1、1,纠正作业:,1.不要对答案,要相信自己.,2.本章不要求讨论被积函数的自变量的取值范围.,3.要记住常用的公式，如：,4.大家所用的方法很好,要相互学习.如P208第37题.,2,复习积分公式,(默写22个),幂2个,指2个,三角10个,有理式4个,无理式4个,3,复习积分方法,1.直接积分法：,(恒等变形后用公式),2.换元积分法,第一类换元法(也称凑微分法),第二类换元法,第一类换元法:,第二类换元法:,(易积),(易积),令,d,3.分部积分法:,4,第四节,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,第四章,5,1.有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数，即
2、,2.有理函数的分类:,有理函数,整式函数,分式函数,真分式,假分式,=多项式 + 真分式,一、 有理函数的积分,难点:,将真分式化为部分分式之和.,6,3.真分式 的分解:,(1)由于 在实数范围内可分解为若干个一次式与,二次质因式的乘积.,(2) 可分解为部分分式之和.,(省去下列结论的正确性的证明),分母中若有因式 ，则分解后为,特殊地：,分解后为,7,分母中若有因式 ，其中,则分解后为,特殊地：,分解后为,8,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,9,(2) 用赋值法,故,解:,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,10,(3) 待定系数法,原式 =,比较系
3、数：,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,11,例2. 求,解: 由例1知,12,说明：,将有理函数化为部分分式之和后,只出现三种情况：,多项式；,四种典型部分分式的积分:,再分项积分,13,结论: 有理函数的原函数都是初等函数(但不一 定是有理函数).,例3. 求,解：原式,另解: 原式,14,例4. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,15,又如：,16,1. 三角函数有理式的积分,定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.一般记为,t 的有理函数的积分,二 、可化为
4、有理函数的积分举例,(万能置换公式),结论:三角函数有理式的原函数都是初等函数.,17,例6. 求,解:,则,18,说明:三角函数有理式的积分方法化为有理函数,1)万能代换,2)万能代换对三角函数的有理式的不定积分都可应用,但,有时万能代换不一定是最佳方法，,故计算三角有理式的,不定积分应先考虑其它方法,不得已才用万能置换公式.,19,例8. 求,解:,例7. 求,解:,技巧：化分母为单项式.,20,另解:,21,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,2. 简单无理函数的积分,22,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和
5、,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,23,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,24,1.不定积分定义,或,若在I内，,2.不定积分的性质,3.微分与积分的关系,第四章小结,25,1)直接积分法：,(恒等变形后用公式),2)换元积分法：,第一类换元法(也称凑微分法):,第二类换元法:,(易积),(易积),令,d,3)分部积分法:,4.不定积分的积分法,26,1) 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,5.几种特殊类型的积分,27,2) 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 进行简便计算 .,因此不一,定都能积出.,初等函数,初等函数,例如 ,28,解：,原式,P222第27题,作业:P218T 3,6,8,14,16; P221T6,9,18,19,28,31,38,40 .,预习：P223-235,29,备用： 求,解: 原式,注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,
