的矩阵,3.2 宏观对称元素的组合规律,一、旋转轴与旋转轴的组合 在任何两
35、个旋转轴的交点处可以找到一个或一个以上的新旋转轴，这个新旋转轴是派生出来的，故不是独立的。一个m次旋转轴与一个n次旋转轴相交时，则有n个m次旋转轴绕着n次旋转轴，并交于一点。同时也有m个n次旋转轴绕着m次轴，并交于一点。而且任意两个相邻旋转轴的交角服从欧拉定理，即： 或,式中、分别为A、B、C三个轴的旋转角， 为A、B轴的夹角。例如，若一个2次轴和一个3次轴垂直相交，则有3个2次轴同时与3次轴垂直相交，两个相邻2次轴的交角等于3次轴基转角的一半(60)，详见图4.33 图中大圆表示极射赤面投影面，空心小圆表示在投影面的上方（或下方），实心小圆表示在投影面的下方（或上方）：设三次轴为A轴(=12
36、0)，二次轴为B轴(=180)，派生出的二次轴为C轴( =180)，则 ，即相邻2次轴的交角为60，它是三次轴基转角的一半。,图4.33 二次轴与相垂直的3次轴的组合,3.2 宏观对称元素的组合规律,二、镜面与镜面的组合（万花筒定理）,两个对称面的交线必为一个旋转轴，其基转角为两个镜面交角的两倍，例如二个镜面以60相交，则镜面的交线必为一个旋转角，其基转角为二个镜面交角的2倍，即为120，故为3次轴，用图4.34表示如下：,图4.34 二个镜面的组合,3.2 宏观对称元素的组合规律,三、镜面和旋转轴的组合,一个镜面通过n次旋转轴则有n个对称面同时通过这n次轴，两相邻对称面交角应等于该旋转轴的基
37、转角的一半。例如一个镜面通过一个2次轴，则有2个镜面通过2次轴，两个镜面的夹角为2次轴基转角180的一半，即90 ，如下图4.35所示：,图4.35 镜面与二次轴的组合,3.2 宏观对称元素的组合规律,四、产生对称中心的组合,偶次轴和垂直于它的镜面组合，必产生一个对称中心(反演中心)，例如：一个2次轴与之垂直的镜面组合，则产生一个对称中心，如下图4.36所示：奇次反演轴必存在对称中心，例如3次反演轴必存在一个对称中心，如下图4.37所示：,图4.36 2次轴与垂直于它的镜面组合,图4.37 奇次反演轴必存在对称中心,3.2 宏观对称元素的组合规律,偶次反演轴不存在对称中心，例如垂直于纸面2次反
38、演轴（c轴），不存在对称中心，而是等价于垂直2次反演轴的镜面（纸面），如图4.38所示；同样，若2次反演轴为a轴（b轴），等价于垂直于a轴（b轴）的镜面。,图4.38 2次反演轴等价于垂直它的镜面,3.2 宏观对称元素的组合规律,五、偶次反演轴与垂直它的2次轴组合,偶次（n）反演轴与垂直它的2次轴组合，必产生n/2个垂直反演轴的2次轴和n/2个包含n次反演轴的镜面，例如一个4次反演轴和垂直于它的2次轴组合，必产生4/2=2个垂直反演轴的2次轴和2个包含反演轴的镜面，如图4.39所示：,图4.39 4次反演轴与2次旋转轴的组合,3.2 宏观对称元素的组合规律,课堂练习,1、画出3次反演轴的图像2
39、、画出3次轴+反演中心（i）的图像3、比较上述两图是否相同,答案,3次反演轴等价于3次轴+反演轴,点群的国际符号按一定的次序表示其中的各种对称元素，一般的情况下包括三位。每位代表与a,b,c三轴形成确定的方向。在某个方向上出现的旋转轴和反演轴是指与该方向平行。在某个方向上出现镜面是指与该方向垂直。当某个方向同时出现旋转轴(或反演轴)和镜面时，可将旋转轴或反演轴写在分子位置，而镜面写在分母位置，如2/m表示与2次轴垂直方向上有一个镜面。各晶系中与国际符号相应的方向列于表4.15中。,3.3 点群的推导和转换矩阵,表4.15 各晶系的国际符号中三位对称元素依次代表的方向,3.3 点群的推导和转换矩
