1、2019 届人教 A 版（文科数学） 立体几何中的向量方法 单元测试一 利用空间向量证明平行问题例 1 如图所示，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且PAAD 2，E，F，G 分别是线段 PA，PD ，CD 的中点求证：PB平面 EFG.【解析】证明 平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD，又 与 不共线， ， 与 共面FE FG PB FE FG PB 平面 EFG，PB平面 EFG.引申探究本例中条件不变，证明平面 EFG平面 PBC.证明 (0,1,0)， (0,2,0)，EF BC 2 ， BCEF .BC
2、 EF 又EF 平面 PBC，BC平面 PBC，EF平面 PBC，同理可证 GFPC，从而得出 GF平面 PBC.又 EFGFF，EF平面 EFG，GF平面 EFG，平面 EFG平面 PBC.学 点拨 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算巩固 1 正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C
3、， B1C1 的中点求证：MN平面 A1BD.二 利用空间向量证明垂直问题1 证线面垂直例 2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱 )ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点求证：AB 1平面 A1BD.m abc，BA1 BD ( 12)m( ac)AB1 ( 12)a b c4 240.故 m ，结论得证( 12) AB1 方法二 取 BC 的中点 O，连接 AO.设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y ， )， (1,2， )， ( 2,1,0)BA1 3 BD 因为 n ，n ，BA1 BD 故Error! Error!令 x1，则 y2， ，3故 n
4、(1,2 ， )为平面 A1BD 的一个法向量，3而 (1,2 ， )，所以 n，所以 n，AB1 3 AB1 AB1 故 AB1平面 A1BD.2 证面面垂直例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且PAPD AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点22(1)求证：EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PDC.证明 (1)如图，取 AD 的中点 O，连接 OP，OF. 因为 E 为 PC 的中点，所以 E( ， )a4a2 a4易知平面 PAD 的一个法向量为 (0 ，0)，OF a2因为 ( ，0， )，EF
5、 a4 a4且 (0，0)( ，0， )0， 学 OF EF a2 a4 a4所以 EF平面 PAD.(2)因为 ( ，0， )， (0，a,0) ，PA a2 a2 CD 所以 ( ，0， )(0，a,0) 0，PA CD a2 a2所以 ，所以 PACD.PA CD 又 PAPD ，PDCDD，所以 PA平面 PDC.又 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面 PDC.点拨 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂
6、直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可巩固 2 如图，在多面体 ABCA 1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形，ABAC ，BC AB，B 1C1 綊 BC，212二面角 A1AB C 是直二面角求证：(1)A1B1平面 AA1C；(2)AB1平面 A1C1C.三 利用空间向量解空间角问题1 求异面直线所成的角例 3 如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 AB
7、CD 同一侧的两点，BE平面ABCD，DF 平面 ABCD，BE2DF，AEEC .(1)证明：平面 AEC平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值【解析】(1)证明 如图所示，连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由ABC120，可得 AG GC .3由 BE平面 ABCD，ABBC2，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG ，且 EGAC .3在 RtEBG 中，可得 BE ，故 DF .222在 RtFDG 中，可得 FG .62在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE ，DF ，可得 EF ，从而 EG2F
8、G 2EF 2，所以222 322EGFG. 学 又 ACFGG，可得 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.(2)解 如图，以 G 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 x 轴，y 轴正方向，| |为单位长度，建立空间GB GC GB 直角坐标系 Gxy ，由(1)可得 A(0， ，0)，E(1,0， )，3 2点拨 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对
9、值巩固 3（2018 江苏）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA 1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；2 求直线与平面所成的角例 4 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABAD AC 3，PA BC 4，M 为线段 AD上一点，AM2MD ，N 为 PC 的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值(2)解 取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD ，AE .学 AB2 BE2AB2 (BC2)2 5以 A 为坐标
10、原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axy .AE 由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C ( ，2,0) ，N ， (0,2 ，4)， ， 5 (52，1，2) PM PN ( 52，1， 2) AN .(52，1，2)点拨 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 (或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角巩固 4（2018 浙江）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面 ABC
11、，ABC=120，A1A=4，C 1C=1，AB =BC=B1B=2（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值3 求二面角例 5 在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线(1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；(2)已知 EFFB AC2 ，ABBC ，求二面角 FBCA 的余弦值12 3(1)证明 设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI ，(2)解 连接 OO，则 OO平面 ABC.又 ABBC，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BOAC.以 O 为
12、坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxy .由题意得 B(0,2 ，0)，3C(2 ，0,0)过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M，3所以 FM 3，可得 F(0， ，3)FB2 BM2 3故 (2 ，2 ，0)， (0 ， ，3) BC 3 3 BF 3设 m(x，y， )是平面 BCF 的一个法向量由Error! 可得Error!可得平面 BCF 的一个法向量 m ，( 1，1，33)因为平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1)，所以 cosm，n .mn|m|n| 77所以二面角 FBCA 的余弦值为 .77点拨 利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出
13、二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小学 . 巩固 5（2018 全国新课标理）如图，边长为 2 的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 ACD所在平面垂直，M是 ACD上异于 ， 的点（1）证明：平面 平面 BMC；（2）当三棱锥 体积最大时，求面 AB与面 所成二面角的正弦值答案与解析巩固 1 证明 如图所示，以 D 为坐标原点，DA ，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴，y
14、 轴， 轴建立空间直角坐标系则 n 0，且 n 0，得Error! 学 DA1 DB 取 x1，得 y1， 1.所以 n(1 ， 1，1)又 n( ，0， )(1，1，1)0，MN 12 12所以 n.MN 又 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD.设 AB2，则 A(0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C(2,0,0)，C 1(1,1,2)(0,2,0)， (0,0，2) ， (2,0, 0)，A1B1 A1A AC 设平面 AA1C 的一个法向量 n(x，y， )，则Error! 即Error!即Error! 取 y1，则 n(0,1,0) 2n，即 n.A1
15、B1 A1B1 A 1B1平面 AA1C.巩固 3【解析】如图，在正三棱柱 1ABC中，设 AC，1AC的中点分别为 O， 1，则 BC， 1O，B，以 ,为基底，建立空间直角坐标系 xyz因为 12A， 学 所以 01,A， 3,0， ,0C， 1,2A， 13,02B， 1,C1 因为 P为 1B的中点，所以 ,2P， k 从而 3,2， 10,AC，故 114310cos, 25BP因此，异面直线 BP与 1AC所成角的余弦值为 3102【答案】 302则 12BHA， 1， 12AB.在 中， 2， 1，综合， 11ABC， 1AB平面 1C， 1B平面 1AC， 1平面 .（2）过点 作 的垂线段交 于点 I，以 为原点，以 所在直线为 x轴，以 BI所在直线为 y轴，以 1B所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系 Bxyz.答案：（1）略；（2） 391巩固 5 【解析】 （1）正方形 ABCD半圆面 M， 学 AD半圆面 M， 平面 . C在平面 内， ，又 是半圆弧 CD上异于 ,的点， CMD.又 I， 平面 A， 在平面 B内，平面 B平面 A.（2）如图建立坐标系：同理 (1,0)n 5cos， 25sin.
