1、 极限极限知识要点知识要点1. 第一数学归纳法：证明当 n取第一个 0时结论正确；假设当 kn（ 0,nkN）时，结论正确，证明当 1kn时，结论成立.第二数学归纳法：设 )(P是一个与正整数 n有关的命题，如果当 0（ N）时， 成立；假设当 k（ 0,nk）时， )(P成立，推得 1k时， )(nP也成立.那么，根据对一切自然数 时， 都成立.2. 数列极限的表示方法： anlim；当 n时， an.几个常用极限： Cnli（ 为常数） ； ),(01lim是 常 数kNk；对于任意实常数，当 1|时， 0lin；当 时，若 a=1，则 1limna；若 ，则 na)1(limli不存在；
2、当 a时， a不存在.数列极限的四则运算法则：如果 bnnli,li，那么 bnn)(li； bn)(li； )0(mCaaCnnnlili)(li .3.函数极限；当自变量 x无限趋近于常数 0x（但不等于 0x）时，如果函数 )(xf无限趋进于一个常数 ，就是说当 趋近于 0时，函数 )(f的极限为 a.记作 af)(li或当 0时， axf)(.注：当 时， )(f是否存在极限与 )(f在 0处是否定义无关，因为 并不要求 0.函数极限的四则运算法则：如果 bxgx)(lim,li0，那么 baxgfx)(lim0 ； bagfx)(lim0； )0()0afx特别地，如果 C 是常数，
3、那么 )(li0fCx； nxnff(limli0（ N）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限： 01lixn； lixa（0 a1 ） ； lixa（ 1） ； 1sinlm0xsil0x； ex)1(lim， ex0)(li（ 7823.）4.函数的连续性：如果函数 f（ x） ，g（x）在某一点 0连续，那么函数)(),(),() xgf在点 x处都连续.函数 f（x）在点 0x处连续必须满足三个条件：函数 f（x）在点 处有定义； )(lim0fx存在； 函数 f（x ）在点 0x处的极限值等于该点的函数值，即 )(
4、lim00ffx.5.零点定理，介值定理，夹逼定理：零点定理：设函数 ）（f在闭区间 ,ba上连续，且 0)(bfa.那么在开区间 ),(ba内至少有函数 )(xf的一个零点，即至少有一点 （ a b）使 0)(f.介值定理：设函数 )(xf在闭区间 ,b上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf,)(，那么对于 BA,之间任意的一个数 C，在开区间 ,ba内至少有一点 ，使得C（ ）.夹逼定理：设当 |0x时，有 )(xg f )(xh，且 Axhxg)(lim)(li00 ，则必有 .)(lim0xf注： |：表示以 0x为的极限，则 |0x就无限趋近于零.（ 为最小整数）6几个常用极限： 1,liqn； )(!liman； kank,1(0lim为常数） 0limn； kkn,0)(li为常数） 练习：1. 计算： =_。123linn2. A1 B1 C D11()li,li()xxff若 则 213. ( ) A B C D 221lim343x2614.若 ，则常数 的值为1)(li21xbax ba,A B C D,44,b4,2ba5.设函数 ,则 = ; = ; = .(0)()1fx0lim()xf0li()xf0lim()xf
