1、2018 年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标13 变化率与导数、导数的计算 理解密考纲本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，它是导数方法的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问一、选择题1若 f(x)2 xf(1) x2，则 f(0)( D )A2 B0C2 D4解析： f( x)2 f(1)2 x，令 x1，则 f(1)2 f(1)2，得 f(1)2，所以 f(0)2 f(1)04.2在等比数列 an中， a12， a84， f(x) x(x a1)(x a2)(x a8)， f( x)为
2、函数 f(x)的导函数，则 f(0)( D )A0 B2 6C2 9 D2 12解析： f(x) x(x a1)(x a2)(x a8)， f( x) x( x a1)(x a8) x(x a1)(x a8)( x a1)(x a8) x(x a1)(x a8)， f(0)( a1)( a2)( a8)0 a1a2a8( a1a8)4(24) 4(2 3)42 12.3(2017河南八市质检)已知函数 f(x)sin xcos x，且 f( x) f(x)，则 tan 122x 的值是( D )A B23 43C D43 34解析：因为 f( x)cos xsin x sin x cos x，
3、12 12所以 tan x3，所以 tan 2x ，故选 D2tan x1 tan2x 61 9 344已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范4ex 1围是( B )A B0， 4) 34， )C D( 2， 34 4， 2)解析： y ， y 14ex 1 4ex ex 1 2 4ex ex 2 2ex 1 4ex 1ex 2，1tan 0， a1， f(1) .13二、填空题7(2017广东惠州模拟)曲线 y5e x3 在点(0，2)处的切线方程为5x y20.解析：由 y5e x3 得， y5e x，所以切线的斜率 k y| x0 5，所以切线方程为
4、 y25( x0)，即 5x y20.8(2017河北邯郸模拟)曲线 ylog 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 log2e.12解析： y ， k ，切线方程为 y (x1)，1xln 2 1ln 2 1ln 2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln 2 12ln 2 129已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ，则切点坐标为 .x24 12 (3， 94 3ln 3)解析： y ，Error!解得 x3.x2 3x故切点坐标为 .(3，94 3ln 3)三、解答题10(1)已知 f(x)e xsin x，求 f( x)及 f ；(12)(2)已知 f
5、(x)( x )10，求 .1 x2f 1f 1解析：(1) f( x)e xsin xe xcos x， f e e .(12) 2 (sin 2 cos 2) 2 (2) f( x)10( x )9 ，1 x2 (1 x1 x2) f(1)10(1 )9 (1 )105 (1 )10.2 (1 12) 102 2 2 2又 f(1)(1 )10， 5 .2f 1f 1 211已知曲线 C： y x36 x2 x6.(1)求 C 上斜率最小的切线方程；(2)证明： C 关于斜率最小时切线的切点对称解析：(1) y3 x212 x13( x2) 213.当 x2 时， y最小，即切线的斜率最小
6、，最小值为13，切点为(2，12)，切线方程为 y1213( x2)，即13x y140.(2)证明：设点( x0， y0) C，点( x， y)是点( x0， y0)关于切点(2，12)对称的点，则Error!点( x0， y0) C，24 y(4 x)36(4 x)2(4 x)6，整理得y x36 x2 x6.点( x， y) C，于是曲线 C 关于切点(2，12)对称12设函数 f(x) ax (a， bZ)，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为1x by3.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：函数 y f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲
7、线 y f(x)上任一点的切线与直线 x1 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值解析：(1) f( x) a ，于是Error!解得Error!或Error!1 x b 2因为 a， bZ，所以 a1， b1，故 f(x) x .1x 1(2)证明：已知函数 y1 x， y2 都是奇函数1x所以函数 g(x) x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而 f(x)1x x1 1.可知，函数 g(x)的图象按向量 a(1,1)平移，即得到函数 f(x)的图象，1x 1故函数 f(x)的图象是以点(1,1)为对称中心的中心对称图形(3)证明：在曲线上任取一点 ，(x0， x01x0 1)由 f( x0)1 知，过此点的切线方程为1 x0 1 2y (x x0)x20 x0 1x0 1 1 1 x0 1 2令 x1 得 y ，切线与直线 x1 的交点为 .x0 1x0 1 (1， x0 1x0 1)令 y x 得 x2 x01，切线与直线 y x 的交点为(2 x01，2 x01)直线 x1 与直线 y x 的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为|2x011| |2x02|2.12|x0 1x0 1 1| 12| 2x0 1|所以所围三角形的面积为定值 2.
