（全国通用版）2019年中考数学复习 第三单元 函数课件+练习（打包14套）.zip

1滚动小专题(五) 函数的图象和性质类型 1 函数大致图象的判断1．函数 y＝ 的图象可能是( C)2x＋ 12．(2018·大庆)在同一直角坐标系中， 函数 y＝ 和 y＝kx－3 的图象大致是( B)kxA B C D3．已知 m≠0，函数 y＝－mx 2＋n 与 y＝ 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( B)mnxA B C D4．(2018·泰安)二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，则反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝ax＋b 在同一坐标ax系内的大致图象是( C)A B C D5．(2018·菏泽)已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，则一次函数 y＝bx＋a 与反比例函数 y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是( B)a＋ b＋ cxA B C D6．(2017·安徽)已知抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与反比例函数 y＝ 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为 1，bx则一次函数 y＝bx＋ac 的图象可能是( B)27．已知函数 y＝－(x－m)(x－n)(其中 m＜n)的图象如图所示，则一次函数 y＝mx＋n 与反比例函数 y＝ 的图象m＋ nx可能是( C)A B C D类型 2 函数图象与字母系数之间的关系8．如果一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数)的图象不经过第二象限，那么 k，b 应满足的条件是( A)A．k＞0 且 b≤0 B．k＜0 且 b＞0C．k＞0 且 b≥0 D．k＜0 且 b＜09．(2018·枣庄)如图是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 图象的一部分，且过点 A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是( D)A．b 2＜4ac B．ac＞0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝010．(2018·遂宁)已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( C)A. B. C. D.{abc＞ 0b2－ 4ac＜ 0) {abc＜ 02a＋ b＞ 0) { abc＞ 0a＋ b＋ c＜ 0) { abc＜ 0b2－ 4ac＞ 0)11．(2018·威海)抛物线 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论错误的是( D)A．abc＜0 B．a＋c＜b C．b 2＋8a＞4ac D． 2a＋b＞012．(2018·烟台)如图，二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象与 x轴交于点 A(－1，0)，B(3，0)，下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c) 2＜b 2；③当－1＜x＜3 时，y＜0；④当 a＝1 时，将抛物线先向上平移 2个单位长度，再向右平移 1个单位长度，得到抛物线 y＝(x－2) 2－2.其中正确的是( D)A．①③ B．②③ C．②④ D．③④313．如图是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象，下列结论：①二次三项式 ax2＋bx＋c 的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程 ax2＋bx＋c＝1 的两根之和为－1；④使 y≤3 成立的 x的取值范围是 x≥0.其中正确的个数有( B)A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个14．(2018·衡阳)如图，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与 x轴交于点 A(－1，0)，顶点坐标(1，n)与 y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＜0；②－1≤a ≤－ ；③对于任意实数 m，a＋b≥am 2＋bm 总成立；23④关于 x的方程 ax2＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( D)A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个15.(2018·随州)如图所示，已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C.对称轴为直线 x＝1.直线 y＝－x＋c 与抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 交于 C，D 两点，D 在 x轴下方且横坐标小于 3，则下列结论：①2a＋b＋c＞0；②a－b＋c＜0；③x(ax＋b)≤a＋b；④a＜－1.其中正确的有( A)A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个16．给出下列命题及函数 y＝x，y＝x 2和 y＝ 的图象．