1、27.2.3 相似三角形的性质,义务教育教科书,九年级 下册,人民教育出版社,复习回顾,（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？,对应角相等， 对应边成比例；,根据 定义；,对应角相等，对应边成比例；,（3）相似三角形的对应边的比叫什么？,相似比,（4） ABC与A/B/C/ 的相似 比为k,则A/B/C/ 与ABC的相 似比是多少？,（1）相似三角形有哪些判定方法？,定义，预备定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL),如图,P是AB上一点,补充下列条件:(1) ACP=B;(2)APC=ACB;,其中一定能使 ACP ABC的是( )(A) (1) (2) (3) (
2、4) (B) (1) (2) (3)(C) (3) (D) (1) (2) (4),D,思考,常见 图形,基本图形的形成、变化及发展过程：,平行型,斜交型,垂直型,如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？,二、学习新知,三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？,高、角平分线、中线的长度，周长、面积等,思,考,？,A,B,C,A,B,C,D,D,如图，ABCABC，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,如图，分别作ABC和ABC的对应高AD和AD,BB,则ADB =AD
3、B.,ABCABC,ABDABD,相似三角形对应高的比等于相似比.,如图，ABCABC，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,E,E,如图，分别作ABC和 ABC的对应中线AE和AE，,你能类比前面的方法证明吗？,相似三角形对应中线的比等于相似比.,如图，ABCABC，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,F,F,如图，分别作ABC和 ABC的对应角平分线AF和AF,你能类比前面的方法证明吗？,相似三角形对应角平分线的比等于相似比.,相似三角形的周长有什么关系？,相似三角形对应线段的比等于相似比.,相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线
4、的比都等于相似比.,探究2,1、如图，ABCABC ，相似比为k，求它们周长的比.,ABCABC,相似三角形周长的比等于相似比.,2、如图，ABCA1B1C1，相似比为k，它们面积的比与相似比有什么关系？,思,考,？,相似三角形面积的比等于相似比的平方.,D,D1,=,=kk= k2,如图，分别作ABC和 A1B1C1的 对应高AD和A1D1,总结,通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；,相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。,相似三角形面积的比等于相似比的平方。,如图，四边形ABCD相似于四边形ABCD，相似比为k2，它们的面积比是多少
5、？,A,B,C,D,A,B,C,D,则ABCABC，ADCACD，,相似多边形面积的比等于相似比的平方,分别连接AC，AC,1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；（ ） （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍（ ）,练习,（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5,扩大5倍周长5原周长,三、应用新知,解：,一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9,边长扩大9倍四边形81倍原四边形的的面积,（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍,2、如图,在ABC中,D、F是
6、AB的三 等分点， DEFG BC，则:,1:4:9,(1)S ADE: S AFG : S ABC =,(2)S ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =,1:3:5,3、如图，ABC,DE/ FG/ BC ，且ADE的面积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则ADE与ABC的 相似比是_； AFG与ABC的 相似比是_.,例1.如图，在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF， AD，若ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求DEF的边EF上的高和面积,解：在ABC和DEF中，, AB2DE，AC2DF,又 DA, DEFABC，相似比为,ABC的边BC上的高为6，面积
7、为,DEF的边EF上的高为 ， 面积为,运用,例2：如图，ABCABC，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，BC=24厘米。求：BC、AC、AB、AC。,解：因为ABCABC 所以,又 AB=15厘米 BC=24厘米 所以 AB=18厘米 BC=20厘米,故 AC=601520=25（厘米） AC=721824=30（厘米）,如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？,D,E,你会解决引入中的问题了吗?,相似三角形的性质,对应角相等,对应边成比例,对应高的比，对应中线的比、对应角
8、平分线的比都等于相似比.,相似比等于对应边的比,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,1.已知ABC与ABC的相似比为2：3，则周长比为 ，对应边上中线之比 ，面积之比为 。2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则它们对应边的比为_，对应角平分线的比为_ ，周长的比为_ 。3. 如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为_ 。,1:3,1:3,1:3,2:3,2:3,4:9,随堂练习,理解,4、已知ABCABC，AD、A D 分别是对应边BC、B C 上的高，若BC8cm,B C 6cm,AD4cm,则A D 等于（ ） A 16c
9、m B 12 cm C 3 cm D 6 cm,5、两个相似三角形对应高的比为37，它们的对应角平分线的比为（ ） A 73 B 499 C 949 D 37,C,D,理解,6.把一个三角形变成和它相似的三角形， （1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的_倍。 （2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_倍。 7.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是 。 （2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是_。,运用,8.如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫
10、米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？,解：设正方形PQMN是符合要求的ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PNBC，所以APN ABC 所以,运用,9.已知梯形ABCD中， ADBC，对角线AC、BD交于点O，若AOD的面积为4cm2, BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_cm2,ADBC,25,10.如图， ABCD中，E为AD的中点，若S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A、 B、 C、 D、,B,1、如图,在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点。,(3
11、)若SDOE=1cm2,求SOBC ,SOEC 和SABC.,(1)找出图中的各对相似三角形；,(2)各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？,3.如图，SABCD=2008cm2，点E是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，且 ，那么 SBEF = .,4、 如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？,N,M,Q,P,E,D,C,B,A,解：设正方形PQMN是符合要求的ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 PNBC
12、APN ABC ,5、如图，矩形FGHN内接于ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且ADBC于D，交NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) ABC ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y与x的关系式。,()你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？,回顾,一、相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.,二.相似三角形的判定方法,定理1 两角对应相等的两个三角形相似.,推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;,定理2 三边对应成比例的两个三角形相似. 定理3 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; 定理4 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.,
