1、,一轮复习讲义,排列与组合,不同,顺序,所有排列,忆 一 忆 知 识 要 点,忆 一 忆 知 识 要 点,1,不同,并成,一组,所有组合,忆 一 忆 知 识 要 点,排列问题,组合问题,排列与组合的综合应用,13,分组与分配问题,排列、组合,计数原理,计 数 原 理,二项式定理,组合,通项,二项式定理,二项式系数性质,分类计数原理,分步计数原理,排列,排列的定义,排列数公式,组合的定义,组合数公式,组合数性质,应 用,1排列(有序)与组合(无序),（1）排列数公式,（2）组合数公式,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中取出m个元素,按一定的顺序排成一列,从
2、n个不同元素中取出m个元素, 把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,忆 一 忆 知 识 要 点,(2) 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；,(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”.,(1) 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优限法”；,3.排列组合混合题的解题策略,解题原则：先选后排，先分再排,(4) 间接法和去杂法等等.,忆 一 忆 知 识 要 点,解: 第一类:没有一个元素的象
3、为2; 则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有1个;,第二类:有一个元素的象为2, 则其余3个元素的象为0, 1, 1, 这样的映射有,第三类:有两个元素的象为2,则其余2个元素的象必为0, 这样的映射有,根据加法原理共有,例1.已知 f是集合M=a, b, c, d到N=0, 1, 2的映射,且 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4, 则不同的映射有多少个？,例2.用0，1，2，3, , 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？,解法一：分类： 第一类，含有0的满足条件的五位数，,第二类，不含有0的五位数，,总共有,解法二：排除法：,排除掉以0为
4、首位的那些五位数,共有,总的含有三个奇数数字和两个偶数数字的五位数有,例2.用0，1，2，3, , 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？,【1】在1, 2, 3, 99这99个自然数中,每次取出不同的两个数相乘,使它们的积是7的倍数,问这样的取法共有多少种？,分析:在1, 2, 3,99这99个自然数中,能被7整除的数有987=14个, 余下的85个均不能被7整除.,所以共有,解:分为两步完成：,(1) 从14个中任取两个,(2)从14个中任取1个,从85个中任取一个,演练反馈,演练反馈,【2】“一人巧做众人食,五味调和百味香”.计算:由酸、甜、苦、辣、
5、咸五味,一共可以调制出_种不同的味道.,【3】甲、乙、丙、丁四个公司承包七项工程,其中甲、乙公司分别承包三项、两项,丙、丁公司各承包一项，共有_种不同的承包方案.,31,420,【4】从1,3,5,7,9中任取两个数字,从2,4,6,8中任取两个数字.则(1)能组成_个没有重复数字的四位数;(2)能组成_个没有重复数字的四位偶数.,1440,720,演练反馈,例3.以1个正方体的顶点为顶点的四面体有多少个?,解:按从上底面上取点的个数分为三类:,(1)上底面上取一点:,(2)上底面上取二点:,(3)上底面上取三点:,两点连线是棱:,两点连线是对角线:,解法2:(间接法),【1】 四面体的一个顶
6、点为A, 从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上, 有_种不同的取法.,练一练,33,【2】四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法?,练一练,【3】平面上有10个点,其中有且只有5个点在一条直线上,此外再无任何三点共线,共可作多少条直线?,【4】平面上有10个点,其中有且只有5个点在一条直线上,此外再无任何三点共线,共可作_条直线?,36,演练反馈,例4一杂技团有8名演员,6人会口技, 5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技, 1人演魔术,有多少种不同的选法?,解1:以全能型演员为主分类:,(1)都不上场;,(2) 1人上场;,(3
7、)2人上场,所以共有选法, 若演口技,则 若演魔术,则,解2:以只会口技的演员为主分类:,(1)都不上场;,(2)只有1人上场,所以共有选法,例4一杂技团有8名演员,6人会口技, 5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技, 1人演魔术,有多少种不同的选法?,解3:以只会演魔术的演员为主分类:,(1)都不上场;,(3)只有1人上场,所以共有选法,例4一杂技团有8名演员,6人会口技, 5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技, 1人演魔术,有多少种不同的选法?,一、元素相同问题隔板策略,例5.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解:因为10个名额没有差别，把它
8、们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.,在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法.,【1】12个相同的球分给3个人,每人至少一个,而且必须全部分完，有多少种分法？,解:将12个球排成一排,一共有11个空隙,将两个隔板插入这些空隙中,规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人,每一种隔法 对应一种分法,于是分法的总数为 种方法.,演练反馈,【2】求方程X+Y+Z+W=100的正整数解的组数是多少？,【小结】将n个相同的元素分成m份,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有的插法数就是分法数,这种方法叫隔
9、板法.,演练反馈,【排列组合中的分堆问题引例】把a, b, c, d分成平均两组, 有_多少种分法？,ab,cd,ac,bd,ad,bc,cd,bd,bc,ad,ac,ab,这两个在分组时只能算一个,【结论】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要除以m!，其中m表示组数.,例6. 有12本不同的书.（1）按444平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2226分成四堆有多少种不同的分法？,均匀(部分)分组不安排工作的问题,先分再排法.分成的组数看成元素的个数,均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列.,例7.（1）6本不同的书按222平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不
