1、1高考大题专项练三 高考中的数列1.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,公差 d0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)设 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 bn的前 n 项和 Tn.2.设数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=3,Sn+1=3Sn+3.(1)求数列 an的通项公式;2(2)若 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.+1-3.已知数列 an的首项为 1,Sn为数列 an的前 n 项和, Sn+1=qSn+1,其中 q0,nN +.(1)若 a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列 an的通项公
2、式;(2)设双曲线 x2- =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 + .22 21+22 234.已知数列 an的首项 a1= ,an+1= (nN +).23 2+1(1)求证:数列 是等比数列;1-1(2)求数列 的前 n 项和 Sn.5.(2017 江苏,19)对于给定的正整数 k,若数列 an满足: an-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数 n(nk)总成立,则称数列 an是“ P(k)数列” .(1)证明:等差数列 an是“ P(3)数列”;4(2)若数列 an既是“ P(2)数列”,又是“ P(3)数列”,证明 an是等差数列 .
3、6.设 Sn为等差数列 an的前 n 项和,已知 S3=a7,a8-2a3=3.(1)求 an;(2)设 bn= ,数列 bn的前 n 项和为 Tn,求证: Tn (nN +).1 34 1+157.已知正项数列 an的首项 a1=1,前 n 项和 Sn满足 an= (n2) .+-1(1)求证: 为等差数列,并求数列 an的通项公式;(2)记数列 的前 n 项和为 Tn,若对任意的 nN +,不等式 4Tn12(1-13)+(12-14)+( 1-1- 1+1) +(1 1+2)=12(1+12- 1+1- 1+2)12(1+12 1+1 1+1)=34 1+1.34 1+17.解(1)因为
4、 an= ,所以 Sn-Sn-1= ,即 =1,所以数列 是首项+-1 +-1 -1 为 =1,公差为 1 的等差数列,得 =n,所以 an= =n+(n-1)=2n-1(n2),1=1 +-1当 n=1 时, a1=1 也适合,所以 an=2n-1.(2)因为 ,所以 Tn= +1+1= 1(2-1)(2+1)=12( 12-1- 12+1) 12(1-13 +1315.12-1 12+1)=12(1- 12+1)所以 Tn0,且 b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.a 1=-1,-1+2d+2q=-1,3(-1)+3d+22q2=7,解得 d=-2,q=2.a n=-1
5、-2(n-1)=1-2n,bn=2n.(2)cn=2,为 奇数 ,2-12-1,为 偶数 . 当 n=2k(kN +)时,数列 cn的前 n 项和 Tn=T2k=(c1+c3+c2k-1)+(c2+c4+c2k)=2k+ + ,令 Ak= + ,(32 +723 4-122-1) 32+723 4-122-1 Ak= + ,14 323+725 4-522-1+4-122+110 Ak= +4 + +4 ,可得 Ak=34 32 (123 +125 122-1)4-122+1=3218(1- 14-1)1-144-122+1.26912+13922-1T n=T2k=2k+ .26912+13922-1 当 n=2k-1(kN +)时,数列 cn的前 n 项和 Tn=T2k-2+a2k-1=2(k-1)+ +2=2k+26912(-1)+13922(-1)-1.26912+1922-3T n= kN +.2+269-12+13922-1,=2,2+269- 12+1922-3,=2-1,
