1、专题二十 三种面内的圆周运动及临界问题（精讲）一、水平面内的圆周运动1水平面内的圆周运动（1）题型简述：此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。（2）方法突破：选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。分析物体受力情况，其合外力提供向心力。由 Fn m =mr 2=m4Tr列方程求解。v2r【题 1】如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球 A 和 B。小球 A 和 B 的质量之比 。当小球 A 在水平面内做匀速圆周运动时，小球 A 到管口的mAmB 12绳长为 l，此时小球 B 恰好处于平衡状态。管子的内径粗细
2、不计，重力加速度为 g。试求：（1）拴着小球 A 的细绳与竖直方向的夹角 ；（2）小球 A 转动的周期。【答案】 （1）60（2） 2lg（2）对于小球 A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有 Fsin mA r lsinv2r解得小球 A 的线速度为 v32gl又 T ，则小球 A 转动的周期 T 。2 rv 2lg2水平面内圆周运动的临界问题（1）题型简述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。（2）方法突破步骤：判断临界状态：有些题目中有“刚好” “恰好” “正好”等字眼，明显表明
3、题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围” “多长时间” “多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点” ，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大” “最小” “至多” “至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的
4、趋势（半径有变化） 。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等） 。三种临界情况：接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力 FN0。相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是： FT0。【题 2】如图所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为 m1 kg 的小球（可视为质点） ， 另一端固定在一光
5、滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为 FT（sin370.6，cos 370.8， g 取 10 m/s2，结果可用根式表示） 。求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度 0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为 60，则小球的角速度 为多大？【答案】 （1） rad/s （2）2 rad/s522 5解得 02 ，即 0 rad/s。glcos glcos 522（2）同理，当细线与竖直方向成 60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan m 2lsin得 2 ，即 2 rad/s。glcos glcos 5
6、（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。第一、与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。如果只是摩擦力提供向心力，则有 Fm ，静摩擦力的方向一定指向圆心；mv2r如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。【题 3】 （多选）如图，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b（可视为质点）放在水平圆盘上， a 与转轴OO的距
7、离为 l， b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 A b 一定比 a 先开始滑动 B a、 b 所受的摩擦力始终相等C 是 b 开始滑动的临界角速度 kg2lD当 时， a 所受摩擦力的大小为 kmg2kg3l【答案】AC本题容易错选 D 选项，求摩擦力时应先判断是静摩擦力还是滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小根据公式Ff F N求解，静摩擦力的大小一般根据物体所处的状态由平衡条件或牛顿第二定律求解。【题 4】如图，水平圆盘上有两个质量相等的、可以看做质点的小
8、物块 A、 B，它们之间的连接细线经过圆心，与圆盘间的动摩擦因数大小相等，且 OB2 OA。开始时，细绳仅处于伸直状态，没有张力。现让圆盘从静止开始绕着竖直轴做转速越来越大的转动，直至刚要滑动。则以下说法正确的是A细绳中的张力从转动开始一直逐渐增大B物块 A 的摩擦力先变大后变小 C物块 A 的摩擦力先沿半径指向里再指向外D物块 B 的摩擦力先沿半径指向外再指向里【答案】C【解析】由于开始转动时，两物块的向心力均由静摩擦力提供，一段时间内绳子是没有张力的，所以选项 A 错误。当 B 物块的静摩擦力增大到最大时，绳子才开始有张力，随着转速的增大，张力也增大，则对 A： FT Ff mr 22，
9、A 受到的静摩擦力减小，当减小到零时，若转速继续增大，则 A 受到的静摩擦力将背向圆心逐渐增大，当增大到最大时， A 先开始滑动。由此看来，从开始到 A 开始滑动， A 受到的静摩擦力先增大后减小再增大，所以 B 选项错误。由上述分析知道，物块 A 的摩擦力先沿半径指向里再指向外，所以选项 C 正确。 B 开始转动时，静摩擦力提供向心力，静摩擦力指向圆心，后来一直指向圆心，所以选项 D 错误。第二、与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。【题 5】如图，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平
