1、1专题突破练 25 坐标系与参数方程1.(2018 山西吕梁一模,22)直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数),曲线 C2:+y2=1.(1)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C1,C2的极坐标方程;(2)射线 = ( 0)与 C1异于极点的交点为 A,与 C2的交点为 B,求 |AB|.22.(2018 湖南衡阳二模,理 22)已知直线 l 的参数方程为(其中 t 为参数),以坐标原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2-2m cos - 4=0(其中 m0).(1)若点 M 的直角坐标为(3,3),且点
2、M 在曲线 C 内,求实数 m 的取值范围;(2)若 m=3,当 变化时,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围 .33.(2018 全国卷 1,22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2 cos - 3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程 .4.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:(t 为参数, t0),其中 0 0)与曲线 C1,C2分别交于 A,B 两点,定点 M(2,0),求 MAB 的面积 .78.在直角坐标系
3、 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 为参数),直线 l 的参数方程为( t 为参数) .(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为,求 a.8参考答案专题突破练 25 坐标系与参数方程(选修 44)1.解 (1)曲线 C1:( 为参数),化为普通方程为 x2+y2=2x,所以曲线 C1的极坐标方程为 = 2cos ,曲线 C2的极坐标方程为 2(1+2sin2 )=3.(2)射线 = ( 0)与曲线 C1的交点的极径为 1=2cos=1,射线 = ( 0)与曲线 C2的交点的极径满足(1 +2sin2 =3,解得 2=,所以 |AB|=| 1
4、- 2|=-1.2.解 (1)由得曲线 C 对应的直角坐标方程为( x-m)2+y2=m2+4.由点 M 在曲线 C 的内部, (3-m)2+9m2+4,求得实数 m 的取值范围为 ,+ .(2)直线 l 的极坐标方程为 = ,代入曲线 C 的极坐标方程整理得 2-6 cos - 4=0,设直线l 与曲线 C 的两个交点对应的极径分别为 1, 2, 1+ 2=6cos , 1 2=-4,则直线 l 截得曲线C 的弦长为 | 1- 2|=4,2.即直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围是4,2 .3.解 (1)由 x= cos ,y= sin 得 C2的直角坐标方程为( x+1)2+y2=4
5、.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆 .由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线 .记 y 轴右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2,由于 B 在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且l1与 C2有两个公共点 .9当 l1与 C2只有一个公共点时, A 到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=-或 k=0.经检验,当k=0 时, l1与 C2没有公共点;当 k=-时, l1与 C2只有一个公共点, l2与 C2有两个公
6、共点 .当 l2与 C2只有一个公共点时, A 到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0 或 k=,经检验,当k=0 时, l1与 C2没有公共点;当 k=时, l2与 C2没有公共点 .综上,所求 C1的方程为 y=-|x|+2.4.解 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.联立解得所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和(2)曲线 C1的极坐标方程为 = ( R, 0),其中 0 .因此 A 的极坐标为(2sin , ),B 的极坐标为(2cos , ).所以 |AB|=|2sin - 2cos |= 4
7、 当 = 时, |AB|取得最大值,最大值为 4.5.解 (1)曲线 2=,即 2+ 2sin2= 2, 2=x2+y2, sin =y , 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+2y2=2 即 +y2=1.(2)将代入 x2+2y2=2 并整理得(1 +sin2 )t2+2tcos - 1=0,t 1+t2=-,t1t2=,|t 1-t2|=,=26.解 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参数 m 得 l2的普通方程 l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去 k 得 x2-y2=4(y0) .所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y0) .(2)C
8、的极坐标方程为 2(cos2- sin2 )=4(0 2, ) .联立得 cos - sin = 2(cos + sin ).故 tan =- ,10从而 cos2= ,sin2=代入 2(cos2- sin2 )=4 得 2=5,所以交点 M 的极径为7.解 (1)曲线 C1的极坐标方程为 = 4cos .设 Q( , ),则 P ,- ,则有 = 4cos - =4sin . 所以,曲线 C2的极坐标方程为 = 4sin .(2)M 到射线 = 的距离为 d=2sin,|AB|= B- A=4 sin-cos =2(-1),则 S=|AB|d=3-8.解 (1)曲线 C 的普通方程为 +y2=1.当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.由解得从而 C 与 l的交点坐标为(3,0),(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos ,sin )到 l 的距离为 d=当 a -4 时, d 的最大值为 .由题设得,所以 a=8;当 a-4 时, d 的最大值为由题设得,所以 a=-16.综上, a=8 或 a=-16.