10、同的分法？,例3. (2)12支笔按3：3：2：2：2分给A, B, C, D, E五个人有多少种不同的分法？,均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列.,【1】3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？,【3】 三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？,【2】4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？,多个分给少个时，采用先分组再分配的策略.,演练反馈,【1】将5本不同的书全部分给4人,每人至少1本,不同的分配方案共有_种.,解1:先从5本不同的书中任取2本,有_种方法;,然后把取出的2本书看作一个整体,连同余下的3本分给4个同学,有_种方法;,解2:
11、必有一个同学分得2本书,分两大步:,(1)先从4人中选出一个人, 将5本不同的书中任2本分给这位同学,(2)再把余下的3本书分给其余的三人,每人1本这位同学,解3:分两大步:,(1)先分堆:“2，1，1，1”,(2)再分配：,【1】将5本不同的书全部分给4人,每人至少1本,不同的分配方案共有_种.,【2】12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？,【3】 10本不同的书按2224分成四堆有多少种不同的分法？,【4】 10本不同的书按2224分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法,B,学好数学,登上人生的又一高度.,老师寄语:,数学是金析疑解难，无坚不克，所向披靡；,数学是美逻辑之美，形
12、象之美，美不胜收；,数学是恨成也数学，败也数学；,数学是爱我爱数学，数学爱我，,数学是我获胜的法宝。,让我们一起来享受数学的快乐，探求数学的真谛，感受数学的出神入化。,1.换元法 2.待定系数法 3.定义法 4.数学归纳法 5.参数法 6.反证法 7.消去法 8.分析与综合法 9.特殊与一般法 10.类比与归纳法,三、高中的解题方法和数学思想,(一).高中数学常用的解题方法。,（二）.高中数学常用的数学思想,1.数形结合思想 2.分类讨论思想 3.函数与方程思想 4.转化（化归）思想,三、高中的解题方法和数学思想,高中数学解题基本方法（简介）,1.配方法：配方法是对数学式子进行一种定向变形 （
13、配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知 和未知的联系，从而化繁为简。合理运用“裂项”与 “添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也 将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出 现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有 二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式 的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变 换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平 方公式(ab)2a22abb2,三、高中的解题方法和数学思想,2.换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代
14、换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法：局部换元、三角换元、均值换元等。,三、高中的解题方法和数学思想,3.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据 所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。
15、待定系数法解题的关键是依据已知，正确列 出等式或方程。应用范围：分解因式、拆分分式、数列求和、 求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数 的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问 题得到解决。,三、高中的解题方法和数学思想,4.定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法
16、。例如判断一个图像是否为函数，判断一个函数是否为指数函数或对数函数等等。,三、高中的解题方法和数学思想,5.数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，其步骤为： （1）证明命题在n1(或n)时成立； （2）假设在nk时命题成立，证明nk1时命题也成立。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。,三、高中的解题方法和数学思想,三、高中的解题方法和数学思想,6.参数法参数法是指在解题过程中，通过
17、适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。,7.反证法反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，从而使命题获得了证明。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
18、第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。,三、高中的解题方法和数学思想,三、高中的解题方法和数学思想,1.数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。,三、高中的解题方法和数学思想,2.分类讨论思想方法在解答某些数学问题时
19、，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。,三、高中的解题方法和数学思想,引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。这称为含参型。,三、高中的解题方法和数学思想,进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类
20、的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，其基本方法和步骤是：1.要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；2.确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；3.对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。,三、高中的解题方法和数学思想,3.函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然
21、后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。,三、高中的解题方法和数学思想,函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。 常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。,三、高
22、中的解题方法和数学思想,4.转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。,
