1、1专题能力训练 19 排列、组合与二项式定理一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有( )A.192 种 B.216 种C.240 种 D.288 种2.已知 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x4的系数为( )(2+1)A.5 B.40C.20 D.103.已知(1 +x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212 B.211C.210 D.294.若 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于( )(6+1)A.3 B.4C.5
2、D.65. 展开式中的常数项为 ( )(2+12-2)3A.-8 B.-12C.-20 D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为( )A.1 860 B.1 320C.1 140 D.1 0207.若二项式(3 -x)n(nN *)中所有项的系数之和为 a,所有项的系数的绝对值之和为 b,则 的最+小值为( )A.2 B.C. D.1368.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者 5 人,主持人需要从这 10 名记者
3、中选出 4 名记者提问,且这 4 人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为( )A.1 200 B.2 400C.3 000 D.3 6009.在(1 +x)6(1+y)4的展开式中,记 xmyn项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45 B.60C.120 D.21010.已知二项式 的展开式中含 x3的系数为 - ,则 的值为( )(+12)9 212 1(+)A. B.2+12 2+32C. D.2-32 2-5211.(x-y)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为 .
4、(用数字填写答案) 12.已知(1 +3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54,则 n= . 213.(2018 全国 ,理 15)从 2 名女生,4 名男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 名女生入选,则不同的选法共有 种 .(用数字填写答案) 14.在 的二项式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于 . (3-2)15.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种 .(用数字作答) 16.已知多项式( x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4= ,a
5、5= . 17.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法 .(用数字作答) 18.某高三毕业班有 40 名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言 .(用数字作答) 二、思维提升训练19.将 2 名教师、4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )A.12 种 B.10 种C.9 种 D.8 种20.设 m 为正整数,( x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a
6、,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( )A.5 B.6C.7 D.821.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( )A.36 种 B.30 种C.24 种 D.6 种22.若 x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a12(x+2)12,则 log2(a1+a3+a5+a11)等于( )A.27 B.28C.7 D.823.用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球 .由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个
7、蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1 +a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ ab”则表示把红球和蓝球都取出来 .依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
8、24.1-90 +902 -903 +(-1)k90k +9010 除以 88 的余数是( )110 210 310 10 1010A.-1 B.1 C.-87 D.8725.某人根据自己爱好,希望从W,X,Y,Z中选 2 个不同字母,从0,2,6,8中选 3 个不同数字编拟车牌号,要求前 3 位是数字,后两位是字母,且数字 2 不能排在首位,字母 Z 和数字 2 不能相邻,那么满足要求的车牌号有( )A.198 个 B.180 个C.216 个 D.234 个26.若 A,B,C,D 四人站成一排照相,A,B 相邻的排法总数为 k,则二项式 的展开式中含 x2项的(1-)系数为 . 27.设
9、二项式 的展开式中 x2的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a= . (-)628.在 6 名内科医生和 4 名外科医生中,内科主任和外科主任各 1 名,现要组成 5 人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?3(1)有 3 名内科医生和 2 名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有 1 名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生 .4专题能力训练 19 排列、组合与二项式定理一、能力突破训练1.B 解析 完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有 =120 种不同的排法;第二55类,第一个节目排乙,最后一个节目有 4 种排法,其余位置有 =24
10、 种不同的排法 .所以共有44+4 =216 种不同的排法 .55 442.D 解析 令 x=1,得 2n=32,所以 n=5,则 (x2)5-r x10-3r.令 10-3r=4,得 r=2,所以展开式中5 (1)=5x4的系数为 =10.253.D 解析 由条件知 ,n= 10.3=7 (1+x)10中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29.4.C 解析 展开式的通项为 Tr+1= (x6)n-r ,因为展开式中含常数项,所以 6n- ( 1)=6-152r=0 成立,即 n=r.当 r=4 时, n 有最小值 5.故选 C.1525.C 解析 因为 ,(2+
