四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用同步测试（打包13套）新人教A版选修2-2.zip

1第 10课时 生活中的优化问题举例基础达标(水平一)1.有一长为 16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( ).A.4 m2 B.8 m2 C.12 m2 D.16 m2【解析】设矩形一边长为 x(00),𝑥275y'= - x2,令 y'=0,得 x=25,250𝑥 225当 x∈(0,25)时, y'0;当 x∈(25, +∞ )时, y'0;当 300 时, y'0.所以当 x= 时周长最小 .𝑆 𝑆 𝑆【答案】 𝑆6.某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品,若该商品定价为 P元,则销售量 Q(单位:件)与定价 P(单位:元)有如下关系: Q=8300-170P-P2.则该商品定价为 元时,毛利润 L最大 . 【解析】由题意得 L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P0),∴L'=- 3P2-300P+11700.令 L'=0,得 P=30或 P=-130(舍去) .当 P∈(0,30)时, L'0;当 P∈(30, +∞ )时, L'0,h(x)是单调递增函数 .所以当 x=60时, h(x)min= ≈8 .7.263故当快艇以 60千米 /小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少约为 8.7升 .拓展提升(水平二)38.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为 30千米 /小时,当速度为 10千米 /小时时,它的燃料费是每小时 25元,其余费用(无论速度如何)是每小时 400元 .如果甲、乙两地相距 800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为( ).A.30千米 /小时 B.25千米 /小时C.20千米 /小时 D.10千米 /小时【解析】设航速为 v(0≤ v≤30),每小时燃料费为 m,则 m=kv3,∵v= 10时, m=25,代入上式得 k= ,140∴ 总费用 y= ·m+ ×400=20v2+ ,800𝑣 800𝑣 320000𝑣∴y'= 40v- .令 y'=0,得 v=20.经判断知 v=20时, y最小,故选 C.320000𝑣2【答案】C9.以长为 10的线段 AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( ).A.10 B.15 C.25 D.50【解析】设矩形垂直于 AB的一边长为 x,则另一边长为 2 ,于是矩形面积 S(x)25-𝑥2=2x· (00,𝑥0, 设水箱的容积为 V cm3,则有 V=- x3+60x2 ,12V'=- x2+120x. 32令 V'=0,解得 x=80(x=0舍去) .当 x∈(0,80)时, V'0;当 x∈(80,120)时, V'0.4因此 x=80是函数 V=- x3+60x2 的极大值点,也是最大值点,此时 V=128000 cm3.121第 11 课时 定积分的概念基础达标(水平一)1.定积分 (-3)dx=( ).∫31 A.-6 B.6 C.-3 D.3【解析】因为 3dx 表示图中阴影部分的面积 S=3×2=6,∫31 所以 (-3)dx=- 3dx=-6.∫31 ∫31 【答案】A2.汽车以 10 m/s 的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以 -2 m/s2的加速度刹车,若把刹车时间 5 等分,则从开始刹车到停车,汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( ).A.80 m B.60 m C.40 m D.30 m【解析】由题意知 v(t)=v0+at=10-2t.令 v(t)=0,得 t=5,即 t=5 s 时,汽车将停车 .将区间[0,5]5 等分,用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度,可得汽车刹车距离的过剩估计值为 S=(10+10-2×1+10-2×2+10-2×3+10-2×4)×1=30(m).【答案】D3.根据定积分的定义,则 x2dx=( ).∫30 A. ·𝑛∑𝑖=1(𝑖-1𝑛)2 1𝑛B. ·𝑙𝑖𝑚𝑛→ +∞𝑛∑𝑖=1(𝑖-1𝑛)2 1𝑛C. ·lim𝑛→ +∞(3𝑖𝑛)2 3𝑛D. ·lim𝑛→ +∞𝑛∑𝑖=1(3𝑖𝑛)2 3𝑛【解析】由定积分的定义可知 x2dx= · . 每个小区间 的长度为∫30 lim𝑛→ +∞𝑛∑𝑖=1(3𝑖𝑛)2 3𝑛 [3(𝑖-1)𝑛 ,3𝑖𝑛],ξ i取每个小区间的右端点3𝑛【答案】D4.