①如果 aa2，那么 0a ，那么 a1；③1x 1a 1a如果 a2a，那么－1 a，那么 a－1，则( A)1a 1aA．正确的命题是①④4B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③1滚动小专题(四) 一次函数与反比例函数的综合1．(2018·菏泽 T20·7 分)如图，已知点 D 在反比例函数 y＝ 的图象上，过点 D 作 DB⊥y 轴，垂足为 B(0，3)，ax直线 y＝kx＋b 经过点 A(5，0)，与 y 轴交于点 C，且 BD＝OC，OC∶OA＝2∶5.(1)求反比例函数 y＝ 和一次函数 y＝kx＋b 的表达式；ax(2)直接写出关于 x 的不等式 ＞kx＋b 的解集．ax解：(1)∵BD＝OC，OC∶OA＝2∶5，点 A(5，0)，点 B(0，3)，∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3.1 分又∵点 C 在 y 轴负半轴上，点 D 在第二象限，∴点 C 的坐标为(0，－2)，点 D 的坐标为(－2，3)．∵点 D(－2，3)在反比 例函数 y＝ 的图象上，ax∴a＝－2×3＝－6.∴反比例函数的表达式为 y＝－ .3 分6x将 A(5，0)，C(0，－2) 代入 y＝kx＋b，得解得{5k＋ b＝ 0，b＝ － 2， ) {k＝ 25，b＝ － 2.)∴一次函数的表达式为 y＝ x－2.5 分25(2)不等式 ＞kx＋b 的解集为 x＜0.7 分ax2．(2018·江西)如图，反比例函数 y＝ (k≠0) 的图象与正比例函数 y＝2x 的图 象相交于 A (1，a)，B 两点，kx点 C 在第四象限， CA∥y 轴，∠ABC＝90°.(1)求 k 的值及点 B 的坐标；(2)求 tanC 的值．解：(1)∵点 A(1，a)在 y＝2x 上， ∴a＝2.∴A(1，2)．2把 A(1，2)代入 y＝ 得 k＝2. kx∵A，B 两点关于原点 O 中心对称，∴B(－1，－2)．(2)设 AC 交 x 轴于点 D.∵CA∥y 轴，∴AC⊥x 轴，即∠ADO＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠AOD. ∴ tanC＝ tan∠AOD＝ ＝ ＝2. ADOD 213．(2018·宜宾)如图，已知反比例函数 y＝ (m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数 y＝－x＋b 的图象经过反比mx例函数图象上的点 Q(－4，n)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)一次函数的图象分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数图象的另一个交 点为 P 点，连接OP，OQ，求△OPQ 的面积．解：(1)反 比例函数 y＝ (m≠0)的图象经过点(1，4)，mx∴4＝ ，解得 m＝4，故反比例函数的表达式为 y＝ .m1 4x一次函数 y＝－x＋b 的图象与反比例函数的图象相交于点 Q(－4，n)，∴ 解得{n＝ 4－ 4，n＝ － （ － 4） ＋ b， ) {n＝ － 1，b＝ － 5.)∴一次函数的表达式为 y＝－x－5.(2)由 解得 或{y＝ 4x，y＝ － x－ 5， ) {x＝ － 4，y＝ － 1， ) {x＝ － 1，y＝ － 4.)∴点 P(－1，－4)．在一次函数 y＝－x－5 中，令 y＝0 ，得－x－5＝0，解得 x＝－5，故点 A(－5，0)．S△OPQ ＝S △OPA －S △OAQ ＝ ×5×4－ ×5×1＝7.5.12 124．(2017·贵阳)如图，直线 y＝2x＋6 与反比例函数 y＝ (k＞0)的图象交于点 A(1，m)，与 x 轴交于点 B，平 行kx于 x 轴的直线 y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点 M，交 AB 于点 N，连接 BM.(1)求 m 的值和反比例函数的表达式；(2)直线 y＝n 沿 y 轴方向平移，当 n 为何值时，△BMN 的面积最大？3解：(1)∵直线 y＝2x＋6 经过点 A(1，m)．∴m＝2×1＋6＝8.∴A(1，8)．∵反比例函数经过点 A(1，8)，∴8＝ .k1∴k＝8.∴反比例函数的解析式为 y＝ .8x(2)由题意，点 M，N 的坐标为 M( ，n)，N( ，n)．8n n－ 62∵0＜n＜6，∴ ＜0.n－ 62∴S △BMN ＝ ×(| |＋| |)×n＝ ×(－ ＋ )×n＝－ (n－3) 2＋ .12 n－ 62 8n 12 n－ 62 8n 14 254∴n＝3 时，△BMN 的面积最大．5．(2018·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(4，2)，直线 y＝－ x＋ 与边 AB，BC12 52分别相交于点 M，N，函数 y＝ (x＞0)的图象过点 M.kx(1)试说明点 N 也在函数 y＝ (x＞0)的图象上； kx(2)将直线 MN 沿 y 轴的负方向平移得到直线 M′N′，当直线 M′N′与函数 y＝ (x＞0)的图象仅有一个交点时，kx求直线 M′N′的解析式. 解：(1)∵矩形 OABC 的顶点 B 的 坐标为(4，2)，∴点 M 的横坐标为 4，点 N 的纵坐标为 2.把 x＝4 代入 y＝－ x＋ ，得 y＝ ， 12 52 124∴点 M 的坐标为(4， )．12把 y＝2 代入 y＝－ x＋ ，得 x＝1.12 52∴点 N 的坐标为(1，2)．∵函数 y＝ (x＞0)的图象过点 M，kx∴k＝4× ＝2.∴y＝ (x＞0)．12 2x把 N(1，2)代入 y＝ ，得 2＝2.2x∴点 N 也在函数 y＝ (x＞0)的图象 上．kx(2)设直线 M′N′的解析式为 y＝－ x＋b.12由 得，x 2－2bx＋4＝0.