1、1考点规范练 56 坐标系与参数方程基础巩固1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),椭圆 C 的参数方程=1+12,=32 为 ( 为参数) .设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长 .=,=22.(2017 辽宁大连一模)已知在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为 = 4cos ,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .=1-255,=1+55 2(1)求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l 的普通方程;(2)若曲线 C2的参数方程为 ( 为参数),曲
2、线 C1上点 P 的极角为 ,Q 为曲线 C2上的动=2,= 4点,求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值 .3.(2017 安徽马鞍山一模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数,=,=1+ R),在以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: sin .(-4)=2(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A,B 两点,求 |AB|的值 .34.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数, a0).在以坐标原点为=,=1+,极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,
3、曲线 C2:= 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求a.5.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数) .在以坐标原点 O 为极点, x=42,=4轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C2的极坐标方程为 cos .(+4)=22(1)把曲线 C1的参数方程化为普通方程, C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线 C1,C2相交于 A,B 两点, AB 的中点为 P,过点 P 作曲线 C2的垂线交曲线 C1于 E
4、,F 两点,求|PE|PF|的值 .4能力提升6.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),在以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建=+22,=22 立的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 2cos2+ 3 2sin2= 12,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l上 .若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 |FA|FB|的值 .7.已知直线 C1: (t 为参数),圆 C2: ( 为参数) .=1+,= =,=(1)当 = 时,求 C1被 C2截得的线段的长;35(2)过坐标原点 O 作 C1的垂线,垂足为 A,当 变化时,求点 A 轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线 .高考
5、预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 sin2=a cos (a0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 (t 为=-2+22,=-4+22参数),直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点 .(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2)若 |PA|PB|=|AB|2,求 a 的值 .6参考答案考点规范练 56 坐标系与参数方程1.解椭圆 C 的普通方程为 x2+ =1.24将直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入 x2+ =1,=1+12,=32 24得 =1,(1+12)2+(32
6、)24即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=- .167所以 AB=|t1-t2|= .1672.解(1)曲线 C1的极坐标方程为 = 4cos ,即 2=4 cos ,可得直角坐标方程: C1:x2+y2-4x=0.直线 l 的参数方程为 (t 为参数),=1-255,=1+55消去参数 t 可得普通方程: x+2y-3=0.(2)P ,直角坐标为 (2,2),Q(2cos ,sin ),M ,(22,4) (1+,1+12)M 到 l 的距离 d=|1+2+-3|57= ,105|(+4)|105从而最大值为 .1053.解(1)由 x2+(y-1)2=1,=,=1+=,-1=由
7、sin sin- cos= y-x=2,即 C2:x-y+2=0.(-4)=222 22 2(2) 直线 x-y+2=0 与圆 x2+(y-1)2=1 相交于 A,B 两点,又 x2+(y-1)2=1 的圆心(0,1),半径为 1,故圆心到直线的距离 d= ,|0-1+2|12+(-1)2=22|AB|= 2 .12-(22)2=24.解(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心, a 为半径的圆 .将 x= cos ,y= sin 代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 2-2 sin+ 1-a2=0.(2)曲线 C1,C2的公共点
8、的极坐标满足方程组2-2+1-2=0,=4. 若 0,由方程组得 16cos2- 8sin cos+ 1-a2=0,由已知 tan= 2,可得 16cos2- 8sin cos= 0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去), a=1.a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上,所以 a=1.5.解(1)消去参数可得 C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 AB 中点为 P(x0,y0),联立 可得 x2-6x+1=0.2=4,-1=0x 1+x2=6,x1x2=1,0=1+22 =3,0=2. AB 垂直平分线的参数方程为 (t
9、为参数) . =3- 22,=2+22y2=4x. 将 代入 中,得 t2+8 t-16=0,2t 1t2=-16.8|PE|PF|=|t 1t2|=16.6.解由题意,知曲线 C 的直角坐标方程为 x2+3y2=12,即 =1.212+24因为曲线 C 的左焦点 F(-2 ,0)在直线 l 上,2所以 m=-2 .2将直线 l 的参数方程代入 x2+3y2=12 得 t2-2t-2=0,故 |FA|FB|=|t1t2|=2.7.解(1)当 = 时, C1的普通方程为 y= (x-1),C2的普通方程为 x2+y2=1.3 3联立方程组 解得 C1与 C2的交点坐标为(1,0)与 .=3(-1
10、),2+2=1, (12,- 32)故 C1被 C2截得的线段的长为 =1.(1-12)2+(0+32)2(2)将 C1的参数方程代入 C2的普通方程得 t2+2tcos= 0,设直线 C1与圆 C2交于 M,N 两点, M,N 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 A 点对应的参数 t=-cos ,1+22故 A 点坐标为(sin 2 ,-cos sin ).故当 变化时,点 A 轨迹的参数方程为 ( 为参数) .=2,=-因此,点 A 轨迹的普通方程为 +y2= .(-12)2 14故点 A 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆 .(12,0) 128.解(1) sin2=a cos (a0), 2sin2=a cos (a0),即 y2=ax(a0).直线 l 的参数方程消去参数 t,得普通方程为 y=x-2.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2=ax(a0)中,得 t2- (a+8)t+4(a+8)=0,2设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2= (a+8),t1t2=4(a+8).2|PA|PB|=|AB| 2,t 1t2=(t1-t2)2. (t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即 (8+a)2=20(8+a),解得 a=2 或 a=-8(不合题意,应舍去), a 的值为 2.2
