1、专题二十一 万有引力定律及其应用（精练）1静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动。下列说法正确的是A物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心B物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等C物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度D物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同【答案】B2由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012 年中国十大科技进展新闻，于 2013 年 1 月 19 日揭晓， “神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破 7 000 米分别排在第一、第二。若地球半径为 R，把地球看做质量分布均匀的球体。 “蛟龙”下潜深度为 d， “天宫一号”轨道距离地
2、面高度为 h， “蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为A B R dR h (R d)2(R h)2C D(R d)(R h)2R3 (R d)(R h)R2【答案】C【解析】令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g G .由于地MR2球的质量为： M R3，所以重力加速度的表达式可写成： g GR 。根据题意43 GMR2 G 43 R3R2 43有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为 d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（ R d）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度 g G （ R d） 。所以43有
3、。根据万有引力提供向心力 G ma， “天宫一号”的加速度为 a ，所以 gg R dR Mm(R h)2 GM(R h)2 ag， ，故 C 正确，A、B、D 错误。R2(R h)2 ga (R d)(R h)2R33同重力场作用下的物体具有重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有引力势能若取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为 r 时的引力势能为 Ep G （ G 为引力常量） ，设宇宙中有m0mr一个半径为 R 的星球，宇航员在该星球上以初速度 v0竖直向上抛出一个质量为 m 的物体，不计空气阻力，经 t s 后物体落回手中，则A在该星球表面上以 的初速度水平抛出一个物体，物体
4、将不再落回星球表面2v0RtB在该星球表面上以 2 的初速度水平抛出一个物 体，物体将不再落 回星球表面v0RtC在该星球表面上以 的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面2v0RtD在该星球表面上以 2 的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面v0Rt【答案】ABD【解析】设该星球表面附近的重力加速度为 g，物体做竖直上抛运动有 v0 ，在星球表面有g t2mg G ，设绕星球表面做圆周运动的卫星的速度大小为 v1，则 m G ，联立解得 v1 ，A 正m0mR2 v21R m0mR2 2v0Rt确；2 ，B 正确；从星球表面竖直抛出物体至无穷远速度为零的过程，有 mv Ep
5、0，即v0Rt 2v0Rt 12 2mv G ，解得 v22 ，C 错误，D 正确。12 2 m0mR v0Rt4 （多选）公元 2100 年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间 t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是 T，测得航天员所在航天器的速度为 v，已知引力常量 G，激光的速度为 c，则A木星的质量 M v3T2 GB木星的质量 M 2c3t32GT2C木星的质量 M4 2c3t3GT2D根据题目所给条件，可以求出木星的密度【答案】AD5已知地球的质量约为火星质
6、量的 10 倍，地球的半径约为火星半径的 2 倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为A3.5 km/s B5.0 km/s C17.7 km/s D 35.2 km/s【答案】A6我国于 2013 年 12 月 2 日成功发射“嫦娥三号”探 测器，这 实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测 活动，月球半径为 R0，月球表面处重力加速度为 g0。地球和月球的半径之比为 4，表RR0面重力加速度之比为 6，地球和月球的密度之比 为gg0 0A B 23 32C4 D6【答案】B【解析】设星球的密度为 ，由 G m g 得 GM gR2， ，联立解得 ，设MmR2 MV M
