1、一、 2019 届人教 A 版（文科数学） 平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理 单元测试一、 选择题：1D 是ABC 的边 AB 的中点，则向量 等于 ( )CD A B BC 12BA BC 12BA C D BC 12BA BC 12BA 【答案】A【解析】：如图， CD CB BD CB 12BA .BC 12BA 2给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量 与 相等则所有正确命题的序号是 ( )AB BA A BC D【答案】A3.设 a0 为单位向量，下述命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a| a0；若 a 与 a0 平行
2、，则 a|a| a0；若 a 与 a0 平行且|a| 1，则 aa 0.假命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D3【答案】D 【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a| a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a| a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.4.设 a 是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( ) Aa 与a 的方向相反 B| a| |a|Ca 与 2a 的方向相同 D| a| |a【答案】C【解析】：A 中，当 0 时，a 与a 方向相同，故 A 不正确；
3、B 中，当1 1 时，|a| |a|，故 B 不正确；C 中，因为 20，所以 a 与 2a 方向相同，故 C 正确；D 中，向量不能比较大小，故 D 不正确，故选 C5.给出下列四个命题： 若|a| |b|，则 ab；若 A，B ，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要AB DC 条件；若 ab，bc，则 ac ；ab 的充要条件是|a| |b|且 ab.其中正确命题的序号是 ( )A B C D【答案】A 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a
4、| |b|，也不能得到 ab，故| a|b| 且 ab不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A6已知 3 ， a， b， c，则下列等式中成立的是 ( )AC BC OA OB OC Ac b a32 12Bc 2baCc 2abDc a b32 12【答案】A 【解析】：因为 3 ， a， b，所以 (AC BC OA OB OC OA AC OA 32AB OA 32 ) b a，故选 A学 OB OA 32OB 12OA 32 127.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则 等于 ( )OA
5、 OB OC OD A B2OM OM C3 D4OM OM 【答案】 D 【解析】：因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以 2 ， 2 ，所以 4 .OA OC OM OB OD OM OA OB OC OD OM 8(2017全国卷)设非零向量 a，b 满足| ab|ab| ，则 ( )Aab B| a|b|Cab D| a|b|【答案】A9如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若 (， 为实数) ，则 2 2 DE AB AD ( )A B C1 D58 14 516【答案】A【解析】： ( ) ，所以DE 12DA 12DO
6、12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD ， ，故 2 2 ，故选 A14 34 5810在ABC 中， ，若 P 是直线 BN 上的一点，且满足 m ，则AN 14NC AP AB 25AC 实数 m 的值为 ( ) A4 B1C1 D4【答案】B11.已知向量 i，j 不共线，且 i m j， ni j，m 1，若 A，B，D 三点共线，AB AD 则实数 m，n 应满足的条件是 ( )Amn1 Bm n1Cmn1 Dmn1【答案】C 【解析】：因为 A，B，D 三点共线，所以 ，存在非零实数 ，使得AB AD ，即 imj(nij )，所以(1n)i(m )j0
7、，又因为 i 与 j 不共线，AB AD 所以Error!则 mn1，故选 C12设 O 在ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且 2 0，则ABC 的面积OA OB OC 与AOC 的面积的比值为 ( )A3 B4 C5 D6【答案】B 【解析】：如图，D 为 AB 的中点，则 ( )，又OD 12OA OB 2 0，OA OB OC ，O 为 CD 的中点，OD OC 又D 为 AB 中点， S AOC SADC SABC ，则 4.12 14 S ABCS AOC二、填空题13已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式 OA OB OC OD OA ，则
8、四边形 ABCD 的形状为 OC OB OD 【答案】平行四边形 【解析】：由 得 ，OA OC OB OD OA OB OD OC 所以 ，所以四边形 ABCD 为平行四边形BA CD 14(2015全国卷)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 .【答案】 【解析】：ab 与 a2b 平行， abt(a2b) ，即 abta2t b，Error!解得Error!15在ABC 中，点 M，N 满足 2 ， .若 x y ，则 x AM MC BN NC MN AB AC ；y . 【答案】 12 1616在ABC 中，AB 2，BC 3，ABC60，AHBC 于点 H，
9、M 为 AH 的中点若 ，则 .AM AB BC 【答案】 23【解析】：因为 AB2，ABC60，AHBC，所以 BH1.因为 BC3，所以BH BC13因为点 M 为 AH 的中点，所以 ( ) ，又AM 12AH 12AB BH 12(AB 13BC ) 12AB 16BC ，所以 ， ，所以 .AM AB BC 12 16 23三、解答题17在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且GB2GE，设 a， b，试用 a，b 表示 ， .AB AC AD AG 【答案】 a b； a b.AD 12 12 AG 13 1318设 e1，e 2 是两个不共
10、线的向量，已知 2e 18e 2， e 13e 2， 2e 1e 2.AB CB CD (1)求证：A，B，D 三点共线；(2)若 3e 1k e2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值BF 【解析】 (1)证明：由已知得 (2 e1e 2)( e13e 2)e 14e 2，BD CD CB 2e 18e 2， 2 .AB AB BD 又 与 有公共点 B，AB BD A，B，D 三点共线(2)由(1)可知 e 14e 2，BD 3e 1ke 2，且 B，D，F 三点共线，BF (R)，BF BD 即 3e1ke 2e 14e 2，即Error! 解得 k12. 学 19已知 O，A，B 是不共线的三点，且 m n (m，nR). OP OA OB (1)若 mn 1，求证：A， P，B 三点共线；(2)若 A， P，B 三点共线，求证：mn1.【解析】证明 (1)若 mn1，则 m (1m)OP OA OB m( )，OB OA OB m ( )，OP OB OA OB 即 m ， 与 共线BP BA BP BA 又 与 有公共点 B，BP BA A，P，B 三点共线