{y＝ － 12x＋ b，y＝ 2x )∵直线 y＝－ x＋b 与函数 y＝ (x＞0)的图象仅有一个交点，12 2x∴(－2b) 2－4×4＝0，解得 b1＝2，b 2＝－2 (舍去)．∴直线 M′N′的解析式为 y＝－ x＋2.126．(2018·遂宁)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 y＝ (m≠0)的图象交mx于第二、四象限 A，B 两点，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，AD＝4， sin∠AOD＝ 且点 B 的坐标为(n，－2)．45(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)E 是 y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 E 点坐标．解：(1)∵一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝ 图象交于 A 与 B，且 AD⊥x 轴，mx∴∠ADO＝90°.在 Rt△ADO 中，AD＝4， sin∠AOD＝ ，45∴ ＝ ，即 AO＝5.ADAO 45根据勾股定理，得 DO＝ ＝3.52－ 42∴A(－3，4)．5代入反比例函数解析式，得 m＝－12，即 y＝－ .12x把 B 坐标代入，得 n＝6，即 B(6，－2)，代入一次函数解析式，得解得{－ 3k＋ b＝ 4，6k＋ b＝ － 2， ) {k＝ － 23，b＝ 2. )∴y＝－ x＋2.23(2)当 OA＝AE 1＝5 时，得到 OE1＝2AD＝8，即 E1(0，8)．当 OE3＝OE 2＝AO＝5，即 E2(0，－5)，E 3(0，5)．当 AE4＝OE 4时，设 E4坐标为(0，a)，则 a2＝(0－3) 2＋(a－4) 2，解得 a＝ ，258即 E4(0， )．258综上，当点 E 为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或(0， )时，△AOE 是等腰三角形．2581第 10讲 一次函数第 1课时 一次函数的图象与性质重难点 一次函数的图象与性质已知，函数 y＝(1－2m)x＋2 m＋1，试解决下列问题：(1)当 m＝2 时，直线所在的象限是第一、二、四象限；(2)若 y随 x的增大而增大，则 m的取值范围是多少？(3)证明直线 y＝(1－2m)x＋2m＋1 必过点(1，2)；(4)当函数 y＝(1－2m)x＋2m＋1 向上平移 3个单位长度时得到 y＝(1－2m)x＋2，m 的值为－1；(5)若函数图象与 x轴的交点坐标为 A，与 y轴的交点为 B(0，3)，则△A BO的面积为 ；92(6)若函数图象与直线 y＝x－1 交于点(2，1)，则关于 x的不等式 x－1(1－2m)x＋2m＋1 的解集是多少？(7)当 m＝0 时，y＝x＋1，将正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2按如图所示方式放置，点 A1，A 2，A 3，…和点C1，C 2，C 3，…分别在直线 y＝x＋1 和 x轴上，则点 B10的坐标是(2 10－1，2 9)．【自主解答】 解：(2)m2.一次函数的图象和性质都与解析式中 k，b 的取值有关，利用 k，b 的取值可以确定图象经过的象限、方 法 指 导可确定一次函数的增减性、也可确定与坐标轴的交点或两条直线的交点等；反之，也可结合函数图象确定 k，b 取值(或范围)来解决相关问题．用待定系数法求一次函数的解析式可从特殊点(与 x轴、y 轴的交点)入手：一次函数图象与 y轴交点的纵坐标的值即一次函数 y＝kx＋b 中 b的值，可直接代入．考点 1 一次函数的概念1．(2018·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是( B)A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数考点 2 一次函数的图象与性质2．(2018·常德)若一次函数 y＝(k－2)x＋1 的函数值 y随 x的增大而增大，则( B)A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜03．(2018·湘潭)若 b＞0，则一次函数 y＝－x＋b 的图象大致是( C)2A B C D4．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝－2x＋1 的图象经过 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两点．若x1＜x 2，则 y1＞y 2.(填“＞” “＜”或“＝”)5．(2018·巴中)直线 y＝2x＋6 与两坐标轴围成的三角形面积是 9．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的对称中心与原点重合，顶点 A的坐标为(－1，1)，顶点 B在第一象限．若点 B在直线 y＝kx＋3 上，则 k的值为－2．考点 3 一次函数解析式的确定7．(2018·枣庄)如图，直线 l是一次函数 y＝kx＋b 的图象，如果点 A(3，m)在直线 l上，则 m的值为( C)A．－5 B. C. D．732 528．如图，正方形 AOBC的两边分别在直线 l1和 l2上，且 AO＝4，AO 与 y轴之间的夹角为 60°，则 l1的解析式为y＝ x＋8．39．(2017·杭州)在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b(k，b 都是常数，且 k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2＜x≤3 时，求 y的取值范围；(2)已知点 P(m，n)在该函数的图象上，且 m－n＝4，求点 P的坐标．