1、1培优点八 万有引力定律及其应用一、考点分析1. “万有引力与航天”几乎每年必考，以选择题为主。近几年的出题主要集中在天体质量、密度的计算，卫星运动的各物理量间的比较，以及卫星的发射与变轨问题。2. 几点注意：(1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力，忽略自转时重力等于万有引力；(2)由 v 得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要GMr符合三个宇宙速度；(3)卫星在运行中的变轨有两种情况：离心运动和向心运动。二、考题再现典例 1. (2018全国 I 卷20) 2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波，根据科学家们复原的过程，在
2、两颗中星合并前约 100 s 时，它们相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子( )A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率 f =12 Hz（周期 T =1/12 s） ，由万有引力等于向心力，可得： 2121()mGrf， 212()mGrf， r1+ r2= r = 40 km，联立解得：(m1+m2)=(2 f )2Gr3， B 正确、A 错误；由 v1=r 1=2 fr1， v2=r 2=2
3、 f r2，联立解得：v1+ v2=2 f r，C 正确；不能得出各自自转的角速度，D 错误。【答案】BC典例 2. (2018全国 II 卷16) 2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253” ，其自转周期 T =5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 126.70Nm/kg。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A. 93510kg/m B. 1235/ C. 1530kg/ D. 18350kg/m2【解析】设脉冲星值量为 M，密度为 ，根据天体运动规律知：22MmGrTr，34/MVr，代入可得
4、： 1530kg/m，故 C 正确。【答案】C典例 3.(2018全国 III 卷15) 为了探测引力波， “天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。 P 与 Q 的周期之比约为( )A. 2 : 1 B. 4 : 1 C. 8 : 1 D. 16 : 1【解析】设地球半径为 R，根据题述，地球卫星 P 的轨道半径为 RP =16R，地球卫星 Q 的轨道半径为 RQ = 4R，根据开普勒定律，2364QTR，所以 P 与 Q 的周期之比为 TP TQ = 81，选项 C 正确。【答案】C 三、对点速练1如图，地球和
5、行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和形状做匀速圆周运动的半径 r1、 r2之比为 1 : 4，不计地球和行星之间的相互影响，下列说法不正确的是( )A行星绕太阳做圆周运动的周期为 8 年B地球和行星的线速度大小之比为 1 : 2C由图示位置开始计时，至少再经过 7年，地球位于太阳和行星连线之间D经过相同时间，地球、行星半径扫过的面积之比为 1 : 2【答案】B【解析】地球和行星均绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳做圆周运动的周期为 T1 = 8 年，根据321rT解得 T2 = 8 年，A 正确；根据22MmvGr可知 12，B 错误；根据12Tt可得 7t年，C 正确；天体半径扫过的面积为 S，而
6、 tT，联立3解得2trST，故经过相同时间，地球和行星半径扫过的面积之比为 12S，D 正确。2(多选)2017 年 8 月我国 FAST 天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星。其中一颗星的自转周期为 T（实际测量为 1.83 s，距离地球 1.6 万光年） ，假设该星球恰好能维持自转不瓦解；地球可视为球体，其自转周期为 T0；同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的0.9 倍，已知万有引力常量为 G，则该脉冲星的平均密度 及其与地球的平均密度 0之比正确的是( )A 23GT B 3GT C201TD201T【答案】AC【解析】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，即22MmG
7、RT，又34MR，联立解得 3GT，A 正确；设地球质量为 M0，半径为 R0，由于两极处物体的重力 P 等于地球对物体的万有引力，即 02mPR，在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有20 02.9GPT，联立解得2004RMGT，地球平均密度 023MVT，C 对。3(多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量探测器先在近星轨道上做圆周运动测出运行周期为 T；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度 h 与抛出速度 v 的二次方的关系，如图所示，图中 a、 b 已知，引力常量为 G，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得(
8、)A该星球表面的重力加速度为2baB该星球的半径为bT28a 2C该星球的密度为3GT2D该星球的第一宇宙速度为4aT b【答案】BC4我国首颗量子科学实验卫星于 2016 年 8 月 16 日 1 点 40 分成功发射。量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密4通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的 m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的 n 倍，图中 P 点是地球赤道上一点，由此可知( )A同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n3m3B同步卫星与 P 点的速度之比为1nC量子卫星与同步卫
9、星的速度之比为nmD量子卫星与 P 点的速度之比为n3m【答案】D【解析】根据 G m r，得 T ，由题意知 r 量 mR， r 同 nR，所以 Mmr2 4 2T2 4 2r3GM T同T量 ，故 A 错误； P 为地球赤道上一点， P 点角速度等于同步卫星的角速度，根据r3同r3量 n3m3v r ，所以有 ，故 B 错误；根据 G m ，得 v ，所以 v同vP r同rP nRR n1 Mmr2 v2r GMr v量v同 ，故 C 错误； v 同 nvP， ，得 ，故 D 正确。r同r量 nRmR nm v量v同 v量nvP nm v量vP n3m5. 某试验卫星在地球赤道平面内一圆形
