1、1微型专题 3 天体运动分析知识目标 核心素养1.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路2掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系.1.掌握牛顿第二定律和圆周运动知识在分析天体运行规律中的应用2通过推导线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，加强应用数学知识解决物理问题的能力.一、天体运动的分析与计算1基本思路：一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即 F 引 F 向2常用关系(1)G ma m m 2r m r.Mmr2 v2r 4 2T2(2)忽略自转时， mg G (物体在天体表面时受到的万有引力
2、等于物体重力)，整理可得：MmR2gR2 GM，该公式通常被称为“黄金代换式” 例 1 如图 1 所示， A、 B 为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为 h1、 h2，已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，求：2图 1(1)A 的线速度大小 v1；(2)B 的角速度 2；(3)A、 B 的角速度之比 1 2.答案 (1) (2) (3)gR2R h1 gR2R h23 R h23R h13解析 (1)设地球质量为 M，卫星质量为 m，由万有引力提供向心力，对 A 有： m GMmR h12 v12R h1在地球表面对质量为 m的物体有： m g G MmR2由得 v1 .gR2
3、R h1(2)由 G m 22(R h2)MmR h22由得 2 .gR2R h3(3)由 G m 2(R h)得 MmR h2 GMR h3所以 A、 B 的角速度之比 . 1 2 R h23R h13针对训练 (多选)地球半径为 R0，地面重力加速度为 g，若卫星在距地面 R0处做匀速圆周运动，则( )A卫星的线速度为2R0g2B卫星的角速度为g8R0C卫星的加速度为g23D卫星的加速度为g4答案 ABD解析 由 ma m m 2(2R0)及 GM gR02，可得卫星的向心加速度 a ，角速度GMm2R02 v22R0 g4 ，线速度 v ，所以 A、B、D 正确，C 错误g8R0 2R0
4、g2二、天体运行的各物理量与轨道半径的关系设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动(1)由 G m 得 v ， r 越大， v 越小Mmr2 v2r GMr(2)由 G m 2r 得 ， r 越大， 越小Mmr2 GMr3(3)由 G m 2r 得 T2 ， r 越大， T 越大Mmr2 (2T) r3GM(4)由 G ma 得 a ， r 越大， a 越小Mmr2 GMr2以上结论可总结为“一定四定，越远越慢” 例 2 俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约 805 km 处发生的碰撞是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件碰撞过
5、程中产生的大量碎片可能会影响太空环境假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )A甲的运行周期一定比乙的长B甲距地面的高度一定比乙的高C甲的向心力一定比乙的小D甲的向心加速度一定比乙的大答案 D解析 甲的速率大，由 G m ，得 v ，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故 B 错；Mmr2 v2r GMr由 G mr ，得 T ，可知甲的运行周期小，故 A 错；由于两碎片的质量未知，Mmr2 4 2T2 4 2r3GM无法判断向心力的大小，故 C 错；由 ma 得 a ，可知甲的向心加速度比乙的大，故GMmr2 GMr2D 对例 3 如图 2 所示，
6、 a、 b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径)下列说法中正确的是( )4图 2A a、 b 的线速度大小之比是 12B a、 b 的周期之比是 12 2C a、 b 的角速度大小之比是 3 46D a、 b 的向心加速度大小之比是 92答案 C解析 两卫星均做匀速圆周运动， F 万 F 向 ，向心力选不同的表达式分别分析由 m 得 ，故 A 错误GMmr2 v2r v1v2 r2r1 3R2R 32由 mr 2得 ，故 B 错误GMmr2 (2T) T1T2 r13r23 2323由 mr 2得 ，故 C 正确GMmr2 1 2 r23
7、r13 364由 ma 得 ，故 D 错误.GMmr2 a1a2 r22r12 941(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(多选)如图 3 所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的( )图 3A速度大 B向心加速度大C运行周期长 D角速度小答案 CD解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 F 引 F 向 ，5所以 G ma mr 2，Mmr2 mv2r 4 2mrT2即 a ， v ， T ， (或用公式 T 求解)GMr2 GMr 4 2r3GM GMr3 2因为 r1v2， a1a2
8、， T1 2，选项 C、D 正确2(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图 4 所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动下列说法正确的是( )图 4A太阳对各小行星的引力相同B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值答案 C解析 根据万有引力定律 F G 可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引Mmr2力不同，A 项错误；由 G m r，得 T2 ，因为各小行星的轨道半径 r 大于地球Mmr2 4 2T2 r3G
9、M的轨道半径，所以它们的运行周期均大于地球的公转周期，B 项错误；向心加速度 a GFm，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C 项正确；由 G m 得线速度 v Mr2 Mmr2 v2r，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度值小于地球绕太阳的线速度值，D 项GMr错误3(天体运动各参量的比较)如图 5 所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和 2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图 5A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大6D甲的线速度比乙的大答案 A解析 甲、乙两卫星分别绕质量为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动，万有引力