解：(1)已知一次函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，将(1，0)和(0，2)两点代入，得解得{0＝ k＋ b，2＝ b. ) {k＝ － 2，b＝ 2. )∴y＝－2x＋2.当－20)个单位长度．若平移后得到的直线与半径为 6的⊙O 相交(点 O为坐标原点)，则 m的取值范围为 0＜m＜ ．13219．(2018·河北)如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y＝－ x＋5 的图象 l1分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，12正比例函数的图象 l2与 l1交于点 C(m，4)．(1)求 m的值及 l2的解析式；(2)求 S△AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数 y＝kx＋1 的图象为 l3，且 l1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出 k的值．解：(1)把 C(m，4)代入 y＝－ x＋5，得 m＝2.12设 l2的解析式为 y＝kx.把 C(2，4)代入 y＝kx，得 k＝2.∴l 2的解析式为 y＝2x.(2)把 x＝0 代入 y＝－ x＋5，得 y＝5，即 B(0，5)．12把 y＝0 代入 y＝－ x＋5，得 x＝10，即 A(10，0)．12∴S △BOC ＝ ×5×2＝5，S △AOC ＝ ×10×4＝20.12 12∴S △AOC －S △BOC ＝20－5＝15.(3)①过点 C时，k＝ .32②与 l1平行时，k＝－ .12③与 l2平行时，k＝2. 5第 2课时 一次函数的应用重难点 一次函数的实际应用(2018·黄石)某年 5月，我国南方某省 A，B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人被迫转移，邻近县市 C，D获知 A，B 两市分别急需救灾物资 200吨和 300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知 C市有救灾物资 240吨，D市有救灾物资 260吨，现将这些救灾物资全部调往 A，B 两市．已知从 C市运往 A，B 两市的费用分别为每吨 20元和 25元，从 D市运往 A，B 两市的费用分别为每吨 15元和 30元，设从 D市运往 B市的救灾物资为 x吨．(1)请填写下表：A(吨) B(吨) 合计(吨)C x－60 300－x 240D 260－x x 260总计(吨) 200 300 500(2)设 C，D 两市的总运费为 w元，求 w与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(3)经过抢修，从 D市到 B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 m元(m＞0)，其余路线运费不变．若 C，D 两市的总运费的最小值不小于 10 320元，求 m的取值范围．【思路点拨】 (1)根据表格的总分量关系填空即可；(2)根据：运费＝救灾物资的重量×相应每吨的运费，求出 w与 x的函数关系式即可，并写出 x的取值范围；(3)根据题意，可列出含有参数 m的关于 x的函数关系式，由于 m对函数增减性的影响，注意分段讨论求其最值，并分别求出 m的取值范围．【自主解答】 解：(2)由题意可得，w＝20(x－60)＋25(300－x)＋15(260－x)＋30x＝10x＋10 200，∴w＝10x＋10 200(60≤x≤260)．(3)由题意可得，w＝10x＋10 200－mx＝(10－m)x＋10 200，当 0＜m＜10 时，x＝60 时，w 取得最小值，此时 w＝(10－m)×60＋10 200≥10 320，解得 0＜m≤8.当 m＞10 时，x＝260 时，w 取得最小值，此时，w＝(10－m)×260＋10 200≥10 320，解得 m≤ .12413∵ ＜10，∴m＞10 这种情况不符合题意．12413由上可得，m 的取值范围是 0＜m≤8.1.利用数量关系求函数的解析式.2.利用分类讨论思想求参数的取值．例 题 剖 析一次函数与不等式结合考查时，常用方法如下：①在涉及求最值、最大利润问题时，通常会利用一方 法 指 导次函数的增减性及构成函数的自变量的取值范围来求解；②在遇到方案选取问题时，往往涉及两个一次函数或分段函数，常利用不等式进行比较，往往涉及分类讨论思想．【变式训练 1】 (2018·临沂)甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达 B地后，乙继续前行．设出发 x h后，两人相距 y km，图中折线表示从两人出发至乙到达 A地的过程中 y与 x之间的函数关系．根据图中信息，求：(1)点 Q的坐标，并说明它的实际意义；(2)甲、乙两人的速度．6解：(1)设 PQ解析式为 y＝kx＋b.把已知点 P(0，10)，( ， )代入，得14 152解得{152＝ 14k＋ b，b＝ 10. ) {k＝ － 10，b＝ 10. )∴y＝－10x＋10.当 y＝0 时，x＝1.∴点 Q的坐标为(1，0)．点 Q的意义是：甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发后，经过 1个小时两人相遇．(2)设甲的速度为 a km/h，乙的速度为 b km/h.由图知第 小时时，甲到 B地，则乙走 1小时的路程，甲仅需走( －1)小时，53 53∴ 解得{a＋ b＝ 10，b＝ 23a. ) {a＝ 6，b＝ 4.)∴甲、乙的速度分别为 6 km/h、4 km/h.①首先，读懂图象中的横，纵坐标代表的量；②拐点：图象上的拐点，既是前一段函数变化的终点，方 法 指 导也是后一段函数的起点；③水平线：函数值随自变量的变化而保持不变．