11、12-2)3=(-1)6所以 Tr+1= x6-r =(-1)r x6-2r,6 (-1) 6所以当 r=3 时为常数项,常数项为 - =-20.366.C 解析 依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为 =960;第二类,甲、123644乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为 =180.22262223因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为 960+180=1 140.故选 C.7.B 解析 令 x=1,a=2n,令 x=-1,b=4n, =2n+ ,令
12、t=2n,t2,则 =2n+ =t+ 2+ 12 + 12 1故选 B.12=52.8.B 解析 若 4 人中,有甲电视台记者 1 人,乙电视台记者 3 人,则不同的提问方式总数是 =1 153544200,若 4 人中,有甲电视台记者 2 人,乙电视台记者 2 人,则不同的提问方式总数是 =1 200,若252522234 人中,有甲电视台记者 3 人,乙电视台记者 1 人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为 1 200+1 200=2 400.9.C 解析 (1+x)6展开式的通项为 Tr+1= xr,(1+y)4展开式的通项为 Th+1= yh,6 4 (1+x)6(1+y
13、)4展开式的通项可以为 xryh,64f (m,n)=64.f (3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= =20+60+36+4=120.故选 C.36+2614+1624+3410.C 解析 二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1= x9-r x9-2r,令 9-(+12)9 9 ( 12)=9(12)2r=3,r=3,将 r=3 代入得 =- ,解得 a=-1, dx= 故选 C.39(12)3 212 1(-1) (122-)|1=2-32 .11.-20 解析 ( x+y)8的通项为 Tr+1= x8-ryr(r=0,1,8).8当 r=7 时, T8= xy7=8xy7
14、,当 r=6 时, T7= x2y6=28x2y6,78 68所以( x-y)(x+y)8的展开式中含 x2y7的项为 x8xy7-y28x2y6=-20x2y7,故系数为 -20.512.4 解析 二项展开式的通项 Tr+1= (3x)r=3r xr,令 r=2,得 32 =54,解得 n=4.r 213.16 解析 方法一: 当 3 人中恰有 1 名女生时,有 =12 种选法 .1224 当 3 人中有 2 名女生时,有 =4 种选法 .2214故不同的选法共有 12+4=16 种 .方法二:6 人中选 3 人共有 种选法,当 3 人全是男生时有 种选法,所以至少有 1 名女生入选36 3
15、4时有 =16 种选法 .363414.112 解析 由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为 2n,由题意,得 2n=256,所以 n=8.二项式展开式的通项为Tr+1= )8-r =(-2)r ,8(3 (-2) 883-43求常数项则令 r=0,所以 r=2,所以 T3=112.834315.1 080 解析 先将 6 位志愿者分组,共有 种方法 ;再把各组分到不同场馆,共有 种方法 .262422 44由乘法原理知,不同的分配方案共有 =1 080.2624224416.16 4 解析 由二项式展开式可得通项公式为 x3-r x2-m2m,分别取 r=3,m=1 和 r=2,m=2 可
16、得3 2a4=4+12=16,令 x=0 可得 a5=1322=4.17.660 解析 由题意可得,总的选择方法为 种方法,其中不满足题意的选法有 种方法,则481413 461413满足题意的选法有: =660 种 .48141346141318.1 560 解析 该问题是一个排列问题,故共有 =4039=1 560 条毕业留言 .240二、思维提升训练19.A 解析 将 4 名学生均分为 2 个小组共有 =3 种分法,242222将 2 个小组的同学分给两名教师带有 =2 种分法,22最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有 =2 种分法,22故不同的安排方案共有 322=12 种 .2
17、0.B 解析:由题意可知, a= ,b= ,2 2+1 13a=7b, 13 =7 ,(2)! (2+1)!(+1)!即 解得 m=6.故选 B.137=2+1+1.21.B 解析 首先从四个人中选择 2 个人作为一组,其余 2 个人各自一组分派到三个竞赛区,共有种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数 排除,继而所求的安排方法有 =30 种,故2433 33 243333答案为 B.22.C 解析 令 x=-1,得 a0+a1+a2+a12=28, 令 x=-3,得 a0-a1+a2-a3+a12=0, 由 - ,得 2(a1+a3+a11)=28,a 1+a3+a11=27, log2(a1+
18、a3+a11)=7.623.A 解析 本题可分三步:第一步,可取 0,1,2,3,4,5 个红球,有 1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取 0 或 5 个蓝球,有 1+b5种取法;第三步,取 5 个有区别的黑球,有(1 +c)5种取法 .所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法 .故选 A.24.B 解析 1 -90 +902 +(-1)k90k +9010 =(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+ 889+110 210 10 1010 11088+1, 前 10 项均能被 88 整除, 余数是 1.91025.A 解析 不选 2
19、 时,有 =72 种;选 2,不选 Z 时,有 =72 种;选 2,选 Z 时,2 在数字的中3324 12232223间,有 =36 种,当 2 在数字的第三位时,有 =18 种 ,根据分类计数原理,共有231213 231372+72+36+18=198,故选 A.26 解析 由题设 k=2 =12,所以 Tr+1= xr,.1124 33 12(- 12)=12(- 112)则由题设可知 r=2,所以含 x2项的系数为 =66 ,应填答案2121122 1122=1124 1124.27.-3 解析 Tr+1= x6-r =(-a)r x6-2r,令 6-2r=2,得 r=2,A=a2
20、=15a2;令 6-2r=0,得6 (-) 6 26r=3,B=-a3 =-20a3,代入 B=4A 得 a=-3.3628.解 (1)先选内科医生有 种选法,再选外科医生有 种选法,故选派方法的种数为 =120.36 24 3624(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去 1 人,2 人,3 人,4 人,易得出选派方法的种数为 =246.1644+2634+3624+4614若从反面考虑,则选派方法的种数为 =246.51056(3)分两类:一是选 1 名主任有 种方法;1248二是选 2 名主任有 种方法,2238故至少有 1 名主任参加的选派方法的种数为 =196.1248+2238若从反面考虑:至少有 1 名主任参加的选派方法的种数为 =196.51058(4)若选外科主任,则其余可任选,有 种选法 .49若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有 种选法 .4845故有选派方法的种数为 =191.49+4845
