1、万有引力与航天 考点自清 一.万有引力定律1.宇宙间的一切物体都是相互吸引的,两个物体间的引力大小,跟它们的 成正比,跟它们的 成反比.2.公式: 其中G=6.6710-11 Nm2/kg2, 它是在牛顿发现万有引力定律一百年后英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的.,质量的乘积,距离的平方,3.适用条件:公式适用于质点间的相互作用,当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点,质量分布均匀的球体也可适用.r为两球心间的距离. 二.应用万有引力定律分析天体运动1.基本方法:把天体的运动看成匀速圆周运动,其所需的向心力由万有引力提供,即,2.天体质量M、密度的估算:若测出卫星绕天体做
2、匀速圆周运动的半径r和周期T.由其中r0为天体的半径,当卫星沿天体表面绕天体运动时,.,3.地球同步卫星只能在赤道 ,与地球自转具有相同的 ,相对地面静止,其环绕的高度是 的.,角速度和周期,正上方,一定,4.第一宇宙速度(环绕速度)v1= km/s,是人造地球卫星的 发射速度,也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的 环绕速度.第二宇宙速度(脱离速度)v2= km/s,是使物体挣脱地球引力束缚的 发射速度.第三宇宙速度(逃逸速度)v3= km/s,是使物体挣脱太阳束缚的发射速度.,7.9,最小,最大,11.2,最小,16.7,最小,2.三种宇宙速度均指的是发射速度,不能理解为 环绕速度. 3.第一
3、宇宙速度既是最小发射速度,又是卫星绕 地球做匀速圆周运动的最大速度.,特别提示： 1.应用时可根据具体情况选用适当的公式进行分析 或计算.,热点聚焦 热点一 万有引力定律的应用 1.解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引=mg即 整理得GM=gR2.(2)天体运动都可近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即F引=F向.一般有以下几种表述形式: ,2.天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T,轨道半径r.由万有引力等于向心力,即得出中心天体质量,若已知天体的半径R,则天体的密
4、度若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可 认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度 可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就 可估测出中心天体的密度. 特别提示 不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为从而得出GM=gR2(通常称为黄金代换),其中 M为该天体的质量,R为该天体的半径,g为相应天体 表面的重力加速度.,热点二 卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律及卫星的变轨问题 1.卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律(1)向心力和向心加速度:向心力是由万有引力充当的,即 再根据牛顿第二定律可得,随着轨道半径的增加,卫星的向心力和向心加速度都减小.(2)线速度v:由 随
5、着轨道半径的增加,卫星的线速度减小.,(3)角速度:由 随着 轨道半径的增加,做匀速圆周运动的卫星的角速度 减小. (4)周期T:由 随着轨道半径的增加,卫星的周期增大. 特别提示 上述讨论都是卫星做匀速圆周运动的情况,而非变 轨时的情况.,2.卫星的变轨问题卫星绕地球稳定运行时,万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力,由由此可知,轨道半径r越大,卫星的线速度v越小.当卫星由于某种原因速度v突然改变时,受到的万有引力 和需要的向心力 不再相等,卫星将偏离原轨道运动.当 时,卫星做近心运动,其轨道半径r变小,由于万有引力做正功,因而速度越来越大;反之,当 时,卫星做离心运动,其轨道半径r变大,由于
6、万有引力做负功,因而速度越来越小.,热点三 环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星 1.环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度 通常称为第一宇宙速度,它是地球周围所有卫星的最大环绕速度,是在地面上发射卫星的最小发射速度.不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度其大小随半径的增大而减小.但是,由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,所以将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大.,2.地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空.(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期.(3)地球同步卫星相对地面静止.(4)同步卫星的高度是一定的.,题型研究 题型1
7、 万有引力定律在天体运动中的应用已知一名宇航员到达一个星球,在该星球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G1,在两极用弹簧秤测量该物体的重力为G2,经测量该星球的半径为R,物体的质量为m.求:(1)该星球的质量.(2)该星球的自转角速度的大小.物体在赤道上的重力与两极的重力不相等,为什么?万有引力与重力有什么关系?,思路点拨,解析 (1)设星球的质量为M,物体在两极的重力等 于万有引力,即 解得 (2)设星球的自转角速度为,在星球的赤道上万 有引力和重力的合力提供向心力 由以上两式解得 答案,变式练习1 已知万有引力常量G,地球半径R,月球 和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球 绕地