【变式训练 2】 (2018·孝感 T22·10分)“绿水青山就是金山银山” ，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理 A，B 两种型号的净水器，每台 A型净水器比每台 B型净水器进价多 200元，用 5万元购进 A型净水器与用 4.5万元购进 B型净水器的数量相等．(1)求每台 A型、B 型净水器的进价各是多少元？(2)槐荫公司计划购进 A，B 两种型号的净水器共 50台进行试销，其中 A型净水器为 x台，购买资金不超过9.8万元．试销时 A型净水器每台售价 2 500元，B 型净水器每台售价 2 180元，槐荫公司决定从销售 A型净水器的利润中按每台捐献 a(70＜a＜80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完 50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W，求 W的最大值．解：(1)设 A型净水器每台的进价为 m元，则 B型净水器每台的进价为(m－200)元，根据题意，得＝ . 2分50 000m 45 000m－ 200解得 m＝2 000.经检验，m＝2 000 是分式方程的解. 3 分∴m－200＝1 800.答：A 型净水器每台的进价为 2 000元，B 型净水器每台的进价为 1 800元. 4 分(2)根据题意，得 2 000x＋1 800(50－x)≤98 000，解得 x≤40. 6 分W＝(2 500－2 000)x＋(2 180－1 800)(50－x)－ax＝(120－a)x＋19 000， 8 分7∵当 70＜a＜80 时，120－a＞0，∴W 随 x增大而增大. 9分∴当 x＝40 时，W 取最大值，最大值为(120－a)×40＋19 000＝23 800－40a.∴W 的最大值是(23 800－40a)元. 10 分先确定函数解析式，然后确定自变量的取值范围，最后根据函数的增减性，结合自变量的取值范围方 法 指 导确定函数最值，从而达到优化方案的目的．考点 1 图象型问题1．若弹簧的总长度 y(cm)是所挂重物 x(千克)的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是( B)A．5 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm2．(2018·衢州)星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆借书，再骑车回到家，他离家的距离 y(千米)与时间 t(分)的关系如图所示，则上午 8：45 小明离家的距离是 1.5千米．3．(2018·杭州改编)某日上午，甲，乙两车先后从 A地出发沿同一条公路匀速前往 B地，甲车 8点出发，如图是其行驶路程 s(千米)随行驶时间 t(小时)变化的图象．乙车 9点出发，若要在 11点前(含 11点)追上甲车，则乙车的速度 v(单位：千米/小时)的范围是 v≥60．4．(2018·绍兴)一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1升/千米，如图是油箱剩余油量 y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象．(1)根据图象，直接写出汽车行驶 400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；(2)求 y关于 x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5升时，已行驶的路程．8解：(1)汽车行驶 400千米时，剩余油量 30升；加满油时油箱的油量为 70升．(2)设 y＝kx＋b(k≠0)，把点(0，70)，(400，30)坐标分别代入得 b＝70，k＝－0.1，∴y＝－0.1x＋70，当 y＝5 时，x＝650，即已行驶的路程为 650千米．考点 2 文字型问题5．(2017·德州)公式 L＝L 0＋KP 表示当重力为 P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 0代表弹簧的初始长度，用厘米( cm)表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米( cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( A)A．L＝10＋0.5P B．L＝10＋5PC．L＝80＋0.5P D．L＝80＋5P6．(2018·泰安)文美书店决定用不多于 20 000元购进甲、乙两种图书共 1 200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本 20元、14 元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本的售价的 1.4倍，若用 1 680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用 1 400元购买乙种图书的本数少 10本．(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低 3元，乙种图书售价每本降低 2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完．)解：(1)设乙种图书售价每本 x元，则甲种图书售价为每本 1.4x元．由题意，得－ ＝10.1 400x 1 6801.4x解得 x＝20.经检验，x＝20 是原方程的解．∴甲种图书售价为每本 1.4×20＝28(元)．答：甲种图书售价每本 28元，乙种图书售价每本 20元．(2)设甲种图书进货 a本，总利润 W元，则W＝(28－20－3)a＋(20－14－2)(1 200－a)＝a＋4 800.∵20a＋14×(1 200－a)≤20 000.