7、43 R3 3g4G R地球、月球的密度分别为 、 0，则 ，将 4， 6 代入上式，解得 ，选项 B 正确。 0 gR0g0R RR0 gg0 0 327理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体， O 为球心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox，如图甲所示。一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在 x 轴上各位置受到的引力大小用 F 表示，则图乙所示的四个 F 随 x 的变化关系图正确的是【答案】A【解析】球壳内距离球心 r 的位置，外面环形球壳对其引力为 0，内部以 r 为半径的球体看作球心处的质点，对其引力为 F
8、G rm ，引力大小与 r 成正比，图象为倾斜直线，当 rRGM mr2 G 43 r3mr2 43时，球体看作圆心处的质点，引力 F ， F ，对照选项 A 对 B、C、D 错。GMmr2 G 43 R3mr2 1r28 （多选）一颗人造卫星在地球表面附近做匀速圆周运动，经过 t 时间，卫星运行的路程为 s，运动半径转过的角度为 ，引力常量为 G，则A地球的半径为 B地球的质量为 s s2G t2C地球的密度为 D地球表面的重力加速度为3 24 Gt2 st【答案】AC9嫦娥二号是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得嫦娥二号在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期 T，已知
9、引力常量为 G，半径为 R 的球体体积公式 V R3，则可估算月球43的A密度 B质量 C半径 D自转周期【答案】A【解析】嫦娥二号在近月轨道运行，其轨道半径约为月球半径，由 m R 及 ， V R3GMmR2 4 2T2 MV 43可求得月球密度 ，但不能求出质量和半径，A 项正确，B、C 项错误；公式中 T 为嫦娥二号绕月运3GT2行周期，月球自转周期无法求出，D 项错误。10 （多选）美国航空航天局 2009 年 6 月发射了“月球勘测轨道器” （LRO） ，LRO 每天在离月球表面50 km 的高度穿越月球两极上空 10 次。若以 T 表示 LRO 在离月球表面高度 h 处的轨道上做匀
10、速圆周运动的周期，以 R 表示月球的半径，则ALRO 运行时的向心加速度为 4 2RT2BLRO 运行时的向心加速度为4 2 R hT2C月球表面的重力加速度为 4 2RT2D月球表面的重力加速度为4 2 R h 3T2R2【答案】BD11 （多选）如图，地球球心为 O，半径为 R，表面的重力加速度为 g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且做椭圆运动，恰好经过距地心 2R 的 P 点，为研究方便，假设地球不自转且表面没有空气，则A飞船在 P 点的加速度一定是 g4B飞船经过 P 点的速度一定是 gR2C飞船内的物体处于完全失重状态D飞船经过 P 点时，对准地心弹射出的物体一定沿 PO 直线落向地面【
11、答案】AC【解析】若飞船绕地球做匀速圆周运动，则可知经过 P 点的速度为 ，因飞船做椭圆运动，在 P 点gR2的曲率半径不确定，所以 B 错误；由运动的合成与分解知 D 项错误；宇宙飞船运动时万有引力提供向心力，飞船处于完全失重状态，C 正确；飞船在 P 点时，只有万有引力提供加速度，则 g g，A 正GMr2 GM4R2 14确。12 （多选）2006 年国际天文学联合会 大会投票通过了新的行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，而将其列入“矮行星” 。冥王星是这九颗星球中离太阳最远的星球，轨道最扁，冥王星的质量远比行星小，表面温度很低，因而它上面绝大多数物质只能是固态或液态。根据以上信息可以
12、确定A冥王星绕太阳运行的周期一定大于地球的公转周 期B冥王星绕太阳运行的最小加速度一定小于地球绕太阳运行的最小加速度C冥王星的密度一定小于地球的密度D冥王星表面的重力加速度一定小于地球表面的重力加速度【答案】AB13 （多选）一宇宙飞船绕地心做半径为 r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为 m 的人站在可称体重的台秤上。用 R 表示地球的半径， g 表示地球表面处的重力加速度， g表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度， FN表示人对秤的压力，下列说法中正确的是A g0 B g g R2r2C FN m g D FN0Rr【答案】BD【解析】在地球的表面万有引力近似等于物体的重力，可得： mgg
13、，宇宙飞船绕地心做半GMmR2 GMR2径为 r 的匀速圆周运动时，该处的万有引力等于重力，可得： mg g ，联立解得：GMmr2 GMr2g g；由于宇宙飞船围绕地球做匀速圆周运动，万有引力完全充当向心力，飞船内的人处于完全失重R2r2状态，故人对秤的压力 FN0。14如图所示， P、 Q 为质量相同的两质点，分别置于地球表面的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体， P、 Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是A P、 Q 所受地球引力 大小相等B P、 Q 做 圆周运动的向心力大小相等C P、 Q 做圆周运动的线速度大小相等D P 所受地球引力大于 Q 所受地球引力【答