下列等式不成立的是( ).A. [mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dx∫𝑏𝑎 ∫𝑏𝑎 ∫𝑏𝑎 2B. [f(x)+1]dx= f(x)dx+b-a∫𝑏𝑎 ∫𝑏𝑎 C. f(x)g(x)dx= f(x)dx· g(x)dx∫𝑏𝑎 ∫𝑏𝑎 ∫𝑏𝑎 D. sin xdx= sin xdx+ sin xdx∫2𝜋-2𝜋 ∫0-2𝜋 ∫2𝜋0 【解析】利用定积分的性质判断 C 不成立 .【答案】C5.如图所示,曲线 y=f(x)与直线 x=a,x=b,y=0 围成的阴影部分的面积 S 为 . 【解析】如图所示,在区间[ a,c)上, f(x)0,若 (2x-2)dx=8,则 t=( ).∫𝑡0 A.1 B.-2 C.-2 或 4 D.4【解析】函数 f(x)=2x-2 的图象如图所示,与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,-2),易求得 S△ OAB=1.∵ (2x-2)dx=8,且 (2x-2)dx=-1,∴t 1,∫𝑡0 ∫10 ∴S △ AEF= |AE||EF|= ×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,∴t= 4,故选 D.12 12【答案】D9.下列命题不正确的是( ).A.若 f(x)是连续的奇函数,则 f(x)dx=0∫𝑎-𝑎 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx∫𝑎-𝑎 ∫𝑎0 C.若 f(x)在[ a,b]上连续且恒为正,则 f(x)dx0∫𝑏𝑎 D.若 f(x)在[ a,b)上连续且 f(x)dx0,则 f(x)在[ a,b)上恒为正∫𝑏𝑎 【解析】本题考查定积分的几何意义,对于 A:因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相等,故积分是 0,所以 A 正确 .对于 B:因为 f(x)是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,故两边图象都在 x 轴上方或下方且面积相等,故 B 正确.C显然正确.D 选项中 f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)0 的曲线围成的面积比 f(x)0 的曲线围成的面积大 .【答案】D10.如图所示,已知 f(x)dx=11, g(x)dx=9, =5,则图中阴影部分的面积为 ∫𝑏0 ∫𝑏0 ∫𝑎0𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)]𝑑𝑥. 4【解析】由定积分的定义知阴影部分的面积为 [f(x)-g(x)]dx= [f(x)-g(x)]∫𝑏𝑎 ∫𝑏0 dx+ [g(x)-f(x)]dx= f(x)dx- g(x)dx+ [g(x)-f(x)]dx=11-9+5=7.∫𝑎0 ∫𝑏0 ∫𝑏0 ∫𝑎0 【答案】711.直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=16-x2围成一个曲边梯形 .若将区间[0,2]等分成 5 份,试估计该图形的面积,并写出估计值的误差;要使该误差小于 0.04,则至少要将区间分成多少等份?【解析】将区间[0,2]等分成 5 份,则过剩估计值为 S=(16-02+16-0.42+16-0.82+16-1.22+16-1.62)×0.4=30.08,不足估计值为 s=(16-0.42+16-0.82+16-1.22+16-1.62+16-22)×0.4=28.48.所以该图形的面积介于 28.48 与 30.08 之间 .又 S-s=1.6,所以无论是用 S 还是用 s 来表示曲边梯形的面积,误差都不会超过 1.6.设区间[0,2]等分成 n 份,仿照上面的方法知,[(16-02)-(16-22)]× ≤0 .04,得 n≥200,即至少要将区间分成 200 等份,才能使估计值2𝑛的误差小于 0.04.1第 12课时 微积分基本定理基础达标(水平一)1.设 f(x)=x3+x,则 f(x)dx的值等于( ).∫2-2 A.0 B.8C. f(x)dx D.2 f(x)dx∫20 ∫20 【解析】因为 f(x)=x3+x在[ -2,2]上为奇函数,所以 f(x)dx=0.∫2-2 【答案】A2. (ex+e-x)dx等于( ).∫10 A.e+ B.2e C. D.e-1𝑒 2𝑒 1𝑒【解析】 e-xdx=ex +(-e-x) =e-e0-e-1+e0=e- .∫10𝑒𝑥+𝑒-𝑥)𝑑𝑥=∫10𝑒𝑥𝑑𝑥+∫10 10 10 1𝑒【答案】D3.已知函数 f(x)= 则 f(x)dx的值为( ).{𝑥2,-2≤𝑥≤0,𝑥+1,0𝑥≤2, ∫2-2 A. B.4 C.6 D.43 203【解析】 f(x)dx= x2dx+ (x+1)dx∫2-2 ∫0-2 ∫20 = +13𝑥3|0-2(12𝑥2+𝑥)|20=0- + = .