1、1分层限时跟踪练(十四)(限时 40分钟)基 础 练 扣 教 材 练 双 基一、选择题1 f( x)是 f(x)的导函数，若 f( x)的图象如图 2112所示，则 f(x)的图象可能是( )图 2112【解析】 由导函数的图象可知，当 x0 时， f( x)0，即函数 f(x)为增函数；当0 x x1时， f( x)0，即函数 f(x)为减函数；当 x x1时， f( x)0，即函数 f(x)为增函数观察选项易知 C正确【答案】 C2函数 y x2ln x的单调递减区间为( )12A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)【解析】 由题意知函数的定义域为(0，)，又由 y x 0，解得 0
2、x1，1x所以函数的单调递减区间为(0,1，故选 B.【答案】 B3已知 a0，函数 f(x)( x22 ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a的取值范围是( )A0 a B. a34 12 34C a D0 a34 12【解析】 f( x)(2 x2 a)ex( x22 ax)ex x2(22 a)x2 aex，由题意当x1,1时， f( x)0 恒成立，即 x2(22 a)x2 a0 恒成立2令 g(x) x2(22 a)x2 a，则有Error!即Error!解得 a .34【答案】 C4若函数 f(x)2 x2ln x在其定义域的一个子区间( k1， k1)内不是单调函
3、数，则实数 k的取值范围是( )A. B.1，32) (32， )C. D.0，12) (12， )【解析】 f( x)4 x (x0)，1x 2x 1 2x 1x当 x 时， f(x)单调递减；(0，12)当 x 时， f(x)单调递增(12， )由题意知Error!解得 1 k .故选 A.32【答案】 A5函数 f(x)在定义域 R内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x(，1)时，( x1)f( x)0，设 a f(0)， b f ， c f(3)，则( )(12)A a b c B c b aC c a b D b c a【解析】 依题意得，当 x1 时， f( x)0， f(x
4、)为增函数；又 f(3) f(1)，且10 1，因此有 f(1) f(0) f ，即有 f(3) f(0) f ， c a b.12 (12) (12)【答案】 C二、填空题6(2015河南省三市调研)若函数 f(x) x3 x2 ax4 恰在1,4上单调递减，13 32则实数 a的值为 【解析】 f(x) x3 x2 ax4， f( x) x23 x a，又函数 f(x)恰在13 321,4上单调递减，1,4 是 f( x)0 的两根， a(1)44.3【答案】 47已知函数 f(x) mx2ln x2 x在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为 【解析】 f( x)2 mx 2，根据题意
5、得 f( x)0 在(0，)上恒成立有1xm ， x(0，)1x 12x2令 g(x) ， x(0，)，1x 12x2易求得 g(x)max g(1) ， m .12 12故填 .12， )【答案】 12， )8(2015成都模拟)已知函数 f(x) 2 x2ln x(a0)若函数 f(x)在1,2上3xa为单调函数，则 a的取值范围是 【解析】 f( x) 4 x ，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，即 f( x)3a 1x 4 x 0 或 f( x) 4 x 0 在1,2上恒成立，即 4 x 或 4 x 在1,2上3a 1x 3a 1x 3a 1x 3a 1x恒成立令 h(x)4 x
6、，则 h(x)在1,2上单调递增，所以 h(2)或 h(1)，即 1x 3a 3a 3a或 3，又 a0，所以 0 a 或 a1.152 3a 25【答案】 1，)(0，25三、解答题(文)9.已知实数 a0，函数 f(x) a(x2) 22ln x.(1)当 a1 时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间1,4上是增函数，求实数 a的取值范围【解】 (1)当 a1 时， f(x) x24 x42ln x，f( x)2 x4 ，2x 2 x 1 2x x0， f( x)0， f(x)在区间(0，)上单调递增(2) f( x)2 ax4 a ，2x 2ax2 4ax 2x4又 f
7、(x)在区间1,4上是增函数， f( x) 0 对 x1,4恒成立，2ax2 4ax 2x即 2ax24 ax20 对 x1,4恒成立，令 g(x)2 ax24 ax2，则 g(x)2 a(x1) 222 a， a0， g(x)在1,4上单调递增，只要使 g(x)min g(1)22 a0 即可，0 a1，实数 a的取值范围为(0,110已知函数 f(x) ，其中 a为实数，e 是自然对数的底数ex1 ax2(1)若 x 是函数 f(x)的一个极值点，求 a的值；13(2)当 a为正实数时，求函数 f(x)的单调区间【解】 (1) f( x) ， ax2 2ax 1 ex 1 ax2 2因为
8、x 是函数 f(x)的一个极值点，13所以 f 0.(13)即 a a10，得 a .19 23 95而当 a 时， ax22 ax1 ，95 95(x2 2x 59) 95(x 13)(x 53)可验证 x 是函数 f(x)的一个极值点，因此 a .13 95(2)当 a为正实数时， f( x) ， ax2 2ax 1 ex 1 ax2 2令 f( x)0，得 ax22 ax10.当 a1 时，解得 x1 ， x2 ，a a2 aa a a2 aa所以当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x，a a2 aaa a2 aaError!Error!a a2 aa，a a2 aa
