1、- 1 -南康中学 20182019 学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，在四面体中，若直线 和 相交，则它们的交点一定（ ）EFGHA. 在直线 上 CBB. 在直线 上 AC. 在直线 上 DD. 都不对2.圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的 ，则圆锥的体积（ ）221A扩大到原来的 倍 B缩小到原来的一半 C缩小到原来的D.不61变 3.等比数列 ，满足 ，且 ， ，则 （ ）na0,1nq3520a64a5SA31 B36 C42 D48
2、4在棱长为 1 的正方体 中， 分别是 和 的1DCAN，M1BA中点，则直线 与 所成角 的余弦值为( )MNA. B. 552C. D.2165. 某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40名同学进行检查，将学生从 11000 进行编号，现已知第 6 组抽取的号码为 143，则第一组抽取的号码为（ ）A. 16 B. 17 C. 18 D. 196.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 316- 2 -B 21C 37D 657直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）210xy1xA B 21
3、0xyC D3xy 38如图， 到 的距离分别是 和 ， 与lA， ， ， ， ， labAB所成的角分别是 和 ， 在 内的射影长分别是 和 ，若 ，则， B， mn（ ）A. B. C. D. nm，nm， ，（第 8 题） （第 9 题）9. 如图，在正四棱台 中，上底面边长为 4，下底面边长为 8，高为 5，点1DCBA分别在 上，且 .过点 的平面 与此四棱台的下底面N，M1， NM， 会相交，则平面 与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 718230613610.在正方体中 中， ，点 在棱 上，点 在棱 上，且平面1DCBA1EABF1DC 平
4、面 .若 ，则三棱锥 外接球的表面积为( )CFB1E1 C1A B C D69273611. 已知 是圆 外一点，过点 作圆 的切线，切点为 ，记四),(0yxP)4(:22yxPB，A边形 的面积为 ，当 在圆 上运动时， 的取Cpf,0P4)1(:22yxD)(pf- 3 -值范围为（ ）A. B. C. D. 3,2 3,2 34,2 34,212. 如图所示，正方体 的棱长为 1， 分别是棱 的中点，过直1DCBAFE， 1CA，线 的平面分别与棱 交于 ，设 给出以下四个命题：EF， NM， ,0xB，直线 与 所成的角为锐角；MN当且仅当 时，四边形 的面积最小；21xEF四边形
5、 周长 ,则 是奇函数；EF1 0)(xfL，)21(xfy不论 为何值，四棱锥 的体积为定值；xNC1其中正确命题的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知数列 满足 ，则 _na)2( ,11nan6a14. 已知圆锥的母线长度为 2，圆锥的底面圆半径为 ,一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，3绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为_15. 过点 向圆 所引的切线方程为_,4)2(A42yx16如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设动点 在线段1BCDAOBDP上运动，直线 与平面
6、 所成的角为 ，则 的最小值为_1COPsin三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余小题各 12 分，共 70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）17在 中， ABacba22（I）求 的大小；（II）求 的最大值Cosc18.已知圆 经过两点 ， ，且圆心在直线 上，直线 的方程为)3,1(P6,2(Q042yxl052)1(kyxkABDCF11NEM- 4 -（I）求圆 的方程；C（II）证明：直线 与圆 恒相交；l19如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别1CBA21CBANM、为 的中点.11CBA、（I）求异面直 ；所 成 的 角与 MN（II）求点
7、.11的 距 离到 平 面 A20. 设数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，点anS1a12nSnb1a在直线 xy+2=0 上，nN *),(1nbP（I）求数列 ， 的通项公式；nb（II）设 ，求数列 的前 项和 nacncnT21. 如图，四棱锥 P ABCD，底面 ABCD 为菱形，且 DAB60， PAB 是边长为 a 的正三角形，且平面 PAB平面 ABCD，已知点 M 是 PD 的中点(1)证明： PB平面 AMC；(2)求直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值ABC1B1- 5 -ODCABEF22. 如图，菱形 中， ， 与 相交于点 ， ，ABCD60A