(-83)(12×4+2-0)203【答案】D4.若 a= x2dx,b= x3dx,c= sin xdx,则 a,b,c的大小关系是( ).∫20 ∫20 ∫20 A.acb B.abcC.cba D.cab【解析】因为 a= x2dx= x3 = ,b= x3dx= x4 =4,c= sin xdx=-cos x =1-cos 2,所以∫20 13 | 2 0 83 ∫20 14 | 2 0 ∫20 | 2 0cab.【答案】D5.设变力 F(x)作用在质点 M上,使 M沿 x轴正向从 x=1运动到 x=10,已知 F(x)=x2+1的方向和 x轴正向相同,则变力 F(x)对质点 M所做的功为 J(x的单位:m,力的单位:N) . 【解析】由题意知变力 F(x)对质点 M所做的功为(x2+1)dx= =342 J.∫101 (𝑥33+𝑥) 1012【答案】3426.已知函数 f(x)满足 f(x+2)= ,且当 0≤ x4时, f(x)=2x+ cos tdt,则 f(2017)= 1𝑓(𝑥) ∫𝜋60 . 【解析】由 f(x+2)= 可知 ,函数 f(x)的周期为 4,1𝑓(𝑥)故 f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21+ cos tdt=2+sin t =2+ = .∫𝜋60 | 𝜋60 1252【答案】527.若 f(x)是一次函数,且 f(x)dx=5, [xf(x)]dx= ,求 dx的值 .∫10 ∫10 176 ∫21 𝑓(𝑥)𝑥【解析】 ∵f (x)是一次函数, ∴ 设 f(x)=ax+b(a≠0) .由 f(x)dx=5,得 = a+b=5, ①∫10 (12𝑎𝑥2+𝑏𝑥) 1012由 [xf(x)]dx= ,得 (ax2+bx)dx= ,即 = ,∫10 176 ∫10 176 (13𝑎𝑥3+12𝑏𝑥2) 10176即 a+ b= . ②13 12 176由 ①② ,得 a=4,b=3,∴f (x)=4x+3.所以 dx= dx= dx=(4x+3ln x) =4+3ln 2.∫21 𝑓(𝑥)𝑥 ∫21 4𝑥+3𝑥 ∫21 (4+3𝑥) 21拓展提升(水平二)8.已知函数 f(x)=xn+mx的导函数 f'(x)=2x+2,则 f(-x)dx=( ).∫31 A.0 B.3 C.- D.23 23【解析】 ∵f (x)=xn+mx的导函数 f'(x)=2x+2,∴nx n-1+m=2x+2,解得 n=2,m=2,∴f (x)=x2+2x,∴f (-x)=x2-2x,∴ f(-x)dx= (x2-2x)dx= =9-9- +1= ,故选 D.∫31 ∫31 (13𝑥3-𝑥2) 31 13 23【答案】D9.定义在 R上的可导函数 y=f(x),如果存在 x0∈[ a,b],使得 f(x0)= 成立,那么称 x0∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏-𝑎为函数 f(x)在区间[ a,b]上的“平均值点”,则函数 f(x)=x3-3x在区间[ -2,2]上的“平均值点”的个数为( ).A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由已知得 f(x0)=∫2-2𝑥3-3𝑥)𝑑𝑥4= =0,(14𝑥4-32𝑥2)| 2-243即 -3x0=0,解得 x0=0或 x0=± ,𝑥30 3∴f (x)在区间[ -2,2]上的“平均值点”有 3个,故选 C.【答案】C10.若函数 f(x)在 R上可导,且 f(x)=x3+x2f'(1),则 f(x)dx= . ∫20 【解析】 ∵f (x)=x3+x2f'(1),∴f' (x)=3x2+2xf'(1),∴f' (1)=3+2f'(1),解得 f'(1)=-3,∴f (x)=x3-3x2.∴ f(x)dx= =4-8=-4.∫20 (14𝑥4-𝑥3) 20【答案】 -411.已知 f(x)= f(x)dx= 恒成立,求 k的值 .{2𝑥+1,𝑥∈[-2,2],1+𝑥2,𝑥∈(2,4],∫3𝑘 403【解析】分 2k3和 -2≤ k≤2 两种情况讨论:当 2k3时, dx= =(3+9)- = ,∫3𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫3𝑘1+𝑥2) (𝑥+𝑥33)| 3 𝑘 (𝑘+𝑘33)403整理得 k3+3k+4=0,即 k3+k2-k2+3k+4=0,∴ (k+1)(k2-k+4)=0,解得 k=-1.又2≤ k3,∴k=- 1(舍去) .当 -2≤ k≤2 时, = (2x+1)dx+ (1+x2)dx∫3𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥∫2𝑘 ∫32 =(x2+x) +|2 𝑘 (𝑥+𝑥33)| 3 2=(4+2)-(k2+k)+(3+9)-(2+83)= -(k2+k)= ,403 403∴k 2+k=0,即 k=0或 k=-1.