解得 a≤ .1 6003∵W 随 a的增大而增大，∴当 a最大时，W 最大．∴当 a＝533 时，W 最大．此时，乙种图书进货本数为 1 200－533＝667(本)．答：甲种图书进货 533本，乙种图书进货 667本时利润最大．7．(2018·铜仁)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1张办公桌必须买 2把椅子，椅子每把100元，若学校购进 20张甲种办公桌和 15张乙种办公桌共花费 24 000元；购买 10张甲种办公桌比购买 5张乙种办公桌多花费 2 000元．(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共 40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设甲种办公桌每张 x元，乙种办公桌每张 y元，根据题意，得 {20x＋ 15y＋ 7 000＝ 24 000，10x－ 5y＋ 1 000＝ 2 000， )解得 {x＝ 400，y＝ 600.)答：甲种办公桌每张 400元，乙种办公桌每张 600元．9(2)设甲种办公桌购买 a张，则购买乙种办公桌(40－a)张，购买的总费用为 y，则 y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32 000，∵a≤3(40－a)，∴a≤30.∵－200＜0，∴y 随 a的增大而减小．∴当 a＝30 时，y 取得最小值，最小值为 26 000元．考点 3 表格型问题8．(2018·云南)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲、乙两种原料开发 A，B 两种商品，为科学决策，他们试生产 A，B 两种商品 100千克进行深入研究，已知现有甲种原料 293千克，乙种原料 314千克，生产 1千克 A商品，1 千克 B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．甲种原料(单位：千克)乙种原料(单位：千克)生产成本(单位：元)A商品 3 2 120B商品 2.5 3.5 200设生产 A种商品 x千克，生产 A，B 两种商品共 100千克的总成本为 y元，根据上述信息，解答下列问题：(1)求 y与 x的函数解析式(也称关系式)，并直接 写出 x的取值范围；(2)x取何值时，总成本 y最小？解：(1)由题意，得y＝120x＋200(100－x)＝－80x＋20 000.由题意，得 {3x＋ 2.5（ 100－ x） ≤ 293，2x＋ 3.5（ 100－ x） ≤ 314， )解得 24≤x≤86.(2)∵y＝－80 x＋20 000，∴y 随 x的增大而减小．∴x＝86 时，y 最小．则 y＝－80×86＋20 000＝13 120(元)．9．(2018·南充)某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用 10 000元采购 A型丝绸的件数与用 8 000元采购 B型丝绸的件数相等，一件 A型丝绸进价比一件 B型丝绸进 价多 100元．(1)求一件 A型、B 型丝绸的进价分别为多少元？(2)若销售商购进 A型、B 型丝绸共 50件，其中 A型的件数不大于 B型的件数，且不少于 16件，设购进 A型丝绸 m件．①求 m的取值范围；②已知 A型的售价是 800元/件，销售成本为 2n元/件；B 型的售价为 600元/件，销售成本为 n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润 w(元)与 n(元)的函数关系式．(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)解：(1)设一件 B型丝绸的进价为 x元，则一件 A型丝绸的进价为(x＋100)元．根据题意，得＝ .10 000x＋ 100 80 000x解得 x＝400.经检验，x＝400 为原方程的解．∴x＋100＝500.答：一件 A型、B 型丝绸的进价分别为 500元，400 元．10(2)①根据题意，得 {m≤ 50－ m，m≥ 16， )∴m 的取值范围为 16≤m≤25.②设销售这批丝绸的利润为 y，根据题意，得y＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)·(50－m)＝(100－n)m＋10 000－50n.∵50≤n≤150，∴(Ⅰ)当 50≤n＜100 时，100－n＞0.m＝25 时，销售这批丝绸的最大利润 w＝－75n＋12 500.(Ⅱ)当 n＝100 时，100－n＝0，销售这批丝绸的最大利润 w＝5 000，(Ⅲ)当 100＜n≤150 时，100－n＜0，当 m＝16 时，销售这批丝绸的最大利润 w＝－66n＋11 600.1第 11讲 反比例函数重难点 1 反比例函数的图象和性质已知反比例函数 y＝ ，完成下列问题：kx(1)若 k0y2，则 x1与 x2的大小关系kx是 x10)与双曲线 y＝ 交于 A(x1，y 1)和 B(x2，y 2)两点，则 3x1y2－9x 2y1的6x值为 36．重难点 2 反比例函数中 k的几何意义(1)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y＝ (x0)的图象交矩形 OABC的边 AB于点 D，交边 BC于点kxE，且 BE＝2EC.①若四边形 ODBE的面积为 6，则 k的值为 3．方法一：坐标法(通法)第一步：设点2设点 C的坐标为(a，0)．第二步：标其他点∵点 E在反比例函数图象上，∴代入得 yE＝ ，则点 E坐标为(a， )．ka ka∵BE＝2EC，∴点 B的坐标为(a， )．3ka又∵点 D与点 B的纵坐标一样，且点 D在反比例函数图象上，∴点 D的坐标为( ， )．a3 3ka第三步：列方程∵S 四边形 ODBE＝S 四边形 ODBC－S △OCE ＝6，∴代入各点坐标后解得，k＝3．