1、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 201limxx=_.(2)设 ()(),zfyyf具有二阶连续导数,则2zxy=_.(3)设 l为椭圆21,43x其周长记为 ,a则 2(34)LdsA=_.(4)设 A为 n阶矩阵 *,0,为 的伴随矩阵 ,E为 n阶单位矩阵 .若 A有特征值 ,则 *2()E必有特征值_.(5)设平面区域 D由曲线 1yx及直线 20,1eyx所围成,二维随机变量 (,)XY在区域 D上服从均匀分布,则 (,)XY关于 的边缘概率密度在 处的值为_.二、选择题
2、(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx连续,则 20()xdtfdt=(A) 2( (B) 2()xf(C) )xf (D)(2)函数 23()x不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3)已知函数 ()yx在任意点 处的增量 2,1yx且当 0x时 ,是 x的高阶无穷小,(0)y,则 1等于(A) 2 (B)(C) 4e (D) 4e (4)设矩阵 112233abc是满秩的,则直线 33121212xaybzc与直线 111232323xaybzc(A)相交于一点
3、 (B)重合(C)平行但不重合 (D)异面(5)设 ,AB是两个随机事件,且 0(),()0,(|)(|),PABPAB则必有(A) (|)(|)P(B) |(C) (D) ()()三、(本题满分 5 分)求直线 1:xyzl在平面 :210xyz上的投影直线 0l的方程,并求 0l绕 y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分 6 分)确定常数 ,使在右半平面 0x上的向量 4242(,)()()xyyxyAij为某二元函数(,)uxy的梯度,并求 (,).uy五、(本题满分 6 分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 (y从海平面算起)与下沉速度 v之间的函数关
4、系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 ,m体积为 ,B海水密度为 ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 (0).k试建立 y与 v所满足的微分方程,并求出函数关系式 ().yv六、(本题满分 7 分)计算221(,axdyzadxy其中 为下半平面 22zaxy的上侧 ,a为大于零的常数.七、(本题满分 6 分)求2sinisinlm.1x八、 （本题满分 5 分）设正向数列 na单调减少,且 1()na发散,试问级数 1()nna是否收敛?并说明理由.九、 （本题满分 6 分）设 ()yfx是区间 0,1上的任一非负连
5、续函数.(1)试证存在 )使得在区间 0,x上以 0()f为高的矩形面积 ,等于在区间 0,1x上以()yfx为曲边的曲边梯形面积.(2)又设 在区间 (0,1)内可导,且 2()(),ffx证明 (1)中的 0x是唯一的.十、 （本题满分 6 分）已知二次曲面方程 2224xayzbxyz可以经过正交变换xyzP化为椭圆柱面方程 24,求 b的值和正交矩阵 .P十一、 （本题满分 4 分）设 A是 n阶矩阵,若存在正整数 ,k使线性方程组 kxA0有解向量 ,且 1.kA0证明:向量组 1,k 是线性无关的.十二、 （本题满分 5 分）已知方程组() 121,2,12,20 nnnaxax的
6、一个基础解析为 121,2,1,2(,)(,)().TTTn nbbb 试写出线性方程组() 12,2,12,20 nnnyybb的通解,并说明理由.十三、 （本题满分 6 分）设两个随机变量 ,XY相互独立,且都服从均值为0、方差为 12的正态分布,求随机变量 XY的方差.十四、 （本题满分 4 分）从正态总体 2(3.,6)N中抽取容量为 n的样本,如果要求其样本均值位于区间 (1.4,5)内的概率不小于0.95,问样本容量 n至少应取多大?附:标准正态分布表 21()etzxdz1.28 1.645 1.96 2.33()x0.900 0.950 0.975 0.990十五、 （本题满分 4 分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.附: t分布表 ()pPtn0.95 0.97535 1.6896 2.030136 1.6883 2.0281
