1、专题十五 动力学图像、临界极值问题（精讲）一、动力学图像问题物理公式与物理图象的结合是一种重要题型，也是高考的重点及热点。1常见的图象有： v t 图象， a t 图象， F t 图象， F x 图象， F a 图象等。图象的实质是力与运动的关系问题，求解这类问题的关键是理解图象的物理意义，理解图象的轴、点、线、截、斜、面六大功能。2图象间的联系：加速度是联系 v t 图象与 F t 图象的桥梁。3图象的应用（1）已知物体在一过程中所受的某个力随时间变化的图线，要求分析物体的运动情况。（2）已知物体在一运动过程中速度、加速度随时间变化的图线，要求分析物体的受力情况。（3）通过图象对物体的受力与
2、运动情况进行分析。4解题策略（1）看清图象的横、纵坐标所表示的物理量及单位并注意坐标原来是否从 0 开始。理解图象的物理意义，能够抓住图象的一些关键点，如斜率、截距、面积、交点、拐点的物理意义。（2）判断物体的运动情况或受力情况，明确因变量与自变量间的制约关系，明确物理量的变化趋势，分析图线进而弄懂物理过程，再结合牛顿运动定律等相关规律列出与图象对应的函数方程式，进而明确“图象与公式” 、 “图象与物体”间的关系，以便对有关物理问题作出准确判断。数图结合解决动力学问题5解决图象问题的关键有：（1）分清图象的横、纵坐标所代表的物理量及单位，并且注意坐标原点是否从零开始，明确其物理意义。（2）明确
3、图线斜率的物理意义，如 v t 图线的斜率表示加速度，注意图线中一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等。（3）明确能从图象中获得哪些信息：把图象与具体的题意、情境结合，并结合斜率、特殊点等的物理意义，确定能从图象中反馈出来哪些有用信息(如 v t 图线所围面积表示位移等)并结合牛顿运动定律求解6分析图象问题时常见的误区（1）没有看清纵、横坐标所表示的物理量及单位。（2）不注意坐标原点是否从零开始。（3）不清楚图线的点、斜率、面积等的物理意义。（4）忽视对物体的受力情况和运动情况的分析。7解决图像综合问题的三点提醒（1）分清图像的类别：即分清横、纵坐标所
4、代表的物理量，明确其物理意义，掌握物理图像所反映的物理过程，会分析临界点。（2）注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等。（3）明确能从图像中获得哪些信息：把图像与具体题意、情境结合起来，再结合斜率、特殊点、面积等的物理意义，确定从图像中反馈出来的有用信息，这些信息往往是解题的突破口或关键点。题型一 与牛顿运动定律相关的 v t 图象【题 1】以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一物体所受空气阻力大小与物体速率成正比，右列用虚线和实线描述两物体运动的 v t 图象可能正确的是 D【答案】D【题 2】
5、一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为 4.5 m，如图 a 所示。 t0 时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至 t1 s 时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短） 。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后 1 s 时间内小物块的 vt 图线如图 b 所示。木板的质量是小物块质量的 15 倍，重力加速度大小 g 取 10 m/s2。求：（1）木板与地面间的动摩擦因数 1及小物块与木板间的动摩擦因数 2；（2）木板的最小长度；（3）木板右端离墙壁的最终距离。【答案】 （1） 10.1 20.4（2
6、）6 m（3）6.5 m小物块受到滑动摩擦力而向右做匀减速直线运动，加速度大小 a2 m/s24 m/s 2。4 01根据牛顿第二定律有 2mg ma2，解得 20.4木板与墙壁碰撞前，匀减速运动时间 t1 s，位移 x4.5 m，末速度 v4 m/s其逆运动则为匀加速直线运动可得 x vt a1t2解得 a11 m/s 212对小物块和木板整体受力分析，滑动摩擦力提供合外力，由牛顿第二定律得： 1（ m15 m）g（ m15 m） a1，即 1g a1解得 10.1（2）碰撞后，木板向左做匀减速运动，依据牛顿第二定律有 1（ m15 m） g 2mg15 ma3可得 a3 m/s243对小物
7、块，加速度大小为 a24 m/s 2由于 a2 a3，所以小物块速度先减小到 0，所用时间为 t11 s过程中，木板向左运动的位移为 x1 vt1 a3t m, 末速度 v1 m/s12 21 103 83小物块向右运动的位移 x2 t12 m 此后，小物块开始向左加速，加速度大小仍为 a24 m/s 2v 02木板继续减速，加速度大小仍为 a3 m/s2假设又经历 t2二者速度相等，则有 a2t2 v1 a3t243解得 t20.5 s 此过程中，木板向左运动的位移 x3 v1t2 a3t m，12 2 76末速度 v3 v1 a3t22 m/s小物块向左运动的位移 x4 a2t 0.5 m