10、提供各自做匀速圆周运动的向心力由牛顿第二定律 G ma m r m 2r m ，可得Mmr2 4 2T2 v2ra ， T2 ， ， v .由已知条件可得 a 甲 a 乙 ， T 甲 T 乙 ， 甲 乙 ，GMr2 r3GM GMr3 GMrv 甲 v 乙 ，故正确选项为 A.【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律4(天体运动规律)我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星设“高分一号”轨道的离地高度为 h，地球半径为 R，地面重力加速度为 g，求“高分一号”
11、在时间 t 内绕地球运转多少圈？(忽略地球的自转)答案 t2 gR2R h3解析 在地球表面的物体 m gGMmR2“高分一号”在轨道上 m(R h)GMmR h2 4 2T2所以 T2 2R h3GM R h3gR2故 n .tT t2 gR2R h3【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律一、选择题1我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018 年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )7A周
12、期 B角速度C线速度 D向心加速度答案 A解析 “高分五号”的运动轨道半径小于“高分四号”的运动轨道半径，即 r 五 四 ，故 B 错；GMr3 1r3v ， v 五 v 四 ，故 C 错；GMr 1ra ， a 五 a 四 ，故 D 错GMr2 1r2【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律2据报道， “嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为 200 km 和 100 km，运行速率分别为 v1和 v2.那么， v1和 v2的比值为(月球半径取 1 700 km)( )A. B. C. D.1918 1918 1819 1819答案 C
13、解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有 G m ，那么卫星的线速度跟Mmr h2 v2r h其轨道半径的平方根成反比，则有 .v1v2 r h2r h1 1819【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星的线速度与半径的关系3.(多选)如图 1 所示， a、 b、 c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星， a 和 b 质量相等，且小于 c 的质量，则( )图 1A b 所需向心力最小8B b、 c 的周期相同且大于 a 的周期C b、 c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度D b、 c 的线速度大小相等，且小于 a 的线速度大小答案 ABD解析 因卫星运动的向
14、心力是由它们所受的万有引力提供的，由 F 向 知 b 所受的引力GMmr2最小，故 A 对由 mr 2 mr( )2得 T2 ，即 r 越大， T 越大，所以 b、 c 的GMmr2 2T r3GM周期相等且大于 a 的周期，B 对由 ma，得 a ，即 a ，所以 b、 c 的向心加速GMmr2 GMr2 1r2度大小相等且小于 a 的向心加速度大小，C 错由 ，得 v ，即 v ，所以GMmr2 mv2r GMr 1rb、 c 的线速度大小相等且小于 a 的线速度大小，D 对【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系4.a、 b、 c、 d 是在地球大气层外的
15、圆形轨道上运行的四颗人造卫星其中 a、 c 的轨道相交于 P， b、 d 在同一个圆轨道上， b、 c 轨道在同一平面上某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图 2 所示，下列说法中正确的是( )图 2A a、 c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度大小B b、 c 的角速度大小相等，且小于 a 的角速度大小C a、 c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度大小D a、 c 存在在 P 点相撞的危险答案 A解析 由 G m m 2r m r ma 可知，选项 B、C 错误，A 正确；因 a、 c 轨道半径Mmr2 v2r 4 2T2相同，周期相同，由题图可知当 C 卫星运行至 P 点时不相撞，
16、以后就不可能相撞了，选项 D错误【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系95伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( )名称 周期/天木卫一 1.77木卫二 3.65木卫三 7.16木卫四 16.7A.木卫一角速度最小B木卫四线速度最大C木卫四轨道半径最大D木卫一受到的木星的万有引力最大答案 C6两颗行星 A 和 B 各有一颗卫星 a 和 b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为 p，两行星的半径之比为 q，则两个卫星的周期之比 为( )MAMB
17、 RARB TaTbA. B qpq pC p D qpq qp答案 D解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有： G mR(MmR2)2，得 T ，解得： q ，故 D 正确，A、B、C 错误2T 4 2R3GM TaTb qp【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律7(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系，则下列判断正确的是( )A若 v2 R，则该层是土星的卫星群B若 v R，则该层是土星的一部分C若 v ，则该层是土星的一部分1RD
18、若 v2 ，则该层是土星的卫星群1R10答案 BD解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度 相等，由 v R 知v R，B 正确，C 错误；若是土星的卫星群，则由 G m ，得 v2 ，故 A 错误，D 正MmR2 v2R 1R确【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律8.(多选)如图 3 所示，2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志着我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度若将卫星绕地球的运动看成匀速圆