14、案】A15 （多选）如图所示，飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为 ，下列说法正确的是A轨道半径越大，周期越长 B轨道半径越大，速度越大C若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度【答案】AC【解析】据 G mR ，可知半径越大则周期越 大，故选项 A 正确；据 G m ，可知轨道半径越MmR2 4 2T2 MmR2 v2R大则环绕速度越小，故选项 B 错误；如果测得周期，则有 M ，如果测得张角 ，则该星球半径为：4 2R3GT2r Rsin ，所以 M r3 ( Rsin )3 ，则 ，故选项 C 正确；而选项 2 4 2R3
15、GT2 43 43 2 3GT2sin3 2D 无法计算星球半径，则无法求出星球密度，选项 D 错误。16近年来，随着人类对火星的了解越来越多，美国等国家都已经开始进行移民火星的科学探索，并面向全球招募“单程火星之旅”的志愿者。若某物体在火星表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动的时间的 1.5 倍，已知地球半径是火星半径的 2 倍。（1）求火星表面重力加速度 g1与地球表面重力加速度 g2的比值。（2）如果将来成功实现了“火星移民” ，求在火星表面发射载人航天器的最小速度 v1与在地球上发射卫星的最小速度 v2的比值。【答案】 （1） （2）49 23（2）发射载人航天
16、器或卫星的最小速度即第一宇宙速度，因此有 G m ，即 v2 G MmR2 v2R MR又 G mg，即 GM R2g MmR2由解得 v gR即 v1v2 g1R1g2R2代入数据解得 。v1v2 2317万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀 分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F0。若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 的表达式，
17、并就 h1.0% R 的情形算F1F0出具体数值（计算结果保留两位有效数字） ；若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值 的表达式。F2F0（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r、太阳的半径为 RS和地球的半径 R 三者均减小为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？【答案】 （1）1 （2） “设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年相同4 2R3GMT2（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳质量为 MS，地球质量为 M，地球公转周期为 TE，有 G MrMSM
18、r2 4 2T2E得 TE ，其中 为太阳的密度。4 2r3GMS 3R由上式可知，地球公转周期 TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同。18宇航员到了某星球后做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m的小球，圆锥顶角 2 。当圆锥和球一起以周期 T 匀速转动时，球恰好对锥面无压力已知星球的半径为R，万有引力常量为 G。求：（1）细线拉力的大小 ；（2）该星球表面的重力加速度的大小；（3）该星球的第一宇宙速度的大小；（4）该星球的密度。【答案】 （1） m L （2） Lcos （3） （4）
19、4 2T2 4 2T2 2T RLcos 3 LcosGRT2【解析】 （1）小球做圆周运动，向心力 FTsin m r 4 2T2半径 r Lsin 解得细线拉力大小 FT m L 4 2T2（2）对小球受力分析可知 FTcos mg 星 解得该星球表面的重力加速度 g 星 Lcos 4 2T2（3）星球的第一宇宙速度即为该星球的近“地”卫星的环绕速度 v，设近“地”卫星的质量为 m，根据向心力公式有 m g 星 m v2R联立 解得 v 。2T RLcos19兴趣小组成员合作完成了下面的两个实验：当飞船停留在距 X星球一定高度的 P 点时，正对着X 星球发射一个激光脉冲，经时间 t1后收到
20、反射回来的信号，此时观察 X 星球的视角为 ，如图所示。当飞船在 X 星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为 t2。已知用上述弹射器在地球上做同样实验时，小球在空中运动的时间为 t，又已知地球表面重力加速度为 g， 引力常量为 G，光速为 c，地球和 X 星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：（1） X 星球的半径 R；（2） X 星球的质量 M；（3） X 星球的第一宇宙速度 v；（4）在 X 星球发射的卫星的最小周期 T.【答案】 （1） （2） ct1sin2 1 sin gtc2t21sin24Gt2 1 sin 2（3） （4）gctt1sin2t2 1 sin 2ct1t2singt 1 sin