8、12 2此后小物块和木板一起匀减速运动，二者的相对位移最大， x x1 x2 x3 x46 m小物块始终没有离开木板，所以木板最小的长度为 6 m（3）最后阶段小物块和木板一起匀减速直到停止，整体加速度大小为 a11 m/s 2向左运动的位移为 x5 2 m 所以木板右端离墙壁最远的距离为 x x1 x3 x56.5 m。v232a1【题 3】2012 年 11 月， “歼 15”舰载机在“辽宁号”航空母舰上着舰成功。图甲为利用阻拦系统让舰载机在飞行甲板上快速停止的原理示意图。飞机着舰并成功钩住阻拦索后，飞机的动力系统立即关闭，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停
9、止。某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在 t0.4 s 时恰好钩住阻拦索中间位置，其着舰到停止的速度时间图线如图乙所示。假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为 1 000 m。已知航母始终静止，重力加速度的大小为g。则A从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的 1/10B在 0.4 s2.5 s 时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化C在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过 2.5gD在 0.4 s2.5 s 时间内，阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变【答案】C【题 4】 （多选）受水平外力 F 作用的物体，在粗糙水平面上做直线运动，其 v t 图线如图所示，则下列说
10、法正确的是A在 0 t1时间内，外力 F 大小不断增大 B在 t1时刻，外力 F 为零C在 t1 t2时间内，外力 F 大小可能不断减小D在 t1 t2时间内，外力 F 大小可能先减小后增大【答案】CD题型二 与牛顿运动定律相关的 F x 图象问题【题 5】如图甲，水平面上质量相等的两木块 A、 B 用一轻弹簧相连，这个系统处于平衡状态，现用一竖直向上的力 F 拉动木块 A，使木块 A 向上做匀加速直线运动（如图乙） ，研究从力 F 刚作用在木块 A 瞬间到木块 B 刚离开地面瞬间的这一过程，并选定该过程中木块 A 的起点位置为坐标原点，则右面图中能正确表示力 F 和木块 A 的位移 x 之间
11、关系的是【答案】A【解析】初始状态弹簧被压缩，弹簧对 A 的弹力平衡着 A 所受的重力，设弹簧压缩长度为 x0，末状态弹簧被拉长，由于 B 刚离开地面，弹簧对 B 的弹力平衡着 B 所受的重力，由于 A、 B 所受重力相等，故弹簧伸长量也为 x0。初始状态 A 处于平衡状态，则 kx0 mg，当木块 A 的位移为 x 时，弹簧向上的弹力的减少量为 kx，外力 F 减去弹力的减少量为系统的合外力，故 F kx ma，则得到 F kx ma，可见 F 与 x 是线性关系，当 x0 时， ma0。【反思】根据胡克定律 F kx 得 k ，即弹簧弹力的变化量和形变量的变化量成正比。弹簧弹Fx F x力
12、随位移的变化而做线性变化， A 做匀加速直线运动，因此作用力 F 也随位移的变化而做线性变化。【题 6】如图，水平地面上有一轻质弹簧，下端固定，上端与物体 A 相连接，整个系统处于平衡状态。现用一竖直向下的力压物体 A，使 A 竖直向下做匀加速直线运动一段距离，整个过程中弹簧一直处在弹性限度内。右面关于所加力 F 的大小和运动距离 x 之间关系图象正确的是【答案】D题型三 与牛顿运动定律相关的 F t 或 a t、 F a 图象及和 v t 图象的综合应用【题 7】 （多选）如图甲所示，用粘性材料粘在一起的 A、 B 两物块静止于光滑水平面上，两物块的质量分别为 mA1 kg、 mB2 kg，
13、当 A、 B 之间产生拉力且大于 0.3 N 时 A、 B 将会分离。 t0 时刻开始对物块 A 施加一水平推力 F1，同时对物块 B 施加同一方向的拉力 F2，使 A、 B 从静止开始运动，运动过程中F1、 F2方向保持不变， F1、 F2的大小随时间变化的规律如图乙所示。则下列关于 A、 B 两物块受力及运动情况的分析，正确的是A t2.0 s 时刻 A、 B 之间作用力大小为 0.6 N B t2.0 s 时刻 A、 B 之间作用力为零C t2.5 s 时刻 A 对 B 的作用力方向向左 D从 t0 时刻到 A、 B 分离，它们运动的位移为 5.4 m【答案】AD【解析】设 t 时刻 A
14、、 B 分离，分离之前 A、 B 物体共同运动，加速度为 a，则 a 1.2 m/s2，F1 F2mA mB分离时： F2 F mBa， F2 F mBa2.7 N，由 F2 kt t 可得 t 2.7 N3 s，它们运动的位3.6 N4 s 4 s3.6 N移 x at25.4 m，则 D 正确；当 t2 s 时， F21.8 N， F2 F mBa， F mBa F20.6 N，A 正确，12B 错误；当 t2.5 s 时， F22.25 N， F2 F mBa， F mBa F20.15 N0，故 t2.5 s 时刻 A 对 B的作用力方向向右，C 错误。【反思】分析图象问题时（1）看清
