1、高 三 年 级 数 学 周 考 （ 理 ）11月 7日一 、 选 择 题 （ 每 题 5分 ， 共 60分 ， 将 答 案 填 涂 在 答 题 纸 上 ）1 已 知 复 数 2z 1 i= - ， 则 下 列 命 题 中 正 确 的 个 数 为 2z iz 1 z 的 虚 部 为 i z 在 复 平 面 上 对 应 点 在 第 一 象 限A 1 B 2 C 3 D 42 下 列 函 数 为 偶 函 数 且 在 (0， )上 为 增 函 数 的 是A 20( ) ( cos )xf x tdt= B 2 23( )f x x x= +C 21( ) 2f x x x= + D ( ) ( )x
2、xf x x e e-= -3 已 知 集 合 2lg 2xA x y x ， 集 合 21B y y x ， 则 集 合 x x A B 且x A B 为A 2,1 2, B 2,1 2, C , 2 1,2 D , 2 1,2 4 下 列 说 法 正 确 的 是A “ ,x y R“ ， 若 0x y+ ， 则 1x 且 1y- ” 是 真 命 题B 在 同 一 坐 标 系 中 ， 函 数 (1 )y f x 与 (1 )y f x 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 C 命 题 “ x R$ ， 使 得 2 2 3 0x x+ + ”D a R ， “ 1 1a ” 的 充 分 不 必
3、要 条 件5 如 图 ， 在 ABCV 中 ， 13AN NC=uuur uuur， P是 BN 上 的 一 点 ，若 29AP mAB AC= +uuur uuur uuur， 则 实 数 m的 值 为A 19 B 13 C 1 D 36 九 章 算 术 是 我 国 古 代 内 容 极 为 丰 富 的 数 学 名 著 ， 书 中 有 如 下 问 题 ： “ 今 有 女 子 善 织 ，日 益 功 ， 疾 ， 初 日 织 五 尺 ， 今 一 月 织 七 匹 三 丈 （ 1匹 =40 尺 ， 一 丈 =10尺 ） ， 问 日 益 几 何 ？ ”其 意 思 为 ： “ 有 一 女 子 擅 长 织 布
4、 ， 每 天 比 前 一 天 更 加 用 功 ， 织 布 的 速 度 也 越 来 越 快 ， 从 第第 5 题 图二 天 起 ， 每 天 比 前 一 天 多 织 相 同 量 的 布 ， 第 一 天 织 5尺 ， 一 月 织 了 七 匹 三 丈 ， 问 每 天 增 加 多少 尺 布 ？ ” 若 这 一 个 月 有 31天 ， 记 该 女 子 一 个 月 中 的 第 n天 所 织 布 的 尺 数 为 na ， 则1 3 29 312 4 28 30a a a aa a a a 的 值 为A 2930 B 1615 C 13 D 157 若 1 3tan , ( , )tan 2 4 2 ， 则 s
5、in(2 )4 的 值 为A 210 B 25 C 210 D 258 某 食 品 的 保 鲜 时 间 y（ 单 位 ： 小 时 ） 与 储 存 温 度 x（ 单 位 ： C ） 满 足 函 数 关 系 bkxey （ 718.2e 为 自 然 对 数 的 底 数 ， ,k b为 常 数 ） ， 若 该 食 品 在 0 C 的 保 鲜 时 间 是 192小 时 ，在 22 C 的 保 鲜 时 间 是 48 小 时 ， 则 该 食 品 在 33 C 的 保 鲜 时 间 是 ( )小 时 A 22 B 23 C 24 D 339 已 知 函 数 ( ) sin( )( 0, )2f x x 的 部
6、 分 图 像 如 所 示 ， 为 了 得 到 ( )y f x= 的 图像 需 将 cos2y x= 的 图 像A 向 右 平 移 3 个 单 位 长 度 B 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度C 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 D 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度10 已 知 定 义 在 R上 的 偶 函 数 )(xf ， 满 足 )()4( xfxf ， 且 2,0x 时 ，( ) sin 2 sinf x x x ， 则 方 程 0lg)( xxf 在 区 间 0,10 上 根 的 个 数 是A 18 B 19 C 10 D 911 在 ABCV 和 AEFV 中 ，
7、B是 EF 的 中 点 ， 1 6 33AB EF BC CA= = = =， ， ， 若2AB AE AC AF + =uuur uuur uuur uuur ， 则 EFuuur 与 BCuuur 的 夹 角 的 余 弦 值 为A 12 B 23 C 34 D 13-12 设 函 数 ( ) ( )x xf x e x ae= - （ 其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 ） 恰 有 两 个 极 值 点1 2,x x 1 2( )x x第 9 题 图二 、 填 空 题 （ 每 题 5分 ， 共 20分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 ）13 函 数 2lg( 2 3)y x x
