1、- 1 -辽宁省葫芦岛协作体 2017 届高三下学期模拟考试（6 月）数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足 （为虚数单位） ，则复数的共轭复数的虚部为（ ）A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ，所以虚部为 ，选 A.2. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选 D.3. 函数 （ ）的图象中，最小正周期为 ，若将函数 的图象向右平移个单位，得到函数 ，则 的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】D【解析】由最小正周期为 ，得 ，将 的图象向右平移个单位，得,选 D.4. 福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02，03，32，33 这 33 个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列和第 10 列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（ ）81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15
3、 19 20 49- 2 -A. 12 B. 33 C. 06 D. 16【答案】C【解析】被选中的红色球号码依次为 ，所以第四个被选中的红色球号码为 06,选 C.5. 某年高考中，某省 10 万考生在满分为 150 分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间 分的考生人数近似为（ ）（已知若 ，则 ，A. 1140 B. 1075 C. 2280 D. 2150【答案】C【解析】由题意可得 ，所以 的人数为：，的人数为： ，所以 的人数为 2280。6. 某程序框图如图所示，若输入的 ，则输出结果为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始值：s=0,k=
4、1,k10k=2,s=0+1-,k=3, s=0+1-+k=9, s=0+1-+ +k=10, s=0+1-+ + + =选 C.7. 某几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，原物体为一个圆柱中间挖去了一个矮一点的圆柱，体积。选 B.8. 设命题 实数 满足 ，命题 实数 满足 ，则命题 是命题 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】命题 表示的是下图的圆，命题 表示的是下图的三角形区域 ABC,所以是既不充分也不必要条件。选 D.【点睛】- 5 -9
5、. 已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】原式可化为： ，解得 ，当且仅当 时成立。所以选 B.10. 已知 中， 的对边长度分别为 ，已知点 为该三角形的外接圆圆心，点 分别为边 的中点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图：在三角形 中 ，同理 ，所以= ： ： ，由正弦定理，可得 = ，选 D.11. 已知函数 ，若正实数 互不相等，且 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意设 ，则 ，选 A.- 6 -12. 已知在椭圆方程 中，参数 都通过随机程序在区间 上随机选取，其中，则
6、椭圆的离心率在 之内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 时 当 时,同理可得 ,所以所求概率为 ,选 B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列 的前 项和为 ，若
7、，则数列 的公差为_【答案】2【解析】由题意得 14. 已知函数 中 为参数，已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 _【答案】1【解析】，所以 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.- 7 -(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.15. 已知空间四边形 中， ， ， ，若平面平面 ，则该
8、几何体的外接球表面积为_【答案】【点睛】对于多点共点问题，可退其之求到三点距离相等的点的集合，再考虑另外一些点距离相等的点的集合，两个或多个点的集合交点，即为球心。16. 已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 ，其中 为切点，则 的取值范围为_【答案】【解析】 = =- 8 -因为圆心到直线的距离 ，所以 ， ， ，当时取最小值。所以填 。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .（1）求角 的大小；（2）求 的取值范围.【答案】 （1）B=/3 （2）【解析】试题分析：（1）利用
9、正弦定理将题设条件中的边转换为角的正弦值，根据三角恒等变换化简整理可得 ，进一步可得 ，即可求解；（2）由（1）可知 ，将所求式子用角 表示，即 ，由角 的范围及三角函数性质求之即可试题解析：（1）由正弦写理得：（2）由（1）知 ， ，的取值范围是考点：1正弦定理；2三角恒等变换；3三角函数图象与性质；4三角形内角和定理【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角函数图象与性质、三角形内角和定理，属中档题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用