综上所述, k=0或 k=-1.1第 13 课时 定积分的简单应用基础达标(水平一)1.由曲线 y=x3与直线 y=x 所围成图形的面积等于( ).A. (x-x3)dx B.2 (x-x3)dx∫1-1 ∫10 C. (x3-x)dx D.2 (x-x3)dx∫1-1 ∫0-1 【解析】如图, x 轴下方与上方的面积相等 .故选 B.【答案】B2.与定积分 |sin x|dx 相等的是( ).∫32𝜋0 A.|∫32𝜋0sin𝑥𝑑𝑥|B. sin xdx∫32𝜋0 C. sin xdx- sin xdx∫𝜋 0 ∫32𝜋𝜋 D. sin xdx+ sin xdx∫𝜋 0 ∫32𝜋𝜋 【解析】结合图象(图略),利用定积分的几何意义可知选 C.【答案】C3.曲线 y=sin x(0≤ x≤π)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是( ).12A. B.2-3 3C.2- D. -𝜋3 3𝜋3【解析】由 sin x= 及 0≤ x≤π,得 x= 或 x= ,12 𝜋6 5𝜋6所以曲线 y=sin x(0≤ x≤π)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是 S= sin xdx- ×12 ∫5𝜋6𝜋6 12- =-cos +cos - = - .(5𝜋6-𝜋6)=-cos𝑥|5𝜋6𝜋6𝜋3 5𝜋6 𝜋6𝜋3 3𝜋3【答案】D4.已知曲线 y=x2和曲线 y= 围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( ).𝑥2A.1B.12C.22D.13【解析】 S= = .∫10𝑥-𝑥2)𝑑𝑥=(23𝑥32-𝑥33)| 1 0 13【答案】D5.一物体在力 F(x)=3x2-2x+5(力单位:N,位移单位:m)作用力下,沿与力 F(x)相同的方向由x=5 m 直线运动到 x=10 m 处所做的功是 . 【解析】 W= F(x)dx= (3x2-2x+5)dx∫105 ∫105 =(x3-x2+5x)| 105=(1000-100+50)-(125-25+25)=825 J.【答案】825 J6.曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为 . 【解析】由 xy=1 得 y= .由 y= =3,解得 xB= ,由 解得 xC=1,由 得 xD=3.所以1𝑥 1𝑥 13 {𝑥𝑦=1,𝑦=𝑥, {𝑦=3,𝑦=𝑥,根据积分的几何意义知所求面积为 (3-x)dx=(3x-ln x)∫113(3-1𝑥)𝑑𝑥+∫31 + =4+ln =4-ln 3.113(3𝑥-12𝑥2) 3113【答案】4 -ln 37.有一动点 P,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2,求:(1)当 t=5 时,点 P 距出发点的位置;(2)当 t=0 到 t=5 时,点 P 经过的路程 .3【解析】(1) s= (8t-2t2)dt= = .∫50 (4𝑡2-23𝑡3) 50503(2)当 v(t)=8t-2t2≥0,即当 0≤ t≤4 时,点 P 向 x 轴正方向运动;当 t4 时,点 P 向 x轴负方向运动 .因此所求路程应为 s2= (8t-2t2)dt+ [-(8t-2t2)]dt= +∫40 ∫54 (4𝑡2-23𝑡3) 40(23𝑡3-4𝑡2)=26. 54拓展提升(水平二)8.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间 t 的函数,若已知产量的变化率为 a= ,那么36𝑡从 3 小时到 6 小时期间内的产量为( ).A. B.3- C.6+3 D.6-312 322 2 2【解析】 dt= =6-3 ,故选 D.∫63 36𝑡 6𝑡 63 2【答案】D9.如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形区域内的 A 处与 C 处各有一个通信基站,其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影部分,该正方形区域内无其他信号来源且这两个基站工作正常,若在该正方形区域内随机选择一个地点,则该地点无信号的概率为( ).A. B.1- C. D.1-2𝑒22𝑒2 1𝑒 1𝑒【解析】由题意得 S 阴影 =2 (e-ex)dx=2(ex-ex) =2,故所求概率 P=1- =1- ,故∫10 10 𝑆阴影𝑆正方形 2𝑒2选 B.【答案】B10.如图,一水渠的横截面为等腰梯形,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【解析】建立如图所示平面直角坐标系 .4过点 B 作 BE⊥ x 轴于点 E,∵ ∠ BAE=45°,BE=2,∴AE= 2,又 OE=5,∴A (3,0),B(5,2).