8、 的 单 调 递 增 区 间 是 _14 已 知 向 量 (6, 2)a ， (1, )b m ， 且 a b ， 则 2a b 15.设 锐 角 ABC 三 个 内 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若3( cos cos ) 2 sin ,a B b A c C 1,b 则 c 的 取 值 范 围 为 .16.在 矩 形 ABCD 中 ， AB=1,AD=2,动 点 P 在 以 点 C 为 圆 心 且 与 BD相 切 的 圆 上 。 若AP AB AD ,则 + 的 最 大 值 为 .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6小 题 ， 共 70分 解 答 应 写 出
9、文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）17 （ 本 小 题 满 分 10分 ）已 知 向 量 ( ,cos( )a sinx x ， (2cos ,2cos )b x x=r ， 函 数 ( ) 1f x a b= +r r （ ） 求 ( )f x 的 对 称 中 心 ；（ ） 求 函 数 ( )f x 在 区 间 0, 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 并 求 出 相 应 x的 值 18 (本 小 题 12分 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 a2 (b c)2 (2 3)bc， sin AsinB cos
10、2C2， BC 边 上 的 中 线 AM 的 长 为 7.（ ） 求 角 A 和 角 B 的 大 小 ；（ ） 求 ABC 的 面 积 19. (本 小 题 12分 )已 知 函 数 f(x) |x 1| |x 2|.（ ） 求 不 等 式 f(x) 1的 解 集 ；（ ） 若 不 等 式 f(x) x2 x m 的 解 集 非 空 ， 求 m 的 取 值 范 围 20.（ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 na 是 各 项 都 为 正 数 的 数 列 ， 其 前 n 项 和 为 nS ， 且 nS 为 na 与 1na 的 等 差 中 项 .（ 1） 求 数 列 na 的 通 项 公
11、式 ；（ 2） 设 1 ,nn nb a 求 nb 的 前 n 项 和 nT .21 （ 本 小 题 满 分 12分 )已 知 函 数 -xf x e ax （ a R ， e为 自 然 对 数 的 底 数 ） （ ） 讨 论 函 数 f x 的 单 调 性 ；（ ） 若 1a ， 函 数 2xg x x m f x e x x 在 2, 上 为 增 函 数 ， 求 实数 m的 取 值 范 围 22 (本 小 题 满 分 12分 )如 图 所 示 ， 某 住 宅 小 区 一 侧 有 一 块 三 角 形 空 地 ABO， 其 中 3 ,OA km= 3 3 ,OB km=90AOB = o 物
12、业 管 理 拟 在 中 间 开 挖 一 个 三 角 形 人 工 湖 OMN ， 其 中 ,M N 都 在 边 AB 上（ ,M N 不 与 ,A B重 合 ， M 在 ,A N 之 间 ） ， 且 30MON = o （ ） 若 M 在 距 离 A点 2km处 ， 求 点 ,M N 之 间 的 距 离 ；（ ） 为 节 省 投 入 资 金 ， 三 角 形 人 工 湖 OMN 的 面 积 要 尽 可 能 小 试 确 定 M 的 位 置 ，使 OMNV 的 面 积 最 小 ， 并 求 出 最 小 面 积 第 21 题 图参 考 答 案一 、 选 择 题 1-5CDDBA 6-10BCCAB 11-
13、12BC二 、 填 空 题13 ( 3, 1- - 或 ( 3, 1)- - 14 4 5 15. 3 , 32 16.3三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 70分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 解 ： （ I） 因 为 ( ) 1f x a b= +r r =2sin cos cos( ) 2cos 1x x x x 22sin cos 2cos 1x x x =sin 2 cos2x x= 2 sin(2 )4x p- 4分所 以 ( )f x 的 对 称 中 心 为 ( ,0)( )2 8k k Z 5分（ II）
14、 由 （ I） 得 ， ( )f x =sin 2 cos2x x = 2 sin(2 )4x ， 7分因 为 0, 2x ， 所 以 32 ,4 4 4x ，所 以 当 2 4 2x 时 ， 即 8x 时 ， ( )f x 的 最 大 值 是 2 ；当 2 4 4x 时 ， 即 0x 时 ， ( )f x 的 最 小 值 是 1 10分18. 解 (1)由a2(bc)2(23)bc，得a2b2c23bc， cos Ab2c2a22bc32，又0A， A6.由sin Asin Bcos2C2，得12sin B1cos C2，即sin B1cosC，则cos C0，即C为钝角， B为锐角，且BC
15、56，则sin 56C1cos C，化简得cos C31，解得C23， B6.(2)由(1)知，ab，在 ACM中，由余弦定理得AM2b2a2 22ba2cos Cb2b24b22( 7)2，解得b2，故S ABC12absin C12 2 2 323.19.解 (1)f(x)3，x1，2x1，1 x 2，3，x2.当x1时，f(x) 1无解；当1 x 2时，由f(x) 1，得2x1 1，解得1 x 2；当x2时，由f(x) 1，解得x2，所以f(x) 1的解集为x|x 1(2)由f(x) x2xm，得m |x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x |x|1|x|2x2|x|x|32254
