1、第二节 函数的单调性与最大(小)值,1增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有： (1)f(x)在区间D上是增函数_； (2)f(x)在区间D上是减函数_,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),2单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的 _,增函数,减函数,单调区间,3函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,1函数f(x)的图象如图221所示，则函数f(x)的单调增区间是(，0(0，)吗？【提示】 不是，其单调增
2、区间为(，0，(0，),1(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da2【答案】 C,【解析】 结合函数的图象易知选D. 【答案】 D,【答案】 D,4f(x)x22x，x2，3的单调增区间为_，f(x)max_【解析】 f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1，3，f(x)maxf(2)8.【答案】 1，3 8,【审题视点】 (1)根据复合函数的单调性求解 (2)用定义法或导数法求解,【尝试解答】 (1)由x210得x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，) 令tx21，因为ylog2t在t
3、(0，)上为增函数， tx21在x(，1)上是减函数，所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(，1) 【答案】 (，1),1解答本题(1)时，应先求定义域，在定义域内求单调区间 2函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法 3函数yfg(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则,【思路点拨】 (1)明确f(x)的意义，数形结合求f(x)的最大值 (2)这是一个分段函数的值域问题，先求每一部分的函数值范围，再取并集,【答案】 (1)C (2)D,函数最值的求法 1单调性法：利用单调性
4、是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值 2配方法：若函数是二次函数，常用配方法 3基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法 4导数法：当函数较复杂时，一般采用此法,【答案】 6,【思路点拨】 分a0和a0两种情况讨论,1已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解 2不等式mf(x)恒成立mf(x)max，mf(x)恒成立mf(x)min.,1.闭区间上的连续函数一
5、定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 2开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值,函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数 (3)导数法：利用导数研究函数的单调性 (4)图象法：利用图象研究函数的单调性.,函数的单调性与最值是高考考查的重点内容，主要涉及单调性的判断，求函数的单调区间与最值，函数单调性的应用；考查数形结合、转化与化归等数学思想，其中利用函数的单调性解不等式应引起高度重视,(12分)(2013洛阳模拟)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(
6、n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2. 【规范解答】 (1)设x1x2，x2x10. 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数. 6分,规范解答之一 利用函数的单调性解不等式,(2)m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24， f(1)2，f(2)2213， f(a2
7、a5)2f(1).10分 f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3，2). 12分,【解题程序】 第一步：设x1x2得x2x10，从而f(x2x1)1； 第二步：根据x2(x2x1)x1证明f(x2)f(x1)0，从而证明单调性； 第三步：求f(1)、f(2)； 第四步：把不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第五步：根据单调性去掉“f”，解不等式,(2)求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(M)f(N)的形式，然后再根据函数f(x)的单调性去掉“f”，此时应注意M、N应在定义域内取值,1(2012安徽高考)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_【答案】 6,其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号),【答案】 ,课后作业（五）,