设抛物线的方程为 x2=2py(p0),代入点 B 的坐标,得 p= ,故抛物线的方程为 y= x2,254 225从而图中阴影部分的面积为 2 x2dx- ×2×2 = .∫50 225 12 83又易知等腰梯形 ABCD 的面积为 ×2=16,6+102∴ 原始的最大流量与当前的最大流量的比值为 = .1616-8365【答案】6511.如图所示,设点 P 在曲线 y=x2上,从原点向 A(2,4)移动,直线 OP,曲线 y=x2及直线 x=2 所围成的面积分别记为 S1,S2.(1)当 S1=S2时,求点 P 的坐标;(2)当 S1+S2有最小值时,求点 P 的坐标和 S1+S2的最小值 .【解析】(1)由题意,设点 P 的坐标为( t,t2)(00.25故当 t= 时, S1+S2有最小值为 - ,此时点 P 的坐标为( ,2).283423 2- 1 -第 1课时 变化率问题与导数的概念基础达标(水平一)1.函数 y=f(x)的自变量 x由 x0改变到 x0+Δ x时,函数值的改变量 Δ y等于( ).A.f(x0+Δ x) B.f(x0)+Δ xC.f(x0)·Δ x D.f(x0+Δ x)-f(x0)【解析】自变量 x0和 x0+Δ x对应的函数值分别为 f(x0)和 f(x0+Δ x),两式相减,即为函数值的改变量 .【答案】D2.已知函数 f(x)=ax+4,若 =2,则实数 a的值为( ).limΔ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥A.2 B.-2 C.3 D.-3【解析】 =2,即 f'(1)=2,𝑙𝑖𝑚Δ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥而 f'(1)= =a,所以 a=2.limΔ𝑥→ 0𝑎Δ𝑥Δ𝑥【答案】A3.已知函数 f(x)=2x2+1的图象上点 P(1,3)及邻近点 Q(1+Δ x,3+Δ y),则 =( ).Δ𝑦Δ𝑥A.4 B.4Δ x C.4+2Δ x D.2Δ x【解析】由题意,Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=2(1+Δ x)2+1-3=4Δ x+2(Δ x)2,∴ = =4+2Δ x.Δ𝑦Δ𝑥4Δ𝑥+2(Δ𝑥)2Δ𝑥【答案】C4.物体甲、乙在时间 0到 t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( ).A.在 0到 t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在 0到 t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在 t0到 t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在 t0到 t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】在 0到 t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在 t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大 .【答案】C- 2 -5.函数 y=cos x在区间 上的平均变化率为 ;在区间 上的平均变化率为 [0,𝜋6] [𝜋3,𝜋2]. 【解析】当 x∈ 时, = = ;[0,𝜋6] Δ𝑦Δ𝑥cos𝜋6-cos0𝜋6-0 33-6𝜋当 x∈ 时, = = =- .[𝜋3,𝜋2] Δ𝑦Δ𝑥cos𝜋2-cos𝜋3𝜋2-𝜋30-12𝜋6 3𝜋因此, y=cos x在区间 和区间 上的平均变化率分别是 和 - .[0,𝜋6] [𝜋3,𝜋2] 33-6𝜋 3𝜋【答案】 -33-6𝜋 3𝜋6.过曲线 y=x2+1上两点 P(1,2)和 Q(1+Δ x,2+Δ y)作曲线的割线,当 Δ x=0.1时,割线的斜率k= . 【解析】割线的斜率 k= = =2+Δ x.当 Δ x=0.1时, k=2.1.(1+Δ𝑥)2+1-(12+1)1+Δ𝑥-1 2Δ𝑥+(Δ𝑥)2Δ𝑥【答案】2 .17.在某赛车比赛中,一赛车位移 s(单位:m)与比赛时间 t(单位:s)存在函数关系 s=10t+5t2.(1)当 t=20,Δ t=0.1时,求 Δ s与 的值;Δ𝑠Δ𝑡(2)求当 t=20时的瞬时速度 .【解析】(1)Δ s=s(20+Δ t)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=1+20+5×0.01=21.05 m,= =210.5 m/s.Δ𝑠Δ𝑡21.050.1(2)因为 =Δ𝑠Δ𝑡10(20+Δ𝑡)+5(20+Δ𝑡)2-10×20-5×202Δ𝑡=5Δ t+210,当 Δ t趋于 0时, 趋于 210,Δ𝑠Δ𝑡所以赛车在 t=20时的瞬时速度为 210 m/s.拓展提升(水平二)8.