16、54，当x32时，|x1|x2|x2x54.故m的取值范围为，54 .20.解 ： （ 1） 由 题 意 知 ， 12 n n nS a a ， 即 22 1,n n nS a a 当 n=1时 ， 由 式 可 得 1 1;S 当 2n 时 ,有 1,n n na S S 带 入 式 ， 得 21 12 ( ) ( ) 1,n n n n nS S S S S 整 理 得 2 21 1.n nS S 所 以 2nS 是 首 项 为 1， 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 2 1 1 .nS n n 因 为 na 各 项 都 为 正 数 ， 所 以 ,nS n所 以 1 1( 2),n n
17、 na S S n n n 又 1 1 1,a S 所 以 1.na n n （ 6 分 ）（ 2） ( 1) ( 1) 1 1 ,1n n nn nb n na n n 当 n 为 奇 数 时 ， 1 ( 2 1) 3 2 1 2 1 ;nT n n n n n 当 n 为 偶 数 时 ， 1 ( 2 1) 3 2 1 2 1 .nT n n n n n 所 以 nb 的 前 n 项 和 1 .nnT n （ 12分 ）21 （ 本 小 题 满 分 12分 )解 ： （ ） 函 数 f x 的 定 义 域 为 R， xf x e a 当 0a 时 ， 0f x ， f x 在 R上 为 增
18、函 数 ；当 0a 时 ， 由 0f x 得 lnx a ，当 ,lnx a 时 ， 0f x ， 函 数 f x 在 ,lna 上 为 减 函 数 ，当 ln ,x a 时 ， 0f x ， 函 数 f x 在 ln ,a 上 为 增 函 数 4分（ ） 当 1a 时 ， 2x xg x x m e x e x x ， g x 在 2, 上 为 增 函 数 ； 1 0x xg x xe me m 在 2, 上 恒 成立 ， 即 11xxxem e 在 2, 上 恒 成 立 ， 6分令 11xxxeh x e ， 2,x ， 则 2 2 21x x xxe xe eh x e 2 21x xx
19、e e xe ，令 2xL x e x ， 1 0xL x e 在 2, 上 恒 成 立 ，即 2xL x e x 在 2, 上 为 增 函 数 ， 即 22 4 0L x L e ， 0h x ， 即 11xxxeh x e 在 2, 上 为 增 函 数 ， 222 12 1eh x h e ， 222 11em e ， 所 以 实 数 m的 取 值 范 围 是 222 1, 1ee 12分22 (本 小 题 满 分 12分 )解 ： （ ） 在 ABOV 中 ， 因 为 3 3 3 90OA OB AOB= = = o， ， ， 所 以 60OAB = o ，在 OAMV 中 ， 由 余
20、弦 定 理 得 ： 2 2 2 2 cos 7OM AO AM AO AM A= + - = ，所 以 7OM = ，所 以 2 2 2 2 7cos 2 7OA OM AMAOM AO AM+ - = = ，在 OANV 中 ，sin sin( ) sin( 90 )ONA A AON AOM = + = + o 2 7cos 7AOM= = ，在 OMNV 中 ， 由 sin30 sinMN OMONA= o ， 得 7 1 72 42 77MN = = ； 6分（ ） 解 法 1： 设 ,0 60AOM q q = o o ，在 OAMV 中 ， 由 sin sinOM OAOAB OM
21、A= ， 得 3 32sin( 60 )OM q= + o ，在 OANV 中 ， 由 sin sinON OAOAB ONA= ， 得 3 3 3 32sin( 90 ) 2cosON ，所 以 1 1sin2 2OMNS OM ON MON= =V 3 32sin( 60 ) 3 3 12cos 2 2716sin( 60 )cos 2278sin cos 8 3 cos 274sin 2 4 3 cos2 4 3 27 ,0 608sin(2 60 ) 4 3 当 2 60 90 ， 即 15 时 ， OMNSV 的 最 小 值 为 27(2 3)4- 所 以 应 设 计 15AOM =
22、 o ， 可 使 OMN的 面 积 最 小 ， 最 小 面 积 是 27(2 3)4- km212分解 法 2： 设 AM x， 0 x 3 在 OAM中 ， 由 余 弦 定 理 得 OM2 AO2 AM2 2AOAMcosA x2 3x 9，所 以 OM x2 3x 9， 所 以 cos AOM OA2 OM2 AM22OAOM 6 x2 x2 3x 9，在 OAN 中 ， sin ONA sin( A AON) sin( AOM 90) cos AOM6 x2 x2 3x 9，由 ONsin OAB OAsin ONA， 得 ON 36 x2 x2 3x 9 32 3 3 x2 3x 96
23、 x ，所 以 S OMN 12 OMONsin MON 12 x2 3x 9 3 3 x2 3x 96 x 12 3 3(x2 3x 9)4(6 x) ， 0 x 3，令 6 x t， 则 x 6 t， 3 t 6， 则 ：S OMN 3 3(t2 9t 27)4t 3 34 (t 9 27t )3 34 (2 t27t 9) 27(2 3)4 当 且 仅当 t 27t ， 即 t 3 3， x 6 3 3时 等 号 成 立 ， S OMN的 最 小 值 为 27(2 3)4 ，所 以 M 的 位 置 为 距 离 A 点 6 3 3 km 处 ， 可 使 OMN 的 面 积 最 小 ， 最 小 面 积 是27(2 3)4 km2