10、杆上 O、 A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上， OA OB AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形 OAB 始终在竖直平面内，若转动过程 OB、 AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是A OB 绳的拉力范围为 0 mg 33B OB 绳的拉力范围为 mg mg33 233C AB 绳的拉力范围为 mg mg 33 233D AB 绳的拉力范围为 0 mg233【答案】B【题 6】 （多选）质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系于一轻质细杆的 A 点和 B 点，如图，当轻杆绕轴以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，
11、 a 绳与水平方向成 角， b 绳在水平方向伸直且长为 l，则下列说法正确的有A a 绳的拉力一定大于 b 绳的拉力B a 绳的拉力随角速度的增大而增大C若角速度 2 ， b 绳将出现拉力gltan D若 b 绳突然被剪断， a 绳的弹力大小可能不变【答案】CD二、竖直面内的圆周运动1轻绳模型和轻杆模型概述（1）在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等） ，称为“轻绳模型” ；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等） ，称为“轻杆模型” 。（2） “轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉
12、力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。（3）有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下 ，只讨论最高点和最低点的情况绳、杆模型涉及的临界问题。2三类模型对比（1）拱桥模型实例：汽车过拱形桥。图示。受力特征：下有支撑，上无约束。力学方程： mg FN m 。v2r临界特征： FN0 ， mg mv2max，即 vmax 。gR过最高点条件： v 。gr讨论分析： v 时： mg FN m ， FN mg m 时：到达最高点前做斜上抛运grv2r v2r gr动飞离桥面。（2） 绳模型（最高点无支撑）实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道的“
13、过山车”等。图示。受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。受力示意图。力学方程： mg FN m 。v2R临界特征： FN0 ， mg m 即 vmin 。v2minR gR过最高点条件：在最高点的速度 v 。gR讨论分析：过最高点 时， v ， FN mg m ，绳、圆轨道对球产生弹力 FN；grv2r不能过最高点时， v 时， FN mg m ， FN指向圆心并随 v 的增大而增大。grv2r在最高点的 FN v2图线3竖直面内圆周运动的求解思路第一步，定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体
14、，也能拉物体。第二步，确定临界点： v 临 ，对轻绳，模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说gr是 FN表现为支持力还是拉力的临界点。第三步，研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。第四步，受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程 F 合 =F 向 。第五步，过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。模型 1 轻绳模型【题 7】如图所示，轻绳的一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的小球（可视为质点） 。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力 T、轻绳与竖直线
15、 OP 的夹角 满足关系式 T a bcos ，式中 a、 b 为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为A B C Db2m 2bm 3bm b3m【答案】D【题 8】有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为 R，由左右两部分组成，如图所示。右半部分 AEB 是光滑的，左半部分 BFA 是粗糙的。现在最低点 A 给一质量为 m 的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点 B，小球在 B 点又能沿 BFA 回到 A 点，到达 A 点时对轨道的压力为 4mg。在求小球在 A点的速度 v0时，甲同学的解法是：由于小球恰好到达 B 点，故在 B 点小球的速度为零， mv 2 mgR，所以
16、12 20v02 。gR在求小球由 BFA 回到 A 点的速度时，乙同学的解法是：由于回到 A 点时对轨道的压力为 4mg，故4mg ，所以 vA2 。mv2AR gR你同意两位同学的解法吗？如果同意，请说明理由；若不同意，请指出他们的错误之处，并求出结果。【答案】不同意 理由见解析模型 2 轻杆模型【题 9】如图甲所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 N，小球在最高点的速度大小为 v，其 N v2图象如图乙所示。则A小球的质量为aRbB当地的重力加速度大小为RbC v2 c 时，在最高点杆对小球
17、的弹力方向向上D v22 b 时，在最高点杆对小球的弹力大小为 2a【答案】A【题 10】 （多选）如图所示，半径为 R 的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为 2m 和 m 的静止小球 A、 B，它们由长为 2R 的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球 A 施加微小扰动。两球开始运动后，下列说法正确的是A轻杆 转到水平位置时两球的加速度大小相等B轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C运动过程中 A 球速度的最大值为4gR3D当 A 球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为 mg133【答案】ACD
