1、12 匀速圆周运动的向心力和向心加速度学习目标 1.理解向心力的概念及其表达式的含义.2.知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题一、向心力1定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力2方向：始终沿半径指向圆心3作用效果：由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力只改变线速度的方向，不改变其大小4来源：可以由弹力、摩擦力提供，也可以由其他性质的力提供；可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供二、向心力的大小探究目的 探究影响向心力大小的因素探究方法
2、控制变量法m、 r 相同 改变角速度 ，则 越大，向心力 F 就越大m、 相同 改变半径 r，则 r 越大，向心力 F 就越大探究过程 、 r 相同 改变质量 m，则 m 越大，向心力 F 就越大结论 物体做匀速圆周运动需要的向心力大小，在质量和半径一定时，与角速度的平2方成正比；在质量和角速度一定时，与半径成正比；在角速度和半径一定时，与质量成正比公式 F mr 2或 F mv2r三、向心加速度1定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力作用下产生的指向圆心的加速度2大小：(1) a ；(2) a 2r.v2r3方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速(填
3、“匀加速”或“变加速”)曲线运动1判断下列说法的正误(1)匀速圆周运动的向心力是恒力()(2)所有圆周运动的合力都等于向心力()(3)向心力的作用是改变物体速度的方向，产生向心加速度()(4)匀速圆周运动的加速度大小不变，故此运动是匀变速运动()(5)根据 a 知加速度与半径 r 成反比()v2r2在长 0.2 m 的细绳的一端系一个质量为 0.1 kg 的小球，绳的另一端固定在光滑水平桌面上，使小球以 0.6 m/s 的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为_，向心加速度为_，绳拉小球的力大小为_答案 3 rad/s 1.8 m/s 2 0.18 N解析 角速度 rad/s3 ra
4、d/svr 0.60.2小球运动的向心加速度 a m/s21.8 m/s 2v2r 0.620.2绳的拉力提供向心力，故 F m 0.18 N.v2r一、向心力1分析图 1 甲、乙、丙中小球、地球和“旋转秋千”(模型)做匀速圆周运动时的受力情况，3合力的方向如何？合力的方向与线速度方向有什么关系？合力的作用效果是什么？图 1答案 甲图中小球受绳的拉力、水平地面的支持力和重力的作用，合力等于绳对小球的拉力；乙图中地球受太阳的引力作用；丙图中秋千受重力和拉力共同作用三图中合力的方向都沿半径指向圆心且与线速度的方向垂直，合力的作用效果是改变线速度的方向2.如图 2 所示，用手拉细绳使小球在光滑水平地
5、面上做匀速圆周运动，在半径不变的的条件下，减小旋转的角速度，感觉手拉绳的力怎样变化？在角速度不变的条件下增大旋转半径，手拉绳的力怎样变化？在旋转半径、角速度相同的情况下，换用不同质量的球，手拉绳的力有什么不同？图 2答案 变小；变大；手对质量大的球的拉力比对质量小的球的拉力大1向心力的大小： F m m 2r m r m4 2f2r mv .v2r 4 2T22向心力的方向：沿半径指向圆心，方向时刻改变，始终和质点的运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直3向心力是根据效果命名的力，不是物体实际受到的力4向心力的来源向心力是根据力的作用效果命名的它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供
6、，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供例 1 如图 3 所示，一圆盘可绕过圆盘的中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块 A，它随圆盘做匀速圆周运动且始终相对圆盘静止，则关于木块 A 的受力，下列说法中正确的是( )4图 3A木块 A 受重力、支持力和向心力B木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同答案 C解析 由于圆盘上的木块 A 在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡而木块在水平面内
7、做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心 O，故选 C.针对训练 1 如图 4 所示，用细线吊着一个质量为 m 的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，则小球受到的向心力是( )图 4A绳子的拉力B重力、绳的拉力的合力C重力D重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力答案 B解析 小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析：小球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做匀速圆周运动，这个合力就叫做向心力，向心力是按照力的效果来命名的，这里是重力和拉力的合力，故 B 正确，A、C、D 错误二、向心加速度当质量为 m 的物体，沿半径为 r
8、 的圆以速率 v 做匀速圆周运动，则物体需要的向心力为多大？向心加速度为多大？5答案 F a mv2r Fm v2r1向心加速度的大小： a 2r r v .v2r 4 2T2方向：总是指向圆心，方向时刻改变2向心加速度与半径的关系(如图 5)图 53向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的大小无影响4圆周运动的性质：不论向心加速度 a 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动5向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量
