1、长春市实验中学2018-2019 学年上学期学期初考试高三数学（理）试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知 a i (a， b R)，其中 i 为虚数单位，则 a b 等于( )A. 4 B. 4 C. 10 D. 10【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案【详解】 = = =a+i， =a， =1，解得：b=7，a=3a+b=7+3=4故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题2.下列说法中，正确的是( )A.
2、命题“若 am20”的否定是“对任意的 x R， x2 x0”C. 命题“ p 或 q”为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题D. 已知 x R，则“ x1”是“ x2”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】A原命题的逆命题是“若 ab，则 am2bm 2”是假命题，由于 m=0 时不成立；B利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C由“p 或 q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；DxR，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，即可判断出正误【详解】A命题“若 am2bm 2，则 ab”的逆命题是“若 ab，则 am2bm 2”是假
3、命题，m=0 时不成立；B命题“存在 xR，x 2x0”的否定是：“任意 xR，x 2x0” ，正确；C “p 或 q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；DxR，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，因此不正确故选：B【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题3.如图为某几何体的三视图，则其体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥【详解】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥则体积 V= + = 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了
4、推理能力与计算能力，属于基础题4.若圆 ： 上的点到直线 ： 的最小距离为 2，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质可知圆心到直线的距离为 4，利用点到直线的距离公式列方程解出即可【详解】圆 C 的圆心为（0，0） ，半径 r=2，圆心 C 到直线 l 的距离 d= ，圆 C 上的点到直线 l 的最小距离为 2，圆心到直线 l 的距离 d=2+r=4 =4，a=4 故选：D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题5.现有 2 门不同的考试要安排在连续的 5 天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( )A.
5、 6 种 B. 8 种 C. 12 种 D. 16 种【答案】C【解析】【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法若第一门安排在中间的 3 天中，则第二门有 2 种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求【详解】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法，这时，共有 3=6 种方法若第一门安排在中间的 3 天中，则第二门有 2 种安排方法，这时，共有 32=6 种方法综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12 种，故选：C【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题6.欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一
6、葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为 3 cm的圆，中间有边长为 1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解【详解】如图所示： ， 故选：D【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为
7、：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P= 求解7.已知定义域为 R 的偶函数 在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得 f（log 2x）2|log 2x|1；化简可得log2x1 或 log2x1，解可得 x 的取值范围，即可得答案【详解】f（x）是 R 的偶函数，在（，0上是减函数，所以 f（x）在0，+）上是增函数，所以 f（log 2x）2=f（1）f（|log 2x|）f（1）|log 2x|1；即 log2x1
8、或 log2x1；解可得 x2 或 故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于 x 的方程8.设 m、 n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A. 若 则 B. 若 则C. 若 则 D. 若 则【答案】C【解析】【分析】在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中，m 或 m；在 C 中，由面面垂直的判定定理得；在 D 中，m与 相交、平行或 m【详解】由 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，知：在 A 中，若 m，m，则 与 相交或平行，故 A 错误；在 B 中，若 m，则 m 或 m，故 B 错误
9、；在 C 中，若 m，m，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C 正确；在 D 中，若 m，则 m与 相交、平行或 m，故 D 错误故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用9.已知 为正项等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 的值是 ( )A. 29 B. 30 C. 31 D. 32【答案】C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为 q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求【详解】设正项等比数列的公比为 q，则 a4=16q3，a 7=16q6，
10、a4与 a7的等差中项为 ，即有 a4+a7= ，即 16q3+16q6，= ，解得 q= （负值舍去） ，则有 S5= = =31故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题10.已知 ，则函数 y2 f(x)23 f(x)1 的零点个数是( )A. 3 B. 5 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】函数 y=2f2（x）3f（x）+1=2f（x）1f（x）1的零点，即方程 f（x）= 和 f（x）=1 的根，画出函数 f（x）= 的图象，数形结合可得答案【详解】函数 y=2f2（x）3f（x）+1=2f（x）1f（x）1的
