1、2018 年高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标 26 平面向量的数量积与平面向量应用举例 理解密考纲本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难一、选择题1已知向量 a( x1,2)， b(2,1)，则 ab 的充要条件是( D )A x B x1 C x5 D x012解析：由向量垂直的充要条件，得 2(x1)20.解得 x0.2已知非零向量 a， b， |a| |b| |a b|，则 cos a， a b( C )A B C D12 12 32 32解析：设 |a| |b|
2、 |a b|1，设( a b)2 a2 2ab b2 1， ab ， a (a b) a2 ab1 .12 12 32|a b| ，a2 b2 2ab 1 1 1 3cos a， a b .3213 323已知向量| |2，| |4， 4，则以 ， 为邻边的平行四边形的面积OA OB OA OB OA OB 为( A )A4 B2 C4 D23 3解析：因为 cos AOB ，所以 AOB60，sin AOB .所OA OB |OA |OB | 424 12 32以所求的平行四边形的面积为| | |sin AOB4 ，故选 AOA OB 34(2017山西四校二联)已知平面向量 a， b 满足
3、 a(a b) 3，且|a| 2， |b| 1，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为( D )A B C D12 32 12 32解析： a(a b) a2 ab2 221cos a， b42cos a， b3，cos a， b ，又 a， b0，12sin a， b ，故选 D1 cos2 a， b325(2017甘肃兰州模拟)若 ABC 的三个内角 A， B， C 度数成等差数列，且( ) 0，则 ABC 一定是( C )AB AC BC A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形C等边三角形 D钝角三角形解析：因为( ) 0，所以( )( )0，所以 2 20，即|AB AC BC AB AC
4、AC AB AC AB | |，又 A， B， C 度数成等差数列，故 2B A C，又 A B C，所以AC AB 2B B，所以 3B， B ，故 ABC 是等边三角形 36(2017福建厦门模拟)在 ABC 中， A120， 1，则| |的最小值AB AC BC 是( C )A B2 C D62 6解析：由 | | |cos 120 | | |1 得| | |2，| |2|AB AC AB AC 12AB AC AB AC BC |2 2 22 2 222| | |26，AC AB AC AB AB AC AC AB AC AB 当且仅当| | |时等号成立所以| | ，故选 CAC A
5、B BC 6二、填空题7(2016河南开封一模)设向量 a 与 b(1,2cos )垂直，则 cos (12， cos )2 .12解析：依题意， 2cos 2 0，即 2cos2 ，12 12所以 cos 2 2cos 2 1 .128已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 ( )，则 与 的夹角为 90.AO 12AB AC AB AC 解析：由 ( )，可得 O 为 BC 的中点，故 BC 为圆 O 的直径，所以 与 的夹AO 12AB AC AB AC 角为 90.9已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos ，向量 a 3e1 2e2与13b 3e1 e2的夹角为 ，则
6、cos .223解析：因为 a2(3 e1 2e2)29232cos 49，所以|a|3， b2(3 e1 e2)29231cos 18，所以|b|2 ， ab( 3e1 2e2)(3e1 e2) 9e 9e1e2 2e 9911 28，所以2 21 213cos .ab|a|b| 8322 223三、解答题10已知 |a|4， |b|8， a 与 b 的夹角是 120.(1)计算： |a b|， | 4a2 b|；(2)当 k 为何值时，( a2 b)( ka b)解析：由已知得， ab48 16.(12)(1) |a b|2 a2 2ab b2162(16)6448，|a b|4 .3|
7、4a2 b|216 a216 ab4 b2161616(16)464768，| 4a2 b|16 .3(2) (a 2b)( ka b)，( a 2b)(ka b)0， ka2(2 k1) ab 2b20，即 16k16(2 k1)2640. k7.即 k7 时， a 2b 与 ka b 垂直11如图， O 是 ABC 内一点， AOB150， AOC120，向量 ， ， 的模分OA OB OC 别为 2， ，4.3(1)求| |；OA OB OC (2)若 m n ，求实数 m， n 的值OC OA OB 解析：(1)由已知条件易知 | | |cos AOB3， | | |cos AOB4，
8、 0，|OA OB OA OB OA OC OA OC OB OC OA |2 2 2 22( )9，| |3.OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC OA OB OC (2)由 m n 可得 m 2 n ，且 m n 2，OC OA OB OA OC OA OA OB OB OC OB OA OB Error! m n4.12已知向量 (6,1)， ( x， y)， (2，3)AB BC CD (1)若 ，求 x 与 y 之间的关系式；BC DA (2)在(1)的条件下，若 ，求 x， y 的值及四边形 ABCD 的面积AC BD 解析：(1) ( x4， y2)，
9、AD AB BC CD ( x4,2 y)又 且 ( x， y)，DA AD BC DA BC x(2 y) y( x4)0，即 x2 y0.(2)由于 ( x6， y1)，AC AB BC ( x2， y3)，又 ，BD BC CD AC BD 0，即( x6)( x2)( y1)( y3)0.AC BD 联立，化简得 y22 y30.解得 y3 或 y1.故当 y3 时， x6，此时 (0,4)， (8,0)，AC BD S 四边形 ABCD | | |16；当 y1 时， x2，12AC BD 此时 (8,0)， (0，4)，AC BD S 四边形 ABCD | | |16.12AC BD