方法二：面积法连接 OB，∵四边形 OABC是矩形，点 D，E 在反比例函数图象上，∴S △OAD ＝S △OCE ＝ .k2又∵BE＝2EC，∴S △OBE ＝2S △OCE ＝k.∵OB 是矩形的对角线，∴S △AOB ＝S △BOC ＝ .3k2∴S △OBD ＝S △OBE ＝k.∴S 四边形 ODBE＝S △ODB ＋S △OBE ＝2k＝6，即 k＝3.②【 拓展提问】 连接 DE，若△BDE 的面积为 6，则 k＝9．(2)如图，A，B 是双曲线 y＝ 上的两点，过点 A作 AC⊥x 轴，交 OB于点 D，垂足为 C.若△ADO 的面积为 1，D 为kxOB的中点，则 k的值为－ ．83(3)(2018·玉林)如图，点 A，B 在双曲线 y＝ (x＞0)上，点 C在双曲线 y＝ (x＞0)上．若 AC∥y 轴，BC∥x 轴，3x 1x且 AC＝BC，则 AB等于( B)A. B．2 C．4 D．32 2 2(4)如图，O 为坐标原点，四边形 OACB是菱形，OB 在 x轴的正半轴上， sin∠AOB ＝ ，反比例函数 y＝ 在第一象45 48x限的图象经过点 A，与 BC交于点 F，则△AOF 的面积等于( D)A．60 B．80 C．30 D．403坐标法求 k的几何意义的步骤：第一步→设点．用未知数表示点的坐标，通常从较小的点开始；第方 法 指 导二步→标其他点．将图中所用到的点都用假设的未知数表示；第三步→列方程．根据已知条件，一般是利用面积或将点的坐标代入解析式．(请务必将此方法学会，以应对题型的变化)如图，则 S△OAB ＝S 梯形 ABCD.模 型 构 建如图，结论：矩形 ABCO与反比例函数图象交于点 E，F，则 ＝ .CECB AFAB在运用 k的几何意义确定 k值时，一定要结合函数图象确定 k取值的范围，否则易出现符号错误．易 错 提 示几何图形与“两条”双曲线相交变 式 点(4)题如果用面积法怎么做？思 考提示：连接 AB，则 S△AOB ＝S △AOF重难点 3 反比例函数与一次函数综合(2018·淄博改编)如图，直线 y1＝－x＋4，y 2＝ x＋b 都与双曲线 y＝ 交于点 A(1，m)，这两条直线分别34 kx与 x轴交于 B，C 两点．(1)求 y与 x之间的函数关系式；(2)直接写出当 x＞0 时，不等式 x＋b＞ 的解集；34 kx(3)若点 P在 x轴上，连接 AP把△ABC 的面积分成 1∶3 两部分，求此时点 P的坐标．【思路点拨】 (1)求出点 A的坐标，将点 A坐标代入 y＝ ，即可求出 y与 x之间的函数关系式；(2)观察图kx象即可得出解集；(3)分两种情况讨论，CP＝3PB 或 CP＝ BP.13【自主解答】 解：(1)将 A(1，m)代入 y1＝－x＋4，可得4m＝－1＋4＝3.∴A(1，3)．将 A(1，3)代入双曲线 y＝ ，可得 k＝1×3＝3.kx∴y 与 x之间的函数关系式为 y＝ .3x(2)∵A(1，3)，∴当 x＞0 时，不等式 x＋b＞ 的解集为 x＞1.34 kx(3)y1＝－x＋4，令 y＝0，则 x＝4.∴点 B的坐标为(4，0)．把 A(1，3)代入 y2＝ x＋b.可得 3＝ ＋b.∴b＝ .34 34 94∴y 2＝ x＋ .34 94令 y＝0，则 x＝－3，即 C(－3， 0)．∴BC＝7.∵AP 把△ABC 的面积分成 1∶3 两部分，∴CP＝ BC＝ ，或 BP＝ BC＝ .14 74 14 74∴OP＝3－ ＝ ，或 OP＝4－ ＝ .∴P(－ ，0)或( ，0)．74 54 74 94 54 94对于一次函数与反比例函数综合题，常涉及以下几个方面：方 法 指 导1．求交点坐标：联立方程组求解即可．2．确定函数解析式：将交点坐标代入 y＝ 可求 k，由两交点 A，B 坐标利用待定系数法可求 y＝ax＋b.kx3．利用函数图象确定不等式 ax＋b＞ 或 ax＋b＜ 的解集时，数形结合进行分析判断：kx kx(1)先找交点，以交点为界；(2)观察交点左右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系；(3)根据：图象在上方，函数值较大，图象在下方，函数值较小，即可求出自变量的取值范围．4．涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度，对于所求图形的边均不在 x轴、y 轴或不与坐标轴平行的时候，不便直接求，可分割为易求的规则图形面积进行相关转化．Ｋ【拓展提问】 (4)设 y1＝－x＋4 与双曲线的另一交点为点 D，在 x轴上找一点 Q使得 QA＋QD 的值最小，并写出Q点坐标：( ，0)．52【变式训练 3】 (2018·潍坊改编)如图，直线 y＝3x－5 与反比例函数 y＝ 的图象相交于 A(2，m)，B(n，－6)两k－ 1x点，连接 OA，OB.(1)则 k＝3，n＝－ ；13(2)求△AOB 的面积．解：设直线 y＝3x－5 分别与 x轴，y 轴相交于点 C，点 D，当 y＝0 时，即 3x－5＝0，x＝ ，∴OC＝ .53 535当 x＝0 时，y＝3×0－5＝－5，∴OD＝5.∵点 A(2，m)在直线 y＝3x－5 上，∴m＝3×2－5＝1，即 A(2，1)．∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △COD ＋S △BOD ＝ ×( ×1＋ ×5＋ ×5)＝ .12 53 53 13 356求两个交点与坐标原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同——一次函数图象与坐标轴的交点；方 法 指 导求三角形面积时可采用割补法．考点 1 反比例函数的图象与性质1．(2018· 柳州)已知反比例函数的解析式为 y＝ ，则 a的取值范围是( C)|a|－ 2xA．a≠2 B．a≠－2 C．a≠±2 D．a＝±22．(2018·海南)已知反比例函数 y＝ 的图象过点 P(－1，2)，则这个函数的图象位于( D)kxA．