1、相异代表系理论、实例与应用,第一小组,相异代表系理论,问题回顾： 小张、小王、小李、小赵、小周五个人被安排在下周周一到周五值班，每次值班只需一个人，且每人要求只能安排一个晚上，因为特殊原因，小张不能安排在周一晚上，小王不能安排在周五晚上，请问有多少种安排方式？,相异代表系理论,引论：现有6名职员 和6项工作 ，每个职员适合做某些工作而不适合做另外一些工作。为了方便，在图中以阴影表示某人不适合做某项工作。现在要问：是否有一种安排使得每个职员都做他适合的工作？如果这种安排存在，如何把它找到？如果这种安排不存在，那么对多少人能做合适的安排？,相异代表系理论,相异代表系（system of disti
2、nct representatives）：令 是集合E的n个子集。E的n个元素 ，其中 ，称为是集族 的一个代表系。如果集族的代表系中的元素两两互不相同，则称该代表系为集族的相异代表系。 相异代表系是1930年代表的问题，可视为委员会推派代表的问题，也可以看成配对问题或婚姻问题，或叫做横街理论。,相异代表系理论,委员会推派代表的问题，若一群人组成若干性质不同的委员会，用 表示，每个人可能参加几个不同的委员会；条件是每个委员会只能派一位代表来参加讨论，不同委员会推派系出来的代表相异，这些代表系就是“相异代表系”。例子：四个委员会 显然，我们只能依次选张三，李四，王五，赵六或张三，李四，赵六，王五
3、为代表，这四个集合族恰好有2个相异代表系。,相异代表系理论,何氏定理 集合族 有一个相异代表系的充要条件是，从F中任意选出k个集合，相异元素至少有k个。该定理为何菲力定理（Philip Halls theorem）,也被常称为婚姻定理（marriage theorem）。,相异代表系实例与应用,1、“双重随机矩阵”是n阶非负实数矩阵，任意一行或一列的和均为1。若其元素只有0或1，则称为“排列矩阵”。伯考夫-冯纽曼定理：对任意一个n阶双重随机矩阵A，存在正整数m ,使得m个排列矩阵 ，以及m个和为1的正实数 ， 有 。,相异代表系实例与应用,电脑和演算法用电脑计算，不同的算法也会导致运算结果的快慢。若用枚举法来尝试一个个可能，电脑运算速度依然很慢。若使用何氏定理，则运算次数大大减少。任取k个集合的组合，共有多少个可能：取0个集合有1种，取1个集合有n种，取2个集合有 种，取三。.。但对于n取值较大的数，计算机也无能为力。,相异代表系实例与应用,匈牙利算法：在匈牙利算法中，相异代表系就相当于二分图里求最大对集的问题。一个图包括有限个顶点，以及联系两点的边。如下图：（8个顶点，9条边)。,谢谢观赏！,