10、轨道上运行，每 5 天对某城市访问一次，下列关于该卫星的描述中正确的是( )A. 角速度可能大于地球自转角速度 B. 线速度可能大于第一宇宙速度C. 高度一定小于同步卫星的高度 D. 向心加速度可能大于地面的重力加速度【答案】A【解析】设卫星的周期为 T，地球自转的周期为 T0，则有 00252T，或者002255T，可解得卫星的周期 06或者 04，即卫星的角速度可能大于地球自转角速度，也可能小于地球自转的角速度，A 正确；由卫星的线速度 GMvr可知，所有卫星的速度小于等于第一宇宙速度，B 错误；卫星的高度越高则周期越大，由 A选项解析可知，卫星的周期可能大于也能小于同步卫星的周期，所以卫
11、星的高度可能大于也可能小于同步卫星的高度，C 错误；根据牛顿第二定律 2MmGar，向心加速度 2ar，卫星的高度高于地面，所以其向心加速度小于地面的重力加速度，D 错误。56(多选) 2015 年 12 月 10 日，我国成功将中星 1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道。如图所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，卫星远地点 P 距地心 O 的距离为 3R。则( )A卫星在远地点的速度大于3gR3B卫星经过远地点时速度最小C卫星经过远地点时的加速度大小为g9D卫星经过远地点时加速，卫星将不能再次经过远地点【答案】BC【解析】对地球表面
12、的物体有 m0g，得 GM gR2，若卫星沿半径为 3R 的圆周轨道运行GMm0R2时有 GMm 3R 2m ，运行速度为 v ，从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速，因此，卫星v23R GM3R 3gR3在远地点的速度小于 ，A 错误；卫星由近地点到远地点的过程中，万有引力做负功，3gR3速度减小，所以卫星经过远地点时速度最小，B 正确；卫星经过远地点时的加速度 a ，C 正确；卫星经过远地点时加速，可能变轨到轨道半径为 3R 的圆轨道上，所GM 3R 2 g9以卫星还可能再次经过远地点，D 错误。7 “天宫一号”目标飞行器在离地面 343 km 的圆形轨道上运行，其轨道所处的空间存在极其稀薄
13、的大气。下列说法正确的是( )A如不加干预， “天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小B如不加干预， “天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小C “天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度D航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态，说明航天员不受地球引力作用【答案】A【解析】根据万有引力提供向心力有 m ，解得： T ，由于摩擦阻力作GMmr2 4 2rT2 4 2r3GM用，卫星轨道高度将降低，则周期减小，A 项正确；根据 m ，解得： v ，轨道GMmr2 v2r GMr6高度降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，B 项错误；根据 ma，得 a ， “天宫GMmr2 GMr2一号”的轨道半径大
14、于地球半径，则加速度小于地球表面的重力加速度，C 项错误；完全失重状态说明航天员对悬绳的拉力或对支持物体的压力为 0，而地球对他的万有引力提供他随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，D 项错误。82016 年 2 月 11 日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念 100 周年后，引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞 A、 B 可视为质点，它们围绕连线上 O 点做匀速圆周运动，且 AO 大于 BO，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是( )
15、A黑洞 A 的向心力大于 B 的向心力B黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度C黑洞 A 的质量大于 B 的质量D两黑洞之间的距离越大， A 的周期越小【答案】B【解析】两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知， A 对 B 的作用力与 B 对 A 的作用力大小相等、方向相反，则黑洞 A 的向心力等于 B 的向心力，故 A 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知 A 的轨道半径比较大，根据 v r 可知，黑洞A 的线速度大于 B 的线速度，故 B 正确；由于 mA 2rA mB 2rB，由于 A 的轨道半径比较大，所以 A 的质量小，故 C 错误；
16、两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以 G mAmAmBL2rA mB rB，又： rA rB L，得 rA ， L 为二者之间的距离，所以得：4 2T2 4 2T2 mBLmA mBG mA ，即： T2 ，则两黑洞之间的距离越小， A 的周期越小，mAmBL2 4 2T2 mBLmA mB 4 2L3G mA mB故 D 错误。9(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统三颗星体位于等边三角形的三个顶点上。已知某直线三星系
17、统 A 每颗星体的质量均为 m，相邻两颗星中心间7的距离都为 R；某三角形三星系统 B 的每颗星体的质量恰好也均为 m，且三星系统 A 外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统 B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为 G，则( )A三星系统 A 外侧两颗星体运动的线速度大小为 vGmRB三星系统 A 外侧两颗星体运动的角速度大小为 12R 5GmRC三星系统 B 的运动周期为 T4 RR5GmD三星系统 B 任意两颗星体中心间的距离为 L R3125【答案】BCD【解析】三星系统 A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为 R 的圆轨道上运行。其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有： G Gm2R2 m ，解得 v ，A 错误；三星系统 A 中，周期 Tm2（ 2R） 2 v2R 5Gm4R4 R ，则其角速度为 ，B 正确；由于两种系统周期相等，则2 Rv R5Gm 2T 12R 5GmR三星系统 B 的运行周期为 T4 R ，C 正确；三星系统 B 中，三颗星体位于等边三角R5Gm形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2 cos 30 m ，解得 L R，D 正Gm2L2 L2cos 304 2T2 3125确。