19、周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )图 3A密度 B向心力的大小C离地高度 D线速度的大小答案 CD解析 设卫星绕地球运动的周期为 T，轨道半径为 r，地球质量和半径分别为 M、 R，则在地球表面的物体： G m g， GM gR2MmR2对卫星：根据万有引力提供向心力，有G m 2rMmr2 (2T)联立式可求轨道半径 r，而 r R h，故可求得卫星离地高度由 v r r ，从而可求得卫星的线速度大小2T卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力 F G 也不能求出故选项Mmr2C、D 正确119.(多选)2016 年 10 月 16 日凌晨， “
20、神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接如图 4 所示，已知“神舟十一号” “天宫二号”对接后，组合体在时间 t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为 ，组合体轨道半径为 r，地球表面重力加速度为 g，引力常数为 G，不考虑地球自转则( )图 4A可求出地球的质量 B可求出地球的平均密度C可求出组合体做圆周运动的线速度 D可求出组合体受到地球的万有引力答案 ABC解析 组合体在时间 t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为 ，则角速度 ；万有引力 t提供组合体的向心力，则 m 2r，所以 M ，A 正确不考虑地球的自GMmr2 2r3G 2r3t2G转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的
21、万有引力，则 mg G ，解得MmR2R ，地球的密度 ( ) ，代入即可求出平均密度，B 正确根据GMg MV M43 R3 3M4 gGM32线速度与角速度的关系 v r 可知 v ，C 正确由于不知道组合体的质量，所以不能 rt求出组合体受到的万有引力，D 错误【考点】天体质量和密度的计算【题点】天体质量和密度的计算10(多选)若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L.已知月球半径为 R，引力常数为 G.则下列说法中正确的是( )A月球表面的重力加速度 g 月 2hv02L2B月球的质量 m 月 2hR2v02GL2C月球的自转周期 T2
22、 Rv0D月球的平均密度 3hv022 GL212答案 AB解析 根据平抛运动规律， L v0t， h g 月 t2，联立解得 g 月 ，选项 A 正确；由 mg12 2hv02L2月 G 解得 m 月 ，选项 B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项mm月R2 2hR2v02GL2C 错误；月球的平均密度 ，选项 D 错误m月43 R3 3hv022 GL2R【考点】天体质量和密度的计算【题点】天体质量和密度的计算11 “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 (弧度)，如图 5 所示已
23、知引力常数为 G，由此可推导出月球的质量为( )图 5A. B.l3G t2 l3Gt2C. D.lG t2 l2G t2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径 r ，根据转过的角度和l时间，可得 ，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的 t向心力，可得 G m 2r，由以上三式可得 M .Mmr2 l3G t2【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题二、非选择题12(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回
24、原处(取地球表面重力加速度 g10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度 g 星 的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为 ，求该星球的质量与地球质量之比 .R星R地 14 M星M地13答案 (1)2 m/s 2 (2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度 v0竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处，根据运动学公式可知 t .2v0g同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间 5t 小球落回原处，则5t2v0g星根据以上两式，解得 g 星 g2 m/s 215(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg ，所以 MGMmR2 g
25、R2G由此可得， .M星M地 g星g R星 2R地 2 15 142 180【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题13(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为 M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常数为 G.(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为 R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度 v1为多大？(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为 R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量 m 卫 为多大？答案 (1) (2) MGMR1 4 2R23GT22解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为 m1，有 G m1 ，解得 v1 .Mm1R12 v12R1 GMR1(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为 m2，则有 G m2R2M m卫 m2R22 4 2T22解得 m 卫 M.4 2R23GT22【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
