1、2019 届人教 A 版（文科数学） 空间几何体及其表面积与体积 单元测试1 一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 3【答案】 12点拨 空间几何体表面积的求法(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用巩固 1 如图所示，三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长均为 a，A 1ABA 1AC60，则其全面积为 2：（2018 全国新课标文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1O， 2，过直线 12O的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面
2、积为（ ）A 1 B 12 C 2 D 10【解析】截面面积为 ，所以高 h，底面半径 2r，所以表面积为2()21S.学 【答案】 B k 巩固 2（2018 全国新课标理）已知圆锥的顶点为 S，母线 A， SB所成角的余弦值为78， SA与圆锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 51，则该圆锥的侧面积为 3 (1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A21 B183 3C21 D18(2)一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 3(2)设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h.由题意，得 6 2 h 2 ，13 1
3、2 3 3h1，斜高 h 2，12 32S 侧 6 2212.12【答案】 (1)A (2)12点拨 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用学 巩固 3 如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 题型二 求空间几何体的体积4 (2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D1 13 23 13 23 13 26 26【答案】
4、C巩固 4（2018 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A2 B4 C6 D8侧侧侧2211学 5 (2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 【解析】 设新的底面半径为 r，由题意得 r24r 28 5242 28，解得 r .学 13 13 7【答案】 7点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
5、(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解巩固 5（2018 全国新课标文）已知圆锥的顶点为 S，母线 A， SB互相垂直， SA与圆锥底面所成角为30，若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 题型三 与球有关的切、接问题6 已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA 112，则球 O 的半径为( )A. B23172 10C. D3 132 10【解析】 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂
6、线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC ，12 52OM AA16，所以球 O 的半径 ROA .12 522 62 132【答案】 C变式 1已知棱长为 4 的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？变式 2已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？【解析】 正四面体的表面积为 S14 a2 a2，其内切球半径 r 为正四面体高的 ，即34 3 14r a a，14 63 612因此内切球表面积为 S24r 2 ，则 .a26 S1S2 3a2a26 63变式 3已知侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥，则其外接球的半径是多
7、少？2【解析】 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 6，高为 3，2 2322 1262因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3. 点拨 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB， PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体，利用 4R2a 2b 2c 2 求解巩
8、固 6（2018 全国新课标文、理）设 A， B， C， D是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 93，则三棱锥 体积的最大值为（ ） 学 A 123 B 18 C 243 D 543答案与解析巩固 1【解析】 如题图，学 K过 B 作 BDAA 1 于 D，连接 CD，则 BADCAD，所以 ADBADC90，所以ADCD，ADBD，所以BCD 为垂直于侧棱 AA1 的截面又因为BAD60，AB a，所以 BD a.32所以BDC 的周长为( 1)a，从而 S 侧 ( 1)a 2，S 底 a2sin 60 a2.故 S 全 S 侧 2S 底3 312 34 a2.(332 1)【答案】 a2(332 1)【答案】 402巩固 3【解析】 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为 1，高为 1，所以表面积为 SS 长方体表 2S 半圆柱底 S 圆柱轴截面 S 半圆柱侧241 2122421 221 2126.12【答案】 26巩固 4【解析】该几何体的立体图形为四棱柱， (12)6V.【答案】：C巩固 5 【解析】如下图所示， 30SAO， 90SB，又 2182SABSA ，解得 4SA，所以 12S， 23，所以该圆锥的体积为 83VS学 . 【答案】 8【答案】B