11、零点，即方程 f（x）= 和 f（x）=1 的根，函数 f（x）= 的图象如下图所示：由图可得方程 f（x）= 和 f（x）=1 共有 5 个根，即函数 y=2f2（x）3f（x）+1 有 5 个零点，故选：B【点睛】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数11.已知 f(x)| x2| x4|的最小值为 n，则二项式 展开式中 x2项的系数为( )A. 11 B. 20 C. 15 D. 16【答案】C【解析】【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得 n=6，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于0，求
12、出 r 的值，即可求得展开式中 x2项的系数【详解】f（x）=|x+2|+|x4|（x+2）（x4）|=6，故函数的最小值为 6，再根据函数的最小值为 n，n=6则二项式（x ） n=（x ） 6 展开式中的通项公式为 T r+1= （1） rx62r ，令 62r=2，求得 r=2，展开式中 x2项的系为 =15，故选：C【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题12.在 中，若 ， ， 依次成等差数列，则（ ）A. ， ， 依次成等差数列 B. ， ， 依次成等比数列C. ， ， 依次成等差数列 D. ， ， 依次成等比数
13、列【答案】C【解析】试题分析：若 ， ， 依次成等差数列，则 ，则，由正弦定理可得 ，再由余弦定理可得，即 ， ， 依次成等差数列，选 C考点：正弦定理，余弦定理二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，将正确的答案填在横线上13.平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，则| +2 |等于_【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，可得， =| | |cos60=1，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值【详解】由向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，可得| |=2， =| | |cos60=21 =1，则| +2 |= = =2
14、故答案为：2 【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题14.若 满足 ，则 的最小值为_【答案】2【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+2y 得 y= x+z平移直线 y= x+z，由图象可知当直线 y= x+z 经过点 A（0，1）时，直线 y=2x+z 的截距最小，此时 z 最小将 A（0，1）的坐标代入目标函数 z=x+2y，得 z=2即 z=x+2y 的最小值为 2；故答案为：2【点睛】本题主要
15、考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15.已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率等于_【答案】【解析】【分析】渐近线与直线 x+3y+1=0 垂直，得 a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出 a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【详解】双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x+3y+1=0 垂直双曲线的渐近线方程为 y=3x =3，得 b2=9a2，c 2a 2=9a2，此时，离心率 e= = 故答案为： 【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几
16、何性质等知识，属于基础题16.设 为数列 的前 项和, 已知 , 对任意 N , 都有 ， 则N )的最小值为_.【答案】【解析】由题可设 ，则 ，则数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， ，当且仅当 时取得最小值，由 ，所以 或 ，因为，即 得最小值为点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数 f（x）= sin cos +cos2 +m 的图象过点（ ，0） （1）求实数 m 值以及函数 f（x）的单调递减区间；（2）设 y=f（x）的图象与 x 轴、y 轴及直线 x=
17、t（0t ）所围成的曲边四边形面积为S，求 S 关于 t 的函数 S（t）的解析式【答案】 （1） ，单调递减区间是 ，kZ；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为 y= 的形式，把点（ ，0）代入函数解析式求得 m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数 f（x）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数 f（x）求 0 到 t 上的积分，即求被积函数 f（x）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案【详解】 （1）f（x）= sin cos +cos2 +m= f（x）的图象过点（ ，0） ， ，解得 f（x）= ，由 ，得 ，kZ故 f（x）的单调递
18、减区间是 ，kZ；（2）由（1）得，f（x）= = = （ ） 【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18.某产品按行业生产标准分成 6 个等级，等级系数 依次为 1、2、3、4、5、6，按行业规定产品的等级系数 5 的为一等品，3 0，函数 yxln x1 在e，)上是增函数，xln x1eln e1e20，p(x)0，p(x)在e，)上是增函数，p(x)的最小值为 p(e) ， 实数 a 的取值范围为 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构
19、造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在 22、23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数） ，点 是曲线上的动点，点 在曲线 上，且满足 （1）求曲线 的普通方程；（2）以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 与曲线 ， 分别交于 ，两点，求 【答案】 （1） 的普通方程为 ；（2） 【解析】试题分析：（1）求出 的普通方程，设 ，则由于 得到 ，将 坐标代入
20、方程即得 方程；（2）将 代入的曲线 的极坐标方程，可得 ，将 代入的曲线 的极坐标方程，可得 试题解析：（）曲线 的普通方程为 ，设 ， ，由于 ，因此 ，即 ，又点 在 上， ， 的普通方程为 （）曲线 的极坐标方程为 ，将 代入，可得 ，因此 的极坐标为；曲线 的极坐标方程为 ，将 代入，可得 ，因此 的极坐标为 所以 考点：极坐标方程与参数方程、普通方程的互化23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， （1）当 时，解不等式 ；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） ；（ 2） 【解析】试题分析：（） 时， 分当 时，当 时，当 时三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再取并集，即得所求（）由绝对值不等式的性质试题解析：（）当 时， 设不等式 的解集为 ，由题意，则 可求 的取值范围当 时，由 可得 ；当 时， 恒成立；当 时，由 可得 因此 的解集为 （） ，当 时， ；当 时， 记不等式 的解集为 ，则 ，故 ，所以 的取值范围为 考点：绝对值不等式