40、阵,一、一个旋转轴或一个反演轴与反演中心的组合,例如：3i，如图4.40所示。,图4.40 3i的组合,例如：2+i ，如图4.41所示,图4.41 2i的组合,3.3 点群的推导和转换矩阵,例如： ，如图4.42所示,图4.42 的组合,3.3 点群的推导和转换矩阵,综合基于一个旋转轴(含反演轴)与反演中心的组合可共得13个点群，如表4.16所示。表中括号内产生的点群已存在，故不是新的点群。,表4.16 旋转轴(含反演轴)与反演中心的组合所得13个点群,3.3 点群的推导和转换矩阵,二、非平行旋转轴的组合,当普通轴与非普通轴组合时，必须遵守一个条件，即三个轴中一点要有两个非普通轴(组合定律1
41、)。在组合时，三个轴次上的符号可以相互对调。在这些组合得到的点群中，某些点群不含反演中心，将它们再与反演中心组合可产生新的点群。由此共产生19个点群，具体列于表4.17中。,3.3 点群的推导和转换矩阵,二、非平行旋转轴的组合,当普通轴与非普通轴组合时，必产生一个非普通轴，因此三个轴中必有两个非普通轴。在组合时，三个轴次上的符号可以相互对调。在这些组合得到的点群中，某些点群不含反演中心，将它们再与反演中心组合可产生新的点群。由此共产生19个点群，具体列于表4.17中。,3.3 点群的推导和转换矩阵,表4.17 基于非平行旋转轴组合成的19个点群,3.3点群的推导和转换矩阵,下面以表中第一行的点
42、群为例说明19个点群导出的过程。通过非平行（正交）的三个2次轴组合得到222点群，由2次轴与其分别垂直的二个2次反演轴组合得到 点群(写为2mm),由于偶次轴组合没有对称中心，故其再与反演中心组合得到2/m2/m2/m，具体如图4.43 所示如下：,222 2mm 2/m 2/m 2/m图4.43 222，2mm和 2/m2/m2/m三种点群的图示,3.3 点群的推导和转换矩阵,三、32点群的矩阵和极图表示,32个点群均有相应的转化矩阵。当点群中只包含一个对称元素时，则对称元素的坐标转换矩阵即为点群的转换矩阵；当点群是由两个或两个以上对称元素组合而成时，则把相应的转换矩阵相乘即得该点群的转换矩
43、阵。但必须指出，其中不包括由组合定律推演出来的对称元素的转换矩阵，因为它们不是独立的。表4.18列出了32个点群的转换矩阵：,3.3 点群的推导和转换矩阵,表4.18 32个点群的转换矩阵,3.3 点群的推导和转换矩阵,续表,续表,续表,续表,3.4空间群中的平移对称元素,描述晶体宏观对称性的32点群与晶体结构内部的平移对称性组合起来形成了描述晶体内部结构对称性的230空间群。由于点群中的各个对称元素必须通过或至少相交一点(点群中心)，此点必为固定的点，显然，只有当这些点群中心与同一晶系的布拉菲点阵的阵点重合时，空间点阵中的其它阵点才服从点群中的对称元素操作。因此，布拉菲点阵的每个阵点均可看做
44、点群中心。这样，置于某一特定空间点阵阵点上的结构基元必须具有该空间点阵所属晶系中的任一点群的对称性，否则，就不能自洽。,一、螺旋轴,一个n次螺旋轴，表示绕该轴旋转2/n角度后，再沿轴的方向平移T/n，则点阵复原，其中n为整数，T为沿轴方向的周期矢量。点阵也只有1，2，3，4，6次螺旋轴。当1次旋转轴与平移(T)组合时，旋转360后沿旋转轴平移一个周期(T)，由于1次旋转轴和平移(T)都是周期复原的主动作(1)，任何对称元素与主动作组合不会产生新的对称元素。当2次轴与平移组合时，即2次轴与平移(T/2)组成，记为21；2次轴与平移（T）组合，仍为2次轴，即222。同理，当3次轴与平移组合时，将产生对称元素:31(即沿3次轴平移1/3)，32(平移2/3)；333。,