已知函数 f(x)在 x=1处存在导数,则 =( ).limΔ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)3Δ𝑥A.f'(1) B.3f'(1) C. f'(1)D.f'(3)13- 3 -【解析】 = = f'(1). 𝑙𝑖𝑚Δ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)3Δ𝑥 13limΔ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥 13【答案】C9.已知点 P(x0,y0)是抛物线 y=3x2+6x+1上的一点,且 f'(x0)=0,则点 P的坐标为( ).A.(1,10) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(-1,10)【解析】 ∵ =Δ𝑦Δ𝑥𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥=3(𝑥0+Δ𝑥)2+6(𝑥0+Δ𝑥)+1-3𝑥20-6𝑥0-1Δ𝑥=3Δ x+6x0+6,∴f' (x0)= = (3Δ x+6x0+6)=6x0+6=0,解得 x0=-1.limΔ𝑥→ 0Δ𝑦Δ𝑥 𝑙𝑖𝑚Δ𝑥→ 0把 x0=-1代入 y=3x2+6x+1,得 y=-2.∴ 点 P的坐标为( -1,-2).【答案】B10.设函数 f(x)=ax+b,若 f(1)=f'(1)=2,则 f(2)= . 【解析】由导数的定义可知 f'(1)= = = =a.limΔ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥 𝑙𝑖𝑚Δ𝑥→ 0[𝑎(1+Δ𝑥)+𝑏]-(𝑎+𝑏)Δ𝑥 limΔ𝑥→ 0𝑎Δ𝑥Δ𝑥∵f' (1)=2,∴a= 2.又 f(1)=2,∴a+b= 2,∴b= 0,∴f (x)=2x,f(2)=4.【答案】411.已知函数 f(x)=x+ (x0).1𝑥(1)记函数 f(x)从 x= 到 x=2的平均变化率为121第 2 课时 导数的几何意义基础达标(水平一)1.函数 f(x)=x2-1 在 x=1 处的导数是( ).A.0 B.1 C.2 D.以上都不对【解析】 f'(1)=limΔ𝑥→ 0𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=𝑙𝑖𝑚Δ𝑥→ 0(1+Δ𝑥)2-1-(12-1)Δ𝑥= (2+Δ x)=2.limΔ𝑥→ 0【答案】C2.若函数 f(x)=ax2+4 的图象在点(1, f(1))处的切线斜率为 4,则 a 等于( ).A.2 B.1 C.3 D.4【解析】由题意得 f'(1)= = = (2a+aΔ x)limΔ𝑥➝ 0𝑎(1+Δ𝑥)2+4-𝑎-4Δ𝑥 𝑙𝑖𝑚Δ𝑥➝ 02𝑎Δ𝑥+𝑎(Δ𝑥)2Δ𝑥 limΔ𝑥➝ 0=2a=4,∴a= 2.【答案】A3.函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所示,则 f(x)的函数图象可能是( ).【解析】由图可得 -10,解得 a2.故存在实数 a,使得经过点(1, a)能够作出该曲线的两条切线,且实数 a 的取值范围是( -∞ ,2).1第 3课时 几个常用函数的导数及其公式基础达标(水平一)1.已知 f(x)= ,则 f'(1)=( ).1𝑥3A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】因为 f(x)= =x-3,1𝑥3所以 f'(x)=-3x-4.故 f'(1)=-3.【答案】D2.曲线 y=x3的斜率等于 1的切线的条数为( ).A.1 B.2 C.3 D.不确定【解析】 ∵y'= 3x2,且 k=1,∴ 3x2=1,解得 x=± .33【答案】B3.曲线 y=ex在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ).A.e2B.2e2 C.4e2 D.𝑒22【解析】因为点(2,e 2)在曲线上, y'=ex,所以切线的斜率 k=e2,所以切线的方程为 y-e2=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0.又此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0, -e2),(1,0),所以三角形的面积 S= ×1×e2= .12 𝑒22【答案】D4.已知直线 y=kx是曲线 y=ex的切线,则实数 k的值为( ).A. B.- C.-e D.e1𝑒 1𝑒【解析】因为 y'=(ex)'=ex,设切点坐标为( x0,y0),所以 k= = = ,得 x0=1,所以𝑦0-0𝑥0-0𝑒𝑥0𝑥0𝑒𝑥0k=e.【答案】D5.若曲线 y=x2的某一切线与直线 y=4x+6平行,则切点坐标是 . 【解析】设切点坐标为( x0, ),𝑥20因为 y'=2x,所以切线的斜率 k=2x0,又切线与 y=4x+6平行,所以 2x0=4,解得 x0=2,故切点坐标为(2,4) .