8、球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面 的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估 算地球质量M的方法:同步卫星绕地心做圆周运动, 由 (1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不 正确,请给出正确的解法和结果. (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方 法并解得结果.,解析 (1)上面结果是错误的,地球的半径R在计算 过程中不能忽略. 正确的解法和结果: 得 (2)解法一 在地面物体所受的万有引力近似等于 重力,由 解得 解法二 对月球绕地球做圆周运动, 得 答案 见解析,题型2 卫星的v、T、a向与轨道半径r的关系及应用如图1所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人
9、造卫星,它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是( )A.a、b的线速度大小之比是 1B.a、b的周期之比是12 C.a、b的角速度大小之比是3 4D.a、b的向心加速度大小之比是94,图1,(1)谁提供a、b两颗卫星的向心力? (2)向心力公式有哪些选择?,思路点拨,解析 两卫星均做匀速圆周运动,F万=F向,向心力 选不同的表达形式分别分析.由 得A错误;由 得 B错误;由 得C正确;由 得 D正确. 答案 CD,方法提炼 应用万有引力定律分析天体(包括卫星)运动的基 本方法: 把天体的运动看成是匀速圆周运动,所需向心力由 万有引力提供. m(2f)2r 有时需要结
10、合 应用时可根据实际情况 选用适当的公式,进行分析和计算.,变式练习2 如图2所示,a、b、c是在 地球大气层外圆形轨道上运行的3颗 人造卫星,下列说法正确的是( ) A.b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度 B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度 C.c加速可追上同一轨道上的b,b减速可等候同一轨道上的c D.a卫星由于某种原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将变大 解析 因为b、c在同一轨道上运行,故其线速度大小、 加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a轨道半径,图2,由 知vb=vcva,故A选项错.由加速度 可知 ab=acaa,故B选项错.当c加速时,c受的万有引力
11、故它将偏离原轨道,做离心运动;当b减速时,b受到的万有引力 它将偏离原轨道,而离圆心越来越近. 所以无论如何c也追不上b,b也等不到c,故C选项错.对 这一选项,不能用 来分析b、c轨道半径的变 化情况.对a卫星,当它的轨道半径缓慢减小时,在转动一段较短时间内,可近似认为它的轨道半径未变,视作 稳定运行,由 知,r减小时v逐渐增大,故D选 项正确. 答案 D,题型3 卫星变轨问题我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图,如图3所示,卫星由地面发射后,经发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,经过几次制动后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量
12、之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道半径之比为b,卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则( ),图3,A.卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为 B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为 C.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 D.卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道,卫星必须加速 由万有引力提供向心力可以判断不同轨 道的速度、周期之间的关系.卫星轨道变大时,周期 变大,速度(动能)减小,但机械能增大,即需要加速.,思路点拨,解析 由 A正确;B错; 第一宇宙速度是卫星轨道半径等于地球半径时的环绕速度,由于r泊R,由 知,在停泊轨道的卫 星速度小于地球的第一宇宙速度,
13、C错;卫星在停泊 轨道上运行时,万有引力提供向心力即 只有卫星所需的向心力大于地球对它的万有引力, 即 时,卫星做离心运动,才能进入地 月转移轨道.因此,卫星必须加速,D正确. 答案 AD,规律总结 卫星的速度增大,应做离心运动,要克服万有引力 做负功,其动能要减小,速度也减小,所以稳定后速 度减小与卫星原来速度增大并不矛盾,这正是能量 守恒定律的具体体现.,变式练习3 如图4所示,假设月球半 径为R,月球表面的重力加速度为g0, 飞船在距月球表面高度为3R的圆形 轨道运动,到达轨道的A点时点火 变轨进入椭圆轨道,到达轨道的近 月点B再次点火进入月球近月轨道绕月球做圆周 运动.求: (1)飞船