9、和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a 2r.v2r(2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度都指向圆心例 2 如图 6 所示，一球体绕轴 O1O2以角速度 匀速旋转， A、 B 为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )图 6A A、 B 两点具有相同的角速度B A、 B 两点具有相同的线速度C A、 B 两点的向心加速度的方向都指向球心6D A、 B 两点的向心加速度之比为 21答案 A解析 A、 B 为球体上两点，因此， A、 B 两点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同，A 对；如图所示， A 以 P 为圆心做圆周运动，
10、 B 以 Q 为圆心做圆周运动，因此， A、 B 两点的向心加速度方向分别指向 P、 Q，C 错；设球的半径为 R，则 A 运动的半径 rA Rsin 60，B 运动的半径 rB Rsin 30， ，B 错； ，D 错vAvB rA rB sin 60sin 30 3 aAaB 2rA 2rB 3【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】向心加速度有关的比值问题例 3 如图 7 所示， O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为 r1， O2为从动轮的轴心，从动轮半径为 r2， r3为固定在从动轮上的小轮的半径已知 r22 r1， r31.5 r1.A、 B、 C 分别是三个轮边缘上的点，则点
11、A、 B、 C 的向心加速度之比是(皮带不打滑)( )图 7A123 B243C843 D362答案 C解析 因为皮带不打滑， A 点与 B 点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率根据向心加速度公式 a ，可得 aA aB r2 r121.由于 B、 C 是固定在一起的轮上的两点，所v2r以它们的角速度相同根据向心加速度公式 an r 2，可得 aB aC r2 r343.由此得aA aB aC843，故选 C.【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外7
12、两个物理量之间的关系在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比针对训练 2 如图 8 所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的 2 倍，大轮上的一点 S 与转动轴的距离是半径的 ，当大轮边上 P 点的向心13加速度是 12 m/s2时，大轮上的 S 点和小轮边缘上的 Q 点的向心加速度分别为多大？图 8答案 4 m/s 2 24 m/s 2解析 设 S 和 P 到大轮轴心的距离分别为 rS和 r
13、P，由向心加速度公式 a r 2，且 S P可知， S 与 P 两点的向心加速度之比 aSaP rSrP解得 aS aP4 m/s 2rSrP设小轮半径为 rQ，由向心加速度公式 a ，且 vP vQ可得 Q 与 P 两点的向心加速度之比v2raQaP rPrQ解得 aQ aP24 m/s 2.rPrQ【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题1(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( )A向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力B做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用C向心力可以是重力、弹力
14、、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力D向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小答案 ACD解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力8的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，A、C、D 正确2(向心加速度的理解)(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )A向心加速度的方向始终与速度方向垂直B向心加速度的方向保持不变C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案 AD解析 向心加速度
15、的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选 A、D.93.(传动装置中的向心加速度)如图 9 所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的 2 倍， E 为大轮半径的中点， C、 D 分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、 C、 D 三点向心加速度大小关系正确的是( )图 9A aC aD2 aE B aC2 aD2 aEC aC 2 aE D aC aEaD2 aD2答案 C解析 同轴转动， C、 E 两点
16、的角速度相等，由 a 2r，有 2，即 aC2 aE；两轮边缘点aCaE的线速度大小相等，由 a ，有 ，即 aC aD，故选 C.v2r aCaD 12 124.(向心力的计算)如图 10 所示，质量为 1 kg 的小球用细绳悬挂于 O 点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为 2 m/s，已知球心到悬点的距离为 1 m，取重力加速度g10 m/s 2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小图 10答案 14 N解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力 mg 和绳的拉力 T 提供(如图所示)，即 T mgmv2r所以 T mg (110 ) N14 Nmv2r 1221小球对绳的拉力