15、纵、横坐标所表示的物理量及单位。 （2）注意坐标原点是否从零开始。 （3）清楚图线的交点、斜率、面积等的物理意义。 （4）对物体的受力情况和运动情况的分析。【题 8】 （多选）用一水平力 F 拉静止在水平面上的物体，在 F 从 0 开始逐渐增大的过程中，加速度 a随外力 F 变化的图象如图所示， g10 m/s 2，则可以计算出A物体与水平面间的最大静摩擦力 B F 为 14 N 时物体的速度C物体与水平面间的动摩擦因数 D物体的质量【答案】ACD【题 9】 （多选）一兴趣小组做了一次实验,实验时让某同学从桌子上跳下，自由下落 H 后双脚触地，他顺势弯曲双腿，他的重心又下降了 h 后停住,利用
16、传感器和计算机显示该同学受到地面的支持力 F 随时间变化的图象如图所示。根据图象提供的信息，以下判断正确的是A在 0 至 t2时间内该同学处于失重状态B t2时刻该同学的加速度为零C t3时刻该同学的速度达到最大D在 t3至 t4时间内该同学处于超重状态【答案】ABD【解析】在 0 到 t2时间内，支持力的大小小于重力，加速度方向向下，所以该同学处于失重状态，A正确；在 t2时刻，支持力的大小等于重力，加速度为 0，速度达到最大，B 正确，C 错误；在 t3到 t4时间内，支持力的大小大于重力，加速度方向向上，所以该同学处于超重状态，D 正确。答案 ABD【题 10】 （多选）如图甲所示，为测
17、定物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移 x 与斜面倾角 的关系，将某一物体每次以不变的初速度 v0沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角 ，实验测得x 与斜面倾角 的关系如图乙所示， g 取 10 m/s2，根据图象求出A物体的初速率 v03 m/sB物体与斜面间的动摩擦因数 0.75C取不同的倾角 ，物体在斜面上能达到的位移 x 的最小值 xmin1.44 mD当某次 30时，物体达到最大位移后静止【答案】BCD二、动力学中的临界极值问题1概念当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态，这是某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发
18、生的转折状态。 ；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件。用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。2临界或极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好” “恰好” “正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；（2）若题目中有“最大” “最小” “至多” “至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。（3）若题目中有“取值范围” 、 “多长时间” 、 “多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点” ，而这些“起止点”往往就对应临界状态。（4）若题目要求“最终加速度” 、 “稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度
19、。3解答临界问题的三种方法极限分析法、假设分析法和数学极值法。方法一 极限分析法：在题目中如出现“最大” 、 “最小” 、 “刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的。【题 11】如图所示，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为 m1和 m2的物体 A 和B。若滑轮有一定大小，质量为 m 且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。设细绳对 A 和 B 的拉力大小分别为 FT1和 FT2，已知下列四个关于 FT1的表达式中有一个是正确的。请你根据所学的物理知识
20、，通过一定的分析，判断正确的表达式是A FT1 B FT1 m 2m2 m1gm 2 m1 m2 m 2m1 m2gm 4 m1 m2C FT1 D FT1 m 4m2 m1gm 2 m1 m2 m 4m1 m2gm 4 m1 m2【答案】C方法二 假设分析法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。【题 12】如图所示，物体 A 叠放在物体 B 上， B 置于光滑水平面上， A、 B 质量分别为 mA6 kg、 mB2 kg， A、 B 之间的动摩擦因数 0.2，开始时 F10 N，此后逐渐增加，在增大到 4