14、在轨道上的运行速率. (2)飞船在A点处点火时,动能如何变化? (3)飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间.,图4,解析 (1)设月球的质量为M,飞船的质量为m,则解得 (2)动能减小. (3)设飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间为T,则 故 答案,题型4 万有引力定律与抛体运动的结合在太阳系中有一颗行星的半径为R,若在该星 球表面以初速度v0竖直上抛一物体,则该物体上升 的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G未知).则根据这些条件,可以求出的物理量是 ( )A.该行星的密度 B.该行星的自转周期 C.该星球的第一宇宙速度 D.该行星附近运行的
15、卫星的最小周期,思路分析 由竖直上抛运动确定该星球表面的重力 加速度g. 解析 由竖直上抛运动得,A错.,根据已知条件不能分析行星的自转情况,B错.,答案 CD,规律总结 天体表面的抛体运动经常与万有引力定 律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动物体的有关 物理量,解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面 的重力加速度,再根据万有引力定律求T、天体 质量或密度.也可以先根据万有引力定律求重力加速 度,再分析抛体运动.,变式练习4 宇航员在月球上将一小石块水平抛出, 最后落在月球表面上.如果已知月球半径R,万有引力 常量G.要估算月球质量,还需测量出小石块运动的物 理量是 ( ) A.抛出的高度h和水
16、平位移x B.抛出的高度h和运动时间t C.水平位移x和运动时间t D.抛出的高度h和抛出点到落地点的距离L,解析,答案 B,素能提升 1.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等C.离太阳越近的行星运动周期越大D.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处解析 所有行星都沿不同的椭圆轨道绕太阳运动,太阳位于椭圆轨道的一个公共焦点上,故A、D均错误;由开普勒第三定律知,所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等,而且半长轴越大,行星运动周期越大,B正确,C错误.,B,2.
17、“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动,周期为T,则月球的平均密度的表达式为(k为某个常数) ( )A. B.=kTC. D.=Kt2解析 由,C,3.有些科学家们推测,太阳系还有一个行星,从地球上看,它永远在太阳的背面,因此人类一直没有能发现它.按照这个推测这颗行星应该具有以下哪些性质( )A.其自转周期应该和地球一样B.其到太阳的距离应该和地球一样C.其质量应该和地球一样D.其密度应该和地球一样,解析 从地球上看,这颗卫星永远在太阳的背面, 那么它的公转周期应该和地球的公转周期相同, 由 有 则其到太阳的 距离应该和地球一样;其到太阳的距离和公转周期与 密度无关,D项错误. 答案
18、 B,4.宇航员在月球表面完成下面实验:在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点,静止一质量为m的小球(可视为质点),如图5所示,当给小球水平初速度v0时,刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动.已知圆弧轨道半径为r,月球的半径为R,万有引力常量为G.若在月球表面上发射一颗环月卫星,所需最小发射速度为( )A. B.C. D.,图5,解析 由可得 答案 A,5.2009年6月19日凌晨5点32分(美国东部时间2009年6月18日下午5点32分),美国 航空航天局在佛罗里达州卡纳维拉尔角空军基地41号发射场用“宇宙神5”运载火箭将月球勘测轨道飞行器(LRO)送入一条距离月表31英里(约合50 k
19、m)的圆形极地轨道,LRO每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次.若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期,以R表示月球的半径,则( )A.LRO运行的向心加速度为 B.LRO运行的向心加速度为,C.月球表面的重力加速度为 D.月球表面的重力加速度为 解析 LRO运行时的向心加速度为a=2r=故A错,B正确;LRO所受万有引力 提供其所需的向心力,即 又在月球表面附近有 由以上两式解得月 球表面的重力加速度为 故C错,D正确. 答案 BD,6.据报道,嫦娥二号探月卫星将于2010年发射,其环月飞行的高度距离月球表面100 km,所探测到的有关月球的数据将比环月飞行
20、高度为200 km的嫦娥一号更加详实.若两颗卫星环月运行均可视为匀速圆周运动,运行轨道如图6所示.则 ( )A.嫦娥二号环月运行的周期比嫦娥一号更长 B.嫦娥二号环月运行的周期比嫦娥一号更短 C.嫦娥二号环月运行时向心加速度比嫦娥一号更小 D.嫦娥二号环月运行时向心加速度比嫦娥一号更大,图6,BD,7.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统.它们运行的原理可以理解为,质量为M的恒星和质量为m的行星(Mm),在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着.如图7所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星).设万有引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计.求:(1)恒星与点C间的距离.(2)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置.(3)计算恒星的运行速率v.,图7,解析 (1)根据恒星与行星绕C点的角速度相等可 得ma2=MRM2(2)恒星运动的轨道和位置大致如 右图所示. (3)对恒星 代入数据得 答案 (2)见解析图,反思总结,返回,