17、与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为 14 N.105(向心力的计算) A、 B 两球都做匀速圆周运动， A 球质量为 B 球的 3 倍， A 球在半径为 25 cm 的圆周上运动， B 球在半径为 16 cm 的圆周上运动， A 球转速为 30 r/min， B 球转速为 75 r/min，求 A 球所受向心力与 B 球所受向心力的比值答案 34解析 因 2 n，所以 ，由向心力公式 F m 2r 得 A B nAnB 3075 25 ( )2 3 2 .FAFB mA A2rAmB B2rB mAmB A B rArB (25) 2516 34一、选择
18、题考点一 向心加速度1关于向心加速度，下列说法正确的是( )A由 a 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定v2rB匀速圆周运动不属于匀速运动C向心加速度越大，物体速率变化越快D做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心答案 B解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以 A 错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B 正确；向心加速度不改变速率，C 错；只有做匀速圆周运动的物体的加速度才时刻指向圆心，D 错【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的意义2如图 1 所示是 A、 B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图
19、像，其中 A 为双曲线的一支，由图可知( )图 1A A 物体运动的线速度大小不变B A 物体运动的角速度大小不变11C B 物体运动的角速度大小是变化的D B 物体运动的线速度大小不变答案 A解析 根据 a 知，当线速度 v 大小为定值时， a 与 r 成反比，其图像为双曲线的一支；v2r根据 a r 2知，当角速度 大小为定值时， a 与 r 成正比，其图像为过原点的倾斜直线，所以 A 正确【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解3.如图 2 所示，质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，
20、那么木块( )图 2A加速度为零B加速度恒定C加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案 D解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A、B、C 错误【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的方向4(多选)如图 3 所示，一个球绕中心轴线 OO以角速度 做匀速圆周运动， 30，则( )图 3A a、 b 两点的线速度相同B a、 b 两点的角速度相同C a、 b 两点的线速度之比 va vb2 312D a、 b 两点的向心加速度之比 aa ab 23答案 BD解析 球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的
21、周期和角速度，即 a b，B 对；因为a、 b 两点做圆周运动的半径不同， rb ra，根据 v r 知 vb va，A 错； 30，设球半径为 R，则 rb R， ra Rcos 30 R，故 ，C 错；又根据 a 2r 知32 vavb ara brb 32 ，D 对aaab a2ra b2rb 32【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的同轴传动问题5(多选)如图 4 所示的靠轮传动装置中右轮半径为 2r， a 为它边缘上的一点， b 为轮上的一点， b 距轴的距离为 r.左侧为一轮轴，大轮的半径为 4r， d 为它边缘上的一点，小轮的半径为 r， c 为它边缘上
22、的一点若传动中靠轮不打滑，则( )图 4A b 点与 d 点的线速度大小相等B a 点与 c 点的线速度大小相等C c 点与 b 点的角速度大小相等D a 点与 d 点的向心加速度大小之比为 18答案 BD解析 c、 d 轮同轴转动，角速度相等，根据 v r 知， d 点的线速度大于 c 点的线速度，而 a、 c 的线速度大小相等， a、 b 两点的角速度相等，则 a 点的线速度大于 b 点的线速度，d 点的线速度大于 b 点的线速度，A 错误，B 正确 a、 c 两点的线速度相等，半径之比为21，根据 ，知 a、 c 两点的角速度之比为 12， a、 b 两点的角速度相等，所以vrb、 c
23、两点的角速度大小不等，C 错误 a、 c 两点的线速度大小相等，半径之比为 21，根据 a 知 a、 c 两点的向心加速度之比为 12， c、 d 轮同轴转动，角速度相等，半径之比v2r为 14，根据 a 2r 知 c、 d 两点的向心加速度之比为 14，所以 a、 d 两点的向心加速度之比为 18，D 正确【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题13考点二 向心力6.如图 5 所示，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡
24、皮块所受合力 F 的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )图 5答案 C解析 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增加，故合力与速度的夹角小于 90，故选 C.【考点】变速圆周运动问题【题点】变速圆周运动问题7.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图 6 所示，则此时( )图 6A衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用B衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的C筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小D筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大答案 A解析 衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力三个力的作用，其中筒壁的弹力提供其做圆周运动的向心
25、力，A 正确，B 错误；由于重力与静摩擦力保持平衡，所以摩擦力不随转速的变化14而变化，C、D 错误【考点】对向心力的理解【题点】对向心力的理解8.如图 7 所示，水平圆盘上叠放着两个物块 A 和 B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )图 7A物块 A 不受摩擦力作用B物块 B 受 5 个力作用C当转速增大时， A 所受摩擦力增大， B 所受摩擦力减小D A 对 B 的摩擦力方向沿半径指向转轴答案 B解析 物块 A 受到的摩擦力充当向心力，A 错误；物块 B 受到重力、支持力、 A 对物块 B 的压力、 A 对物块 B 沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块 B 沿
26、半径指向转轴的静摩擦力，共 5个力的作用，B 正确，D 错误；当转速增大时， A、 B 所受摩擦力都增大，C 错误【考点】向心力来源的分析【题点】水平面内匀速圆周运动的向心力来源分析9.(多选)如图 8 所示， A、 B 两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴 OO匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动若两球质量之比 mA mB21，那么关于 A、 B 两球的下列说法中正确的是( )图 8A A、 B 两球受到的向心力之比为 21B A、 B 两球角速度之比为 11C A、 B 两球运动半径之比为 12D A、 B 两球向心加速度之比为 12答案 BCD解析 两球的向心力都由细
27、绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A 错，B 对设两球的运动半径分别为 rA、 rB，转动角速度为 ，则 mArA 2 mBrB 2，所以15运动半径之比为 rA rB12，C 正确由牛顿第二定律 F ma 可知 aA aB12，D 正确10(多选)如图 9 所示，长为 L 的悬线固定在 O 点，在 O 点正下方 处有一钉子 C，把悬线L2另一端的小球 m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )图 9A线速度突然增大为原来的 2 倍B角速度突然增大为原来的 2 倍C向心加速度突然增大为原来的 2 倍D悬线拉力突然增大为原来
28、的 2 倍答案 BC解析 当悬线碰到钉子时，由于惯性球的线速度大小是不变的，以后以 C 圆心， 为半径做L2圆周运动由 知，小球的角速度增大为原来的 2 倍，A 错，B 对；由 a 可知，它的vr v2r向心加速度 a 应加倍，C 项正确；由 F mg 可知，D 错误mv2r二、非选择题11(向心力公式的应用)如图 10 所示，有一质量为 m1的小球 A 与质量为 m2的物块 B 通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔 O.当小球 A 在水平板上绕 O 点做半径为 r 的匀速圆周运动时，物块 B 刚好保持静止求：(重力加速度为 g)图 10(1)轻绳的拉力大小(2)小球 A 运动的线速度大
29、小答案 (1) m2g (2)m2grm1解析 (1)物块 B 受力平衡，故轻绳拉力 T m2g(2)小球 A 做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力，根据牛顿第二定律16m2g m1v2r解得 v .m2grm112(向心力的计算)如图 11 所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为 R；乙做自由落体运动，当乙下落至 A 点时，甲恰好第一次运动到最高点 B，已知甲、乙两物体的质量分别为 m1、 m2.求甲物体做匀速圆周运动的向心力的大小(重力加速度为 g)图 11答案 2m1g98解析 设乙下落到 A 点所用时间为 t，则对乙，满足 R gt2，得 t
30、 ，12 2Rg这段时间内甲运动了 T，即34T 34 2Rg又由于 a 2R R4 2T2由得 a 2g.98所以甲所受向心力为 F m1a 2m1g.98【考点】向心力公式的应用【题点】向心力公式的应用13.(向心力公式的应用)如图 12 所示，水平转盘上放有一质量为 m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为 r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为 g)图 1217(1)绳子对物体的拉力为零时转盘的最大角速度(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小3 g2r答案 (1) (2) mg gr 12解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为 0，则 mg m 02r，得 0 . gr(2)当 时， 0，所以绳子的拉力 F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，3 g2rF mg m 2r即 F mg m r，得 F mg .3 g2r 12【考点】水平面内的圆周运动的动力学分析【题点】水平面内的圆周运动的动力学分析