二、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限3．(2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线 y＝k 1x(k1≠0)与双曲线 y＝ (k2≠0)相交于 A，B 两点，k2x已知点 A的坐标为(1，2)，则点 B的坐标为( A)A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－1) D．(－2，－2)4．(2018·衡阳)对于反比例函数 y＝－ ，下列说法不正确的是( D)2xA．图象分布在第二、四象限B．当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大C．图象经过点(1，－2)D．若点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)都在图象上，且 x1＜x 2，则 y1＜y 25．反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝－kx－k 在同一直角坐标系中的图象可能是( C)kx6．(2017·兰州)如图，反比例函数 y＝ (x0)与一次函数 y＝x＋4 的图象交于 A，B 两点，A，B 两点的横坐标分kx别为－3，－1，则关于 x的不等式 x＋4(x0)的解集为( B)kx6A．x－3 B．－3x－1 C．－1x0 D．x－3 或－1x07. (2018·威海改编)若点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(3，y 3)在双曲线 y＝ (k＜0)上，则 y1，y 2，y 3的大小关系是kxy3＜y 1＜y 2．考点 2 反比例函数的应用8．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间 y(min)与装载速度 x(t/min)之间的函数关系如图(双曲线y＝ 的一支)．如果以 5 t/min的速度卸货，那么卸完货物需要时间是 120min.kx考点 3 反比例函数中 k的几何意义9．(2018·郴州)如图，A，B 是反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标分别是 2和4x4，则△OAB 的面积是( B)A．4 B．3 C．2 D．1 10．(2018·贵阳)如图，过 x轴上任意一点 P作 y轴的平行线，分别与反比例函数 y＝ (x＞0)，y＝－ (x＞0)的3x 6x图象交于点 A和点 B.若 C为 y轴任意一点，连接 AB，BC，则△ABC 的面积为 ．92711．(2018·烟台)如图，反比例函数 y＝ 的图象经过▱ABCD 对角线的交点 P，已知点 A，C，D 在坐标轴上，kxBD⊥DC，▱ABCD 的面积为 6，则 k＝－3．考点 4 反比例函数与一次函数综合12．(2018·成都)如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y＝x＋b 的图象经过点 A(－2，0)，与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于 B(a，4)．kx(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)设 M是直线 AB上一点，过 M作 MN∥x 轴，交反比例函数 y＝ (x＞0)的图象于点 N.若 A，O，M，N 为顶点kx的四边形为平行四边形，求点 M的坐标．解：(1)∵一次函数 y＝x＋b 的图象经过点 A(－2，0)，∴－2＋b＝0.∴b＝2.∴y＝x＋2.∵一次函数与反比例函数y＝ (x＞0)交于 B(a，4)，kx∴a＋2＝4.∴a＝2.∴B(2，4)．∴y＝ (x＞0)．8x(2)设 M(m－2， m)，N( ，m)．8m当 MN∥AO 且 MN＝AO 时，四边形 AOMN是平行四边形．即| －(m－2)|＝2 且 m＞0，8m解得 m＝2 或 m＝2 ＋2.2 3∴M 的坐标为(2 －2，2 )或(2 ，2 ＋2)．2 2 3 313．(2018·济南)如图，点 A是反比例函数 y＝ (x＞0)图象上一点，直线 y＝kx＋b 过点 A并且与两坐标轴分别交4x于点 B，C，过点 A作 AD⊥x 轴，垂足为 D，连接 DC.若△BOC 的面积是 4，则△DOC 的面积是 2 －2．3814．(2018·孝感)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点 A的坐标为(－1，1)，点 B在 x轴正半轴上，点 D在第三象限的双曲线 y＝ 上，过点 C作 CE∥x 轴交双曲线于点 E，连接 BE，则△BCE 的面积为 7．6x15．(2018·北京)在平面直角坐标系 xOy中，函数 y＝ (x＞0)的图象与直线 y＝x－2 交于点 A(3，m)．kx(1)求 k，m 的值；(2)已知点 P(n，n)(n＞0)，过点 P作平行于 x轴的直线，交直线 y＝x－2 于点 M，过点 P作平行于 y轴的直线，交函数 y＝ (x＞0)的图象于点 N.kx①当 n＝1 时，判断线段 PM与 PN的数量关系，并说明理由；②若 PN≥PM，结合函数的图象，直接写出 n的取值范围．解：(1)将 A(3，m)代入 y＝x－2，∴m＝3－2＝1.∴A(3，1)．将 A(3，1)代入 y＝ ，∴k＝3×1＝3.kx(2)①当 n＝1 时，P(1，1)．令 y＝1 代入 y＝x－2，∴x＝3.∴M(3，1)．∴PM＝2.令 x＝1 代入 y＝ ，∴y＝3.3x∴N(1，3)．∴PN＝2.9∴PM＝PN.②P(n，n)，n＞0，P 在直线 y＝x 上，过点 P作平行于 x轴的直线，交直线 y＝x－2 于点 M，M(n＋2，n)，∴PM＝2.∵PN≥PM，即 PN≥2，∵PN＝| －n|，| －n|≥2.3n 3n∴0＜n≤1 或 n≥3.