9、f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 5所以 f(x)的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为( ，a a2 aa )(a a2 aa ， ).(a a2 aa ， a a2 aa )当 0 a1 时， f(x)0 恒成立，故 f(x)的单调递增区间是(，)能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1(2015安徽高考)函数 f(x) ax3 bx2 cx d的图象如图 2113所示，则下列结论成立的是( )图 2113A a0， b0， d0B a0， b0C a0， d0D a0， b0， c0， d0.因为 f( x)3 ax22 bx c0 有两个不相等的正实根，所以 a0， 0，所以
10、b0，所以 a0， b0， d0.2b6a b3a法二：由图象知 f(0) d0，首先排除选项 D； f( x)3 ax22 bx c3 a(x x1)(x x2)3 ax23 a(x1 x2)x3 ax1x2，令 x10，所以a0，排除 C；又 c3 ax1x20,2b3 a(x1 x2)0， b0，故选 A.【答案】 A2(2015洛阳模拟)若 f(x) (x2) 2 bln x在(1，)上是减函数，则 b的12取值范围是( )A1，) B(1，)C(，1 D(，1)【解析】 由题意可知 f( x)( x2) 0bx在 x(1，)上恒成立，即 b x(x2)在 x(1，)上恒成立，由于 (
11、x) x(x2) x22 x在(1，)上的值域是(1，)，故只要 b16即可【答案】 C3已知向量 a ， b(1， t)，若函数 f(x) ab在区间(1,1)上存(exx22， x)在增区间，则 t的取值范围为 【解析】 f(x)e x tx， x(1,1)， f( x)e x x t， f(x)在(1,1)上x22存在增区间， f( x)e x x t0 在(1,1)上有解，即 te x x， x(1,1)有解，当 x(1,1)时，e x x ， te1.(1e 1， e 1)【答案】 (，e1)4已知函数 y f( x)的图象如图 2114所示，则函数 f(x)的单调增区间为 (12)
12、图 2114【解析】 因为函数 y x是 R上的减函数，所以 f( x)0 的充要条件是(12)0 f( x)1 ；由图可知，当 x(，0)(2，)时，0 f( x)1，即 f( x)(12) (12)0，所以函数 f(x)的单调增区间为(，0)和(2，)【答案】 (，0)和(2，)5已知函数 f(x) aln x ax3( aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 y f(x)的图象在点(2， f(2)处的切线的倾斜角为 45，对于任意的t1,2，函数 g(x) x3 x2 在区间( t,3)上不总是单调函数，求 m的取值f x m2范围【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0
13、，)，且 f( x) .a 1 xx当 a0 时， f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当 a0 时， f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当 a0 时， f(x)不是单调函数7(2)由(1)及题意得 f(2) 1，即 a2，a2 f(x)2ln x2 x3， f( x) .2x 2x g(x) x3 x22 x，(m2 2) g( x)3 x2( m4) x2. g(x)在区间( t,3)上不总是单调函数，即 g( x)0 在区间( t,3)上有变号零点由于 g(0)2，Error!当 g( t)0，即 3t2( m4) t20 对任意 t1,2恒成立，由于 g(0)
14、0，故只要 g(1)0 且 g(2)0，即 m5 且 m9，即 m9；由 g(3)0，即 m .373所以 m9.373即实数 m的取值范围是 .(373， 9)6已知函数 f(x)( a1)ln x ax21.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)如果对任意的 x1 x20，总有 2，求 a的取值范围f x1 f x2x1 x2【解】 (1) f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 ax .a 1x 2ax2 a 1x当 a1 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；当 0 a1 时，令 f( x)0，解得
15、x ，则当 x 时， f( x)1 a2a (0， 1 a2a)0；当 x 时， f( x)0，故 f(x)在 上单调递减，在(1 a2a， ) (0， 1 a2a)上单调递增(1 a2a， )(2)因为对任意的 x1 x20，即 x1 x20，总有 2，所以 f(x1)f x1 f x2x1 x2 f(x2)2( x1 x2)，即 f(x1)2 x1 f(x2)2 x2.又 x1 x2，故函数 f(x)2 x在(0，)上单调递增8令 g(x) f(x)2 x，则 g( x) 2 ax2，由 g(x)在(0，)上单调递增，得a 1x2 ax20，故 a2 .a 1x (1x 2x) 1x因为 x0，所以 a ，2 1x1x 2x 2x 11 2x2令 t2 x1，则 x .t 12因为 x0，所以 t1.从而 a .因为 t1，所以t2(t 12 )2 1tt2 2t 322t 3t 2t 2 2 ，当且仅当 t 时等号成立，则 ，即3t t3t 3 3 2t 3t 2 223 2 3 12的最大值为 ，故不等式 a 恒成立的条件是 a .2t 3t 2 3 122t 3t 2 3 12故 a的取值范围为 3 12 ， )