18、模型 3 复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合）1模型简述：此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。2方法突破：（1）竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型” ，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。（2）速度是联系前后两个过程的关键物理量。3解题关键（1）明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二 定律和向心力公式列方程。（2）平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。（3）速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过
19、程的初速度。【题 11】如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于 O 点，下端系一质量 m1.0 kg 的小球。现将小球拉到 A 点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过 B 点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的 C点，地面上的 D 点与 OB 在同一竖直线上，已知绳长 L1.0 m， B 点离地高度 H1 .0 m， A、 B 两点的高度差 h0.5 m，重力加速度 g 取 10 m/s2，不计空气阻 力，求：（1）地面上 D、 C 两点间的距离 s；（2）轻绳所受的最大拉力大小。【答案】 （1）1.41 m（2）20 N（2）小球下摆到 B 点，绳子的拉力和小球重力的合力提供向心力，由牛
20、顿第二定律有 F mg m vB2L联立式解得 F20 N由牛顿第三定律得 F F20 N，即轻绳所受的最大拉力为 20 N。【题 12】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为 d，重力加速度为 g，忽略手的运动半径34和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小 v1和球落地时的速度大小 v2；（2）绳能承受的最大拉力；（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距
21、离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？【答案】 （1） （2） mg（3） d2gd52gd 113 d2 233解得 FT mg113（3）设绳长为 l，绳断时球的速度大小为 v3，绳承受的最大拉力不变。由牛顿第二定律得 FT mgmv23l解得 v3 83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为 d l，水平位移为 x，时间为 t1，则竖直方向 d l gt 水平方向 x v3t1，12 21解得 x4 l d l3当 l 时， x 有极大值， xmax dd2 233【题 13】如图所示，一质量为 m1 kg 的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的 A 点，随传送带运动到 B 点，小物块
22、从 C 点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道恰能做圆周运动。已知圆弧半径 R0.9 m，轨道最低点为 D， D 点距水平面的高度 h0.8 m。小物块离开 D 点后恰好垂直撞击放在水平面上 E 点的固定倾斜挡板。已知物块与传送带间的动摩擦因数 0.3，传送带以 5 m/s 恒定速率顺时针转动（ g 取10 m/s2） ，试求：（1）传送带 AB 两端的距离；（2）小物块经过 D 点时对轨道的压力大小；（3）倾斜挡板与水平面间的夹角 的正切值。【答案】 （1）1.5 m （2）60 N （3）354（2）对小物块，由 C 到 D 由动能定理得 2mgR mv mv12 2 12 21在 D 点由牛
23、顿第二定律得 FN mg mv2R解得 FN60 N由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力大小 F N FN60 N（3）小物块从 D 点抛出后做平抛运动，则 h gt212解得 t0.4 svy gt4 m/s故 tan v2vy 354三、斜面上的圆周运动1在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同，下面列举三类题型。2与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在 最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。第一、
24、静摩擦力控制下的圆周运动 【题 14】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 （设最大静摩擦32力等于滑动摩擦力） ，盘面与水平面的夹角为 30， g 取 10 m/s2。则 的最大值是A rad/s B rad/s 5 3C1.0 rad/s D0.5 rad/s【答案】C第二、轻杆控制下的圆周运动 【题 15】如图所示，在倾角为 30的光滑斜面上，有一根长为 L0.8 m 的轻杆，一端固定在 O点，另一端系一质量为 m0.2kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取 g10m
25、/s 2，若要小球能通过最高点 A，则小球在最低点 B 的最小速度是A4 m/s B2 m/s 10C2 m/s D2 m/s5 2【答案】A【解析】小球受轻杆控制，在 A 点最小速度为零，由 2mgLsin mvB2可得 vB4 m/s，A 正确。12第三、轻绳控制下的圆周运动 【题 16】如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴 MN 调节其与水平面所成的倾角。板上一根长为 l0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为 m 的小球 P，另一端固定在板上的O 点。当平板的倾角固定为 时，先将轻绳平行于水平轴 MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度 v03.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角 的值应在什么范围内？取重力加速度g10 m/s 2【答案】0 30