10、正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18. 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示.- 9 -（1）求频率分布直方图中 的值；（2）分别求出成绩在 与 中的学生人数；（3）从成绩在 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 中的概率.【答案】 （1） （2）成绩落在 和 中的学生人数分别为 2 人和 3 人（3）【解析】试题分析：（）由直方图中所有小矩形的面积之和为 1（频率和为 1）可求得 ；（）总人数为 20，而在 上的频率为 ，在 上的频率为，由此可得人数；（）共有 5 人，可把他们编号，用列举法写出任取 2人的所有可能，共 10 个，
11、其中 2 人的成绩都在 中的有 3 个，由概率公式可计算出概率试题解析：（）据直方图知组距为 10，由，解得 .（）成绩落在 中的学生人数为 ，成绩落在 中的学生人数为 .（）记成绩落在 中的 2 人为 ， ，成绩落在 中的 3 人为 、 、 ，则从成绩在 的学生中选 2 人的基本事件共有 10 个：， ， ， ， ， ， ， ， ，- 10 -.其中 2 人的成绩都在 中的基本事件有 3 个： ， ， .故所求概率为 .考点：频率分布直方图，古典概型19. 如图，底面是正三角形的直三棱柱 中， 是 的中点， .（1）求证： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析（2）【解
12、析】试题分析：（）需证明 平面 ，只需要在平面 上找到一条直线与平行，通过三角形的中位线可得以上结论.（）需求点到面的距离，本题通过构建一个三棱锥，让其体积算两次即得到一个等式，即可取出结论.解法一通过三棱锥 与三棱锥 的体积相等，由体积公式即可求得结论；解法二由（）得到的线面平行转化为三棱锥 与三棱锥 体积相等，从而得到结论.试题解析：（1）连接 交 于 O，连接 OD，在 中，O 为 中点，D 为 BC 中点3 分6 分- 11 -（2）解法一：设 点到平面 的距离为 h在 中， 为8 分过 D 作 于 H又 为直棱柱且 10 分即解得 12 分解法二：由可知点 到平面 的距离等于点 C
13、到平面 的距离 8 分为10 分设点 C 到面 的距离为 h- 12 -即解得 12 分考点：1.线面平行.2.三棱锥的体积公式.3.等价转化的数学思想.20. 已知抛物线的方程为 ，过点 的一条直线与抛物线 交于 两点，若抛物线在 两点的切线交于点 .（1）求点 的轨迹方程；（2）设直线 与直线 的夹角为 ，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）为定值【解析】 （）由 AB 直线与抛物线交于两点可知，直线 AB 不与 x 轴垂直，故可设，代入 ，整理得： ，方程的判别式 ，故 时均满足题目要求记交点坐标为 ，则 为方程的两根，故由韦达定理可知，将抛物线方程转化为 ，则 ，故 A 点处的切线
14、方程为 ，整理得 ，同理可得，B 点处的切线方程为 ，记两条切线的交点 ，联立两条切线的方程，解得点 坐标为，故点 P 的轨迹方程为 ，（）当 时， ，此时直线 PQ 即为 y 轴，与直线 AB 的夹角为当 时，记直线 PQ 的斜率为 ，则 ，又由于直线 AB 的斜率为 ，且已知直线 AB 与直线 PQ 所夹角- 13 -，综上所述， 得取值范围是【点睛】利用设而不求思想解题是解析几何常用的解题思想，设出直线方程和交点坐标，联立方程组，利用根与系数关系，写出坐标关系.对 求导，利用导数的几何意义，写出切线方程，联立两条切线方程求出交点坐标，得出交点的轨迹方程为一条定直线.借助两条直线的斜率及两
15、条直线的夹角公式写出夹角的正切，再利用均值不等式找出夹角的正切的范围，进而得出夹角的范围.21. 已知函数 ， ，其中（1）若 ，讨论 的单调区间；（2）已知函数 的曲线与函数 的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为 ，证明： .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】 （）由已知得 ，当 时， ， ；当 时， 故若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；故若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增（）不妨设 ，依题意 ， ，同理由-得， ，故只需证- 14 -，取 ，即只需证明 成立即只需证成立， 在区间 上单调递增，成立故原命题得证请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所
16、做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为.（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设圆 与直线交于点 ，若点 的坐标为 ，求 的最小值.【答案】 （1）x 2+(y-3)2=9 （2）【解析】试题分析：（1）根据 将圆 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）由直线参数方程得 ，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得 t2+2(cos-sin)t-7=0，利用韦达定理化简得，最后根据三角函数有界性求最小值.试题解析：（1）由 =6sin 得 2
17、=6sin，化为直角坐标方程为 x2+y2=6y，即 x2+(y-3)2=9（2）将的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2+2(cos-sin)t-7=0 由=4(cos-sin) 2+470，故可设 t1，t 2是上述方程的两根，所以又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得，- 15 -当 时取等所以|PA|+|PB|的最小值为 23. 选修 4-5：不等式选讲设函数（1）求不等式 解集；（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集， （2）先根据绝对值三角不等式求 最大值为 3，再将不等式转化为 ，根据绝对值定义可得实数 的取值范围.试题解析：（1） ，故不等式 的解集为（2）解：由（1）可知， 的最大值为 3，故 的最大值为 7.若关于的不等式 有解，只需 ，即 ，求得的范围为 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
