1、专题八思想方法,第三讲分类讨论思想,考点整合,分类讨论解决的主要问题,基础梳理,分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度,整合训练,1设常数a0，椭圆x2a2a2y20的长轴长是短轴长的2倍，则a等于() A2或B2C.D. (2)函数y 的值域是_,解析：(1)方程化为 y21，若焦点在x轴上，则有a2；若焦点在y轴上，则有2a1，a . 答案：(1)A(2)2,0,
2、2,分类讨论的多种类型,基础梳理,1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等 2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等 3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等,4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等 5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，
3、如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用,整合训练,2(1)已知正ABC的边长为3，到这个三角形的三个顶点距离都等于1的平面的个数是() A2 B3 C5 D8 (2)若loga 1，则a的取值范围是_,解析：(1)对三个顶点和平面的位置分类：在平面同一侧有2个，在平面的两则有6个 共有268个 答案：(1)D(2) (1，),高分突破,根据数学的概念分类讨论,设0x1，a0，且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小,思路点
4、拨：先利用0x1确定1x与1x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小 解析：0x1， 01x1,1x1,01x21. 当0a1时，loga(1x)0，loga(1x)0， 所以|loga(1x)|loga(1x)| loga(1x)loga(1x) loga(1x2)0；,当a1时，loga(1x)0，loga(1x)0.所以|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.由、可知，|loga(1x)|loga(1x)|.,跟踪训练,1(2009年北京理)若函数f(x) 则不等式|f(x)| 的解集为_,根据
5、运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论,在等差数列an中，a11，满足a2n2an，n1,2，(1)求数列an的通项公式；(2)记bn (p0)，求数列bn的前n项和Tn.,思路点拨：(1)由a2n2an，n1,2，求出公差d，即得an的通项公式 (2)先求bn的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项公式求Tn时要分类讨论 解析：(1)设等差数列an的公差为d， 由a2n2an得a22a12，所以da2a11. 又a2nanndann2an， 所以，ann.,(2)由bn 得bnnpn，所以Tnp2p23p3(n1)pn1npn.当p1时，Tn .当p1时
6、，pTnp22p3(n1)pnnpn1，(1p)Tnpp2p3pnnpn1，,跟踪训练,2(2009年山东卷理)若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_,解析：设函数yax(a0，且a1)和函数yxa，则函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0，且a1与函数yxa有两个交点，由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合，当a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是a1. 答案：a1,根据字母的取值情况分类讨论,已知函数f(x)x2eax，其中
7、a0，e为自然对数的底数 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值,思路点拨：(1)先对f(x)求导，再由f(x)在不同区间上的符号可讨论f(x)的单调性 (2)f(x)在0,1上的最大值在0,1上的端点处或极值点处取得，需讨论f(x)0的零点是否是在该区间上 解析：(1)f(x)x(ax2)eax. 当a0时，令f(x)0，得x0. 若x0，则f(x)0，从而f(x)在(0，)上单调递增； 若x0，则f(x)0，从而f(x)在(，0)上单调递减,当a0时，令f(x)0，得x(ax2)0，故x0或x .若x0，则f(x)0，从而f(x)在(，0)上单调递减；
8、若0x ，则f(x)0，从而f(x)在 上单调递增；若x ，则f(x)0，从而f(x)在 上单调递减(2)当a0时，f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)1.当2a0时，f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)ea.当a2时，f(x)在区间0,1上的最大值是f .综上所述，当a0时，f(x)max1；当2a0时，f(x)maxea；当a2时，f(x)max .,跟踪训练,3数列an的通项ann2cos2 sin2 ，其前n项和为Sn. (1)求Sn；(2)bn ，求数列bn的前n项和Tn.,根据图形位置或形状变动分类讨论,长方形ABCD中，|AB|4，|BC|8，在BC边上取一点P，使|BP
9、|t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q、R时，用t表示|QR|.,思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q、R的坐标，利用两点间的距离公式建模 解析：如图所示，,分别以BC、AB所在的边为x、y轴建立坐标系 kAP ， kQR . 又AP的中点的坐标为 ， QR所在的直线方程为y2 由于t的取值范围的不同会导致Q、R落在长方形ABCD的不同边上，故需分类讨论： 当|PD|AD|8时， 易知|PC| 4. 当0t8 时，Q、R两点分别在AB、CD上，对方程，分别令x0和x8，,Q、R两点分别在AB、AD上，对方程分别令x0和y4，,跟踪训练,4四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1113，求满足条件的平面M的个数,解析：4个顶点都在M同侧，则有： 14个(平面)； 距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有： 14个(平面)； 距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有： 112(平面)； 距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有： 112(平面)， 共有44121232个(平面),祝,您,学业有成,