【答案】(2,4)6.抛物线 y=x2上的点到直线 x-y-2=0的距离的最小值为 . 2【解析】由题意可知,与直线 x-y-2=0平行的抛物线的切线的切点到直线 x-y-2=0距离最小 .∴ 该切线斜率为 1.设切点为( x0,y0),则有 y' =1=2x0,|𝑥=𝑥0∴x 0= ,∴ 切点为 ,12 (12,14)∴d= = .|12-14-2|12+(-1)2728【答案】7287.求曲线 y= 与 y=x2在它们交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形的面积 .1𝑥【解析】联立两条曲线方程 解得{𝑦=1𝑥,𝑦=𝑥2, {𝑥=1,𝑦=1,故交点坐标为(1,1) .∵k 1=- x=1=-1,k2=2x|x=1=2,1𝑥2∴ 两条切线的方程分别为 x+y-2=0,2x-y-1=0,与 x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示 .∵ 两条切线与 x轴的交点分别为(2,0), .(12,0)∴ 三角形的面积 S= ×1× = .12 (2-12)34拓展提升(水平二)8.已知曲线 y=x3-1与曲线 y=3- x2在 x=x0处的切线互相垂直,则 x0的值为( ).12A. B. C. D.33 3333393【解析】由导数的定义得,曲线 y=x3-1在 x=x0处的切线斜率 k1=3 ,曲线 y=3- x2在𝑥2012x=x0处的切线斜率为 k2=-x0.∵ 两条曲线在 x=x0处的切线互相垂直, ∴ 3 ·(-x0)=-1,∴x 0=𝑥20.故选 D.3933【答案】D9.若曲线 y= 在点 P(a, )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数 a的值是𝑥 𝑎( ).A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】 y'= ,∴ 切线方程为 y- = (x-a).令 x=0,得 y= ,令 y=0,得 x=-a.12𝑥 𝑎 12𝑎 𝑎2由题意知 × ×a=2,∴a= 4.12 𝑎2【答案】A10.函数 y=x2(x0)的图象在点( ak, )处的切线与 x轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N *,𝑎2𝑘若 a1=16,则 a1+a3+a5= . 【解析】 ∵y'= 2x,∴ 在点( ak, )处的切线方程为 y- =2ak(x-ak).又该切线与 x轴的交𝑎2𝑘 𝑎2𝑘点为( ak+1,0),∴a k+1= ak,即数列{ ak}是首项 a1=16,公比 q= 的等比数列,12 12∴a 3=4,a5=1,∴a 1+a3+a5=21.【答案】2111.已知两条曲线 y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直?并说明理由 .【解析】不存在 .理由如下:设 y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为 P(x0,y0).则两条曲线在 P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y1' =cos x0,|𝑥=𝑥0k2=y2' =-sin x0,|𝑥=𝑥0若使两条切线互相垂直,必须有cos x0·(-sin x0)=-1,即 sin x0·cos x0=1,即 sin 2x0=2,这是不可能的,∴ 两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直 .1第 4课时 导数的运算法则基础达标(水平一)1.已知 f(x)=x2f'(1),则 f'(0)=( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】因为 f(x)=x2f'(1),所以 f'(x)=2xf'(1),所以 f'(0)=2f'(1)×0=0.【答案】A2.已知函数 f(x)=ax3+3x2+2,若 f'(-1)=4,则 a的值是( ).A. B. C. D.193 133 103 163【解析】由 f(x)=ax3+3x2+2,得 f'(x)=3ax2+6x.所以 f'(-1)=3a-6=4,解得 a= .103【答案】C3.若 f(x)=ax2-bsin x,且 f'(0)=1,f' = ,则 a+b等于( ).(𝜋3)12A.1 B.0 C.-1 D.2【解析】因为 f'(x)=2ax-bcos x,所以 f'(0)=-b,f' = a-bcos = a- b,(𝜋3)2𝜋3 𝜋32𝜋3 12所以 解得 所以 a+b=-1.{𝑏=-1,2𝜋3𝑎-12𝑏=12, {𝑎=0,𝑏=-1,【答案】C4.曲线 y=xsin x在点 处的切线与 x轴、直线 x=π 所围成的三角形的面积为( ).(-𝜋2,𝜋2)A. B.