8、CBDOCEB.32FEF，（I）求证： 平面 ；（II）当直线 与平面 所成角的大小为 时OE45(i)求三棱锥 的体积.DBC(ii)求二面角 的余弦值.A- 6 -南康中学 20182019 学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）参考答案一选择题：1-5：C B A B C; 6-10：A D D B B; 11-12:C B;12.【解析】因为 ，四边形 的对角线 是固定的，所以要使面积最小，则只需 的长度最小即可，此时当 为棱的中点时，即 时，此时 长度最小，对应四边形 的面积最小所以正确连结 ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 为底，以分别为顶点的两个小棱锥因为三角形 的面积
9、是个常数 到平面的距离是个常数，所以四棱锥 的体积为定值，所以正确二、填空题：13.63; 14.2； 15. ； 16. ；16.解析：连结A 1O，OP和PA 1，不难知POA 1就是直线OP与平面A 1BD所成的角或其补角设正方体棱长为 2，则AO ，A 1O ，(1)当P点与C点重合时，PO ，A 1P2 ，且cos ，此时A 1OP为钝角，sin(2)当P点与C 1点重合时，POA 1O ，A 1P2 ，且cos ，此时A 1OP为锐角，sin(3)在从钝角逐渐变化到锐角的过程中，CC 1上一定存在一点P，使得A 1OP90，sin1 由于 ， sin的取值范围是 ，1. 因此sin
10、最小值为- 7 -三、解答题：17.【解析】： （1） ，又 ， (4)分（2）由（1）知 , .(8)分因为 ，所以当 时， 取得最大值 .(10)分18.【解析】 （1）设圆C的方程为 , 圆心坐标 .(1)分由条件，得 ,解得 .(5)分圆的方程为 即.(6)分 （2）由 ，得 ，令 ，得 ，直线l过定点M（3，-1） ，由，知点M（3，-1）在圆内直线l与圆C恒相交.（12 分）- 8 -111 11 11119.(), /MN,. 90.(6ABCMABABCDN CMACN【 解 析 】 连 接 为 直 三 棱 柱 为 的 中 点 ， 可 知 也 为 的 中 点连 接 交 于 点
11、为 中 点 ， 为 的 中 点 ， 由 三 角 形 中 位 线 性 质 知异 面 直 线 与 所 成 的 角 即 为 与 所 成 的 角 ， 又 为 直 三 棱 柱四 边 形 为 正 方 形 ， 即 异 面 直 线 与 所 成 的 角 为1 111111111(2)/,./,., 2BACBCBBAADC分 ）平 面 平 面到 平 面 的 距 离 即 为 到 平 面 的 距 离平 面 ， 平 面 又平 面 平 面又平 面 即 到 平 面 的 距 离 为 2112(CBA 点 到 平 面 的 距 离 为 分 ）111 111() , . , .,(0)2,(0,)(,2)(,0)(,2)(,10
12、,2).(CBABABxyzxyzMN向 量 法 ： 为 直 三 棱 柱 即 平 面 又 、 平 面又 以 为 原 点 ，的 方 向 为 、 、 正 方 向 建 立 如 图 所 示11 -.9.6AMNACNC 分 ）即异 面 直 线 与 所 成 的 角 为 分 ）111111111()(,)(,)(,)0,2, (02).(8BBACACBAACBd， 又 平 面 平 面 平 面为 平 面 的 一 个 法 向 量 ， ， ， 分 ）点 到 平 面 的 距 离 为 14.分 ）20 .【解析】：（1）由a n+1=2Sn+1 可得a n=2Sn1 +1（n2） ，两式相减得a n+1a n=2
13、an即a n+1=3an（n2） 又a 2=2S1+1=3，所以a 2=3a1故a n是首项为 1，公比为 3 的等比数列所以a n=3n1 .（3 分）由点P（b n，b n+1）在直线xy+2=0 上，所以b n+1b n=2则数列b n是首项为 1，公差为 2 的等差数列则b n=1+（n1）2=2n-1 .（6 分）（2）因为 ，所以 - 9 -则 ，两式相减得：（9 分）所以= .(12 分）21. 解析：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OM，因为四边形 ABCD 为菱形， OB OD，又 M 为 PD 的中点，所以 OM PB.由 PB平面 AMC， OM平面 A
14、MC，所以 PB平面ACM(4 分）(2)AB, 60. , , .NPDABCDABNABNPPCDNBxyz取 中 点 连 接 ， ， 四 边 形 为 棱 形 ，为 等 边 三 角 形 ，又 平 面 平 面 平 面 平 面平 面 又 平 面 平 面即 、 、 两 两 垂 直 以 为 原 点 ，、 、 、 方 向 为 、 、 正 方 .(6Nxyz向 建 立 空 间 角 坐 标 系 如 图 所 示 分 ）则 ， ， ， ， ，则 ，设平面 AMC 的法向量为 n( x， y， z)，则令 ，则 ， ，即 (8 分）3y1x3z)3,1(n- 10 -又 ，设 ，则 ，故直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值为 .（12 分）139222. .（4 分）.（II）(i)以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴，以过点 且平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系.则 ，（5分）设 ，则 ， ，设平面 的法向量为 ，则 即 ，令 ，得 ， ，与平面 所成角的大小为 ， 解得 或 （舍） ，- 11 -故平面 的一个法向量为 ，.（7 分）， .（9 分）（II）(ii) 又 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，则故二面角 的余弦值为 （12 分）