21、5 N 的过程中，则A当拉力 F12 N 时，物体均保持静止状态B两物体开始没有相对运动，当拉力超过 12 N 时，开始相对滑动C两物体从受力开始就有相对运动 D两物体始终没有相对运动【答案】D方法三 数学极值法：将物理过程通过数学公式表达出来，根据数学表达式解出临界条件。【题 13】如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一个幼儿用沿与水平面成 30角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力 F6.5 N，玩具的质量 m1 kg，经过时间 t2.0 s。玩具移动了距离 x2 3m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下。取 g10 m/s 2，求：（1）玩具与地面间的动摩擦因数； （2）松开手后
22、玩具还能运动多远？（3）幼儿要拉动玩具，拉力 F 与水平面夹角多大时，最省力？【答案】 （1） （2）1.04 m（3）30时，拉力最小，最省力33【解析】 （1）玩具做初速度为零的匀加速直线运动，由位移公式可得 x at2解得 a m/s212 3对玩具，由牛顿第二定律得 Fsin 30 （ mg Fcos 30） ma 解得 33（2）松手时，玩具的速度 v at2 m/s 松手后，由牛顿第二定律得 mg ma解得 a 31033m/s2由匀变速运动的速度位移公式得玩具的位移 x 0.6 m1.04 m0 v2 2a 3（3）设拉力与水平方向的夹角为 ，玩具要在水平面上运动，则 Fcos
23、Ff0 Ff F N在竖直方向上，由平衡条件得 FN Fsin mg 解得 F mgcos sin cos sin sin（60 ）当 30时，拉力最小，最省力。1 24动力学中极值问题的临界条件（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力 FN0。（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是： FT0。（4）加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为 0
24、 时。【题 14】如图所示，质量均为 m 的 A、 B 两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于 mg 的恒力F 向上拉 B，运动距离 h 时， B 与 A 分离。下列说法正确的是A B 和 A 刚分离时，弹簧长度等于原长B B 和 A 刚分离时，它们的加速度为 g C弹簧的劲度系数等于 mghD在 B 与 A 分离之前，它们做匀加速直线运动【答案】C对 A： kx mg ma.即 F kx 时， A、 B 分离，此时弹簧处于压缩状态，由 F mg，设用恒力 F 拉 B 前弹簧压缩量为 x0，又 2mg kx0， h x0 x，解以上各式得 k ，综上所述，只有 C 项正确。 mgh【题
25、15】 （多选）如图所示， A、 B 两物块的质量分别为 2m 和 m，静止叠放在水平地面上。 A、 B 间的动摩擦因数为 ， B 与地面间的动摩擦因数为 。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g。现12对 A 施加一水平拉力 F，则A当 F3mg 时， A 相对 B 滑动 D无论 F 为何值， B 的加速度不会超过 g12【答案】BCD【解析】当 03mg 时， A 相对 B 向右做加速运动， B 相对地面也向右加速，选项 A错误，选项 C 正确。当 F mg 时， A 与 B 共同的加速度 a g ，选项 B 正确。 F 较大时，52 F 32 mg3m 13取物块 B 为研究对象，
26、物块 B 的加速度最大为 a2 g ，选项 D 正确。 2 mg 32 mgm 12【题 16】如图所示，质量为 m1 kg 的物块放在倾角为 37的斜面体上，斜面体质量为 M2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为 0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力 F，要使物块 m 相对斜面静止，试确定推力 F 的取值范围。 （sin370.6，cos370.8， g10 m/s 2）【答案】14.4 N F33.6 N设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为 F1，此时物块受力分析如图所示，取加速度的方向为 x 轴正方向。对物块，水平方向有 FNsin F Ncos ma1竖直方向有 FNco
27、s F Nsin mg0对 M、 m 整体有 F1（ M m） a1代入数值得： a14.8 m/s 2， F114.4 N设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为 F2，对物块受力分析如图，5叠加体系统临界问题的求解思路（1）隔离叠加体系统；（2）求临界加速度 am=Fm/m；（3）利用整体法，假设叠加体间无相对滑动，求解系统加速度 a；（4）比较判断： a am，无相对滑动； aam，有相对滑动。（5）计算求解：根据判断的结果进行有关计算。【题 17】如图，质量分别为 M、 m 的两物块 A、 B 叠放在一起沿光滑水平地面以速度 v 做匀速直线运动，A、 B 间的动摩擦因数为 ，在 t0 时刻对物块 A 施加一个随时间变化的推力 F kt， k 为一常量，则从力 F 作用开始到两物块刚要发生相对滑动所经过的时间为A B M m vk M m mgkMC D M m Mgkm M m gkm【答案】C