π 2 C.2π 2 D. (2+π) 2𝜋22 12【解析】因为曲线 y=xsin x在点 处的切线方程为 y=-x,所以此切线与 x轴、直(-𝜋2,𝜋2)线 x=π 所围成的三角形的面积为 .𝜋22【答案】A5.若函数 f(x)在(0, +∞ )内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f'(1)= . 【解析】 ∵f (ex)=x+ex=ln ex+ex,∴f (x)=ln x+x.∴f' (x)= +1,∴f' (1)=2.1𝑥【答案】26.若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f'(x)0的解集为 . 【解析】由 f(x)=x2-2x-4ln x,得函数定义域为(0, +∞ ),且 f'(x)=2x-2-= =2· =2· 0,解得 x2,故 f'(x)0的解集为{ x|x2}.4𝑥2𝑥2-2𝑥-4𝑥 𝑥2-𝑥-2𝑥 (𝑥+1)(𝑥-2)𝑥【答案】{ x|x2}7.设函数 f(x)=x3+bx2+cx,若 g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数,求 b+c的值 .【解析】 ∵ 函数 f(x)=x3+bx2+cx,2∴f' (x)=3x2+2bx+c,∴g (x)=f(x)-f'(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.∵g (x)为奇函数,∴b- 3=0,-c=0,即 b=3,c=0,∴b+c= 3.拓展提升(水平二)8.已知直线 y=kx是曲线 y=ln x的切线,则 k的值为( ).A.-e B.e C.- D.1𝑒 1𝑒【解析】 ∵y'= =k,∴x= ,∴ 切点坐标为 .又切点在曲线 y=ln x上,1𝑥 1𝑘 (1𝑘,1)∴ ln =1,∴ =e,k= .1𝑘 1𝑘 1𝑒【答案】D9.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,fn+1(x)=fn'(x),n∈N,则 f2020(x)等于( ).A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x【解析】 ∵f 0(x)=sin x,∴f 1(x)=f0'(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=f1'(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=f2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=f3'(x)=(-cos x)'=sin x,……∴ 4为 fn(x)的最小正周期,∴f 2020(x)=f4×505(x)=f0(x)=sin x.故选 A.【答案】A10.若函数 f(x)=ex+2ax存在与直线 y=5x+6平行的切线,则实数 a的取值范围是 . 【解析】 ∵f' (x)=ex+2a,由题意 ex+2a=5有解, ∴ ex=5-2a,∴ 5-2a0,∴a .52【答案】 (-∞,52)11.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0.𝑏𝑥(1)求 f(x)的解析式;(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0和直线 y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值 .【解析】(1)由 7x-4y-12=0,得 y= x-3.74当 x=2时, y= ,所以 f(2)= . ①12 12又 f'(x)=a+ ,所以 f'(2)= . ②𝑏𝑥2 74由 ①② 得{2𝑎-𝑏2=12,𝑎+𝑏4=74.3解得 故 f(x)=x- .{𝑎=1,𝑏=3. 3𝑥(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f'(x)=1+ ,3𝑥2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0= (x-x0),(1+3𝑥20)即 y- = (x-x0).(𝑥0-3𝑥0)(1+3𝑥20)令 x=0,得 y=- ,即得切线与直线 x=0的交点坐标为 .6𝑥0 (0,-6𝑥0)令 y=x,得 y=x=2x0,即得切线与直线 y=x的交点坐标为(2 x0,2x0).所以曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0和直线 y=x所围成的三角形面积为· ·|2x0|=6.12 |-6𝑥0|故